2020届高考数学一轮复习：课时作业36《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》(含解析)

课时作业36　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

1．(2019·河北卓越联盟联考)已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为(　A　)

A．(－7,24)  B．(－∞，－7)∪(24，＋∞)

C．(－24,7)  D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)

解析：由题意可知(－9＋2－a)(12＋12－a)＜0，所以(a＋7)·(a－24)＜0，所以－7＜a＜24.

2．(2018·天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为(　C　)

A．6   B．19

C．21  D．45

解析：由变量x，y满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．

作出基本直线l0：3x＋5y＝0，平移直线l0，当直线经过点A(2,3)时，z取最大值，即zmax＝3×2＋5×3＝21，故选C.

3．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　B　)

A．－3   B．1

C.   D．3

解析：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m＜2，即m＞－1，由图知所围成的区域为△ABC及其内部，S△ABC＝S△ADC－S△BDC.

易知点A的纵坐标为1＋m，点B的纵坐标为(1＋m)，C，D两点的横坐标分别为2，－2m，所以S△ABC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)·(1＋m)＝(1＋m)2＝，解得m＝－3(舍去)或m＝1.

4．(2019·江西南昌NCS项目联考)设不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx经过区域M内的点，则实数k的取值范围为(　C　)

A.  B.

C.  D.

解析：作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，易知当直线y＝kx经过点A(2,1)时，k取得最小值，当直线y＝kx经过点C(1,2)时，k取得最大值2，可得实数k的取值范围为，故选C.

5．(2019·广东肇庆一模)已知实数x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为3，则实数b＝(　A　)

A.   B.

C．1   D.

解析：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．

由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，

平移直线y＝－2x，

由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线y＝－2x＋z的纵截距最小，此时z最小，为3，即2x＋y＝3.

由

解得即A，

又点A也在直线y＝－x＋b上，

即＝－＋b，∴b＝.故选A.

6．(2019·江西九江一模)实数x，y满足线性约束条件若z＝的最大值为1，则z的最小值为(　D　)

A．－   B．－

C.   D．－

解析：作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝的几何意义是可行域内的点(x，y)与点A(－3,1)两点连线的斜率，当取点B(a,2a＋2)时，z取得最大值1，故＝1，解得a＝2，则C(2,0)．当取点C(2,0)时，z取得最小值，即zmin＝＝－.故选D.

7．(2019·湖南湘东五校联考)已知实数x，y满足且z＝x＋y的最大值为6，则(x＋5)2＋y2的最小值为(　A　)

A．5  B．3

C.  D.

解析：如图，作出不等式组对应的平面区域，

由z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直线y＝－x，

由图可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z在y轴上的截距最大，此时z最大，为6，即x＋y＝6.

由得A(3,3)，

∵直线y＝k过点A，∴k＝3.

(x＋5)2＋y2的几何意义是可行域内的点(x，y)与D(－5,0)的距离的平方，由可行域可知，[(x＋5)2＋y2]min等于D(－5,0)到直线x＋2y＝0的距离的平方．

则(x＋5)2＋y2的最小值为2＝5，故选A.

8．已知实数x，y满足若目标函数z＝ax＋by＋5(a＞0，b＞0)的最小值为2，则＋的最小值为(　D　)

A.  B.

C.  D.

解析：作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，对z＝ax＋by＋5(a＞0，b＞0)进行变形，可得y＝－x＋－，所以该直线的斜率为负数，当直线z＝ax＋by＋5(a＞0，b＞0)过点A时，z取得最小值，联立可求出交点A的坐标为(－2，－2)，所以－2a－2b＋5＝2，整理得a＋b＝，所以＋＝(a＋b)·＝≥，当且仅当a＝b时取等号，故选D.

9．(2019·兰州模拟)若变量x，y满足约束条件则z＝2x·y的最大值为(　A　)

A．16   B．8

C．4   D．3

解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.

又z＝2x·y＝2x－y，

令u＝x－y，则直线u＝x－y在点(4,0)处u取得最大值，此时z取得最大值且zmax＝24－0＝16，故选A.

10．已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是　[0,2]　.

解析：由题中的线性约束条件作出可行域，如图．

其中C(0,2)，B(1,1)，D(1,2)．

由z＝·＝－x＋y，得y＝x＋z.

由图可知，当直线y＝x＋z分别过点C和B时，z分别取得最大值2和最小值0，所以·的取值范围为[0,2]．

11．实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值为　21　.

解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝|x＋2y－4|＝×，其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．

由得B点坐标为(7,9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.

12．(2019·郑州质检)已知x，y满足约束条件若目标函数z＝3x＋y的最大值为10，则z的最小值为　5　.

解析：画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，

作直线l：3x＋y＝0，平移l，从而可知经过C点时z取到最大值，

由解得

∴2×3－1－m＝0，m＝5.

由图知，平移l经过B点时，z最小，

∴当x＝2，y＝2×2－5＝－1时，z最小，zmin＝3×2－1＝5.

13．(2019·湖北武汉模拟)已知实数x，y满足约束条件若不等式(1－a)x2＋2xy＋(4－2a)y2≥0恒成立，则实数a的最大值为(　A　)

A.   B.

C.   D.

解析：绘制不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，

题中的不等式可化为a(x2＋2y2)≤x2＋2xy＋4y2，

即a≤，

设t＝，则a≤，

由t＝及其几何意义可知，

在点C(2,3)处取得最大值tmax＝，

在线段AB上取得最小值tmin＝1，

即t∈.

故原问题可转化为求函数f(t)＝的最小值，整理函数的解析式得：

f(t)＝2×＝2×

＝2＋，

令m＝t－，则≤m≤1，

令g(m)＝m＋，则g(m)在区间上单调递减，在区间上单调递增，

且g＝2，g(1)＝，据此可得，当m＝，t＝1时，函数g(m)取得最大值，

则此时函数f(t)取得最小值，最小值为f(1)＝＝.

综上可知，实数a的最大值为，故选A.

14．某蛋糕店每天计划生产蛋糕、面包、酥点这三种糕点共100份，生产一份蛋糕需5分钟，生产一份面包需7分钟，生产一份酥点需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一份蛋糕可获利润5元，生产一份面包可获利润6元，生产一份酥点可获利润3元．若用每天生产的蛋糕份数x与面包份数y表示每天的利润ω(元)，则ω的最大值为　550　元．

解析：依题意每天生产的酥点份数为100－x－y，

所以利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.

约束条件为

整理得

目标函数为ω＝2x＋3y＋300，作出可行域，如图所示，

作初始直线l0：2x＋3y＝0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，

由得

所以最优解为A(50,50)，此时ωmax＝550元．

15．(2019·安徽江南十校联考)已知实数x，y满足则z＝的取值范围为　[0,1]　.

解析：作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分，z＝表示区域内的点(x，y)与A(0，－1)连线的斜率k，由图可知，kmin＝0，kmax＝kAP，P为切点，设P(x0，lnx0)，kAP＝，

∴＝，∴x0＝1，kAP＝1，

即z＝的取值范围为[0,1]．

16．已知点P(x，y)的坐标满足约束条件则的取值范围是　(－，1]　.

解析：方法一　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中B(－1，－1)，C(0,1)．

设A(1,1)，向量，的夹角为θ，

∵·＝x＋y，||＝，

∴cosθ＝＝＝×，

由图可知∠AOC≤θ＜∠AOB，

即≤θ＜π，∴－1＜cosθ≤，

即－1＜×≤，∴－＜≤1.

方法二　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

其中B(－1，－1)，C(0,1)，

设θ＝∠POx，

则＝cosθ，＝sinθ，θ∈，

∴＝cosθ＋sinθ＝sin.

∵θ∈，

∴θ＋∈，

∴sin∈.

∴∈(－，1]．