2020届高考数学一轮复习：课时作业50《两直线的位置关系》(含解析) 练习

课时作业50　两直线的位置关系

1．已知直线l1：(m－4)x－(2m＋4)y＋2m－4＝0与l2：(m－1)x＋(m＋2)y＋1＝0，则“m＝－2”是“l1∥l2”的(　B　)

A．充要条件   B．充分不必要条件

C．必要不充分条件   D．既不充分也不必要条件

解析：若m＝－2，则l1：－6x－8＝0，l2：－3x＋1＝0，∴l1∥l2.若l1∥l2，则(m－4)·(m＋2)＋(2m＋4)(m－1)＝0，解得m＝2或m＝－2.∴“m＝－2”是“l1∥l2”的充分不必要条件，故选B.

2．(2019·新疆乌鲁木齐模拟)直线a1x＋b1y＝2和a2x＋b2y＝2交于点P(2,3)，则过点A(a1，b1)、B(a2，b2)的直线方程是(　A　)

A．2x＋3y－2＝0   B．3x＋2y－2＝0

C．3x＋2y＋2＝0   D．2x＋3y＋2＝0

解析：∵直线a1x＋b1y＝2和a2x＋b2y＝2交于点P(2,3)，∴2a1＋3b1＝2,2a2＋3b2＝2，∴过点A(a1，b1)、B(a2，b2)的直线方程为2x＋3y＝2，即2x＋3y－2＝0，故选A.

3．(2019·安庆模拟)若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝(　B　)

A．7   B.

C．14   D．17

解析：直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，

即2x＋6y＋2m＝0，

因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，

所以＝，求得m＝.

4．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(　D　)

A．19x－9y＝0   B．9x＋19y＝0

C．19x－3y＝0   D．3x＋19y＝0

解析：法一　由得

则所求直线方程为：y＝x＝－x，

即3x＋19y＝0.

法二　设直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，

即(1＋2λ)x－(3－λ)y＋4＋5λ＝0，

又直线过点(0,0)，

所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，

解得λ＝－，

故所求直线方程为3x＋19y＝0.

5．(2019·安阳一模)两条平行线l1，l2分别过点P(－1,2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是(　D　)

A．(5，＋∞)   B．(0,5]

C．(，＋∞)   D．(0， ]

解析：当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为＝，∴l1，l2之间距离的取值范围是(0， ]．

6．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n等于(　A　)

A.   B.

C.   D.

解析：由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，

于是解得

故m＋n＝.

7．(2019·山西临汾模拟)设直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A；P，Q分别为l1，l2上的点，点M为PQ的中点，若AM＝PQ，则m的值为(　A　)

A．2   B．－2

C．3   D．－3

解析：在△APQ中，M为PQ的中点，且AM＝PQ，∴△APQ为直角三角形，且∠PAQ＝90°，∴l1⊥l2，∴1×m＋(－2)×1＝0，解得m＝2，故选A.

8．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为(　D　)

A．2x＋3y－12＝0   B．2x－3y－12＝0

C．2x－3y＋12＝0   D．2x＋3y＋12＝0

解析：由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，

令可得x＝－3，y＝1，

∴M(－3,1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，

设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，

则＝，

解得c＝12或c＝－6(舍去)，

∴所求方程为2x＋3y＋12＝0.故选D.

9．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线sinA·x＋ay－c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是(　C　)

A．平行   B．重合

C．垂直   D．相交但不垂直

解析：由题意可得直线sinA·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－，bx－sinB·y＋sinC＝0的斜率k2＝，故k1k2＝－·＝－1，则直线sinA·x＋ay－c＝0与直线bx－sinB·y＋sinC＝0垂直，故选C.

10．已知点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P到直线l的距离d的最大值为(　B　)

A．2   B.

C.   D．2

解析：由(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0，

得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，

此方程是过两直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0交点的直线系方程．

解方程组可知两直线的交点为Q(1,1)，

故直线l恒过定点Q(1,1)，

如图所示，

可知d＝|PH|≤|PQ|＝，即d的最大值为， 故选B.

11．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为　6x－y－6＝0　.

解析：先利用两直线垂直的性质求出点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点，再利用两点式求出反射光线所在直线的方程．设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，

所以解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为y－0＝(x－1)，即6x－y－6＝0.

12．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为　(1，－4)或　.

解析：设点P的坐标为(a，b)．

∵A(4，－3)，B(2，－1)，

∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．

而AB的斜率kAB＝＝－1，

∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.

∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，

∴a－b－5＝0.①

又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，

∴＝2，即4a＋3b－2＝±10，②

由①②联立解得或

∴所求点P的坐标为(1，－4)或.

13．已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0，且|Ax1＋By1＋C|＞|Ax2＋By2＋C|，则(　C　)

A．直线l与直线P1P2不相交

B．直线l与线段P2P1的延长线相交

C．直线l与线段P1P2的延长线相交

D．直线l与线段P1P2相交

解析：由题可知，(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0表示两点在直线的同侧．

因为|Ax1＋By1＋C|＞|Ax2＋By2＋C|，

所以＞，

所以P1到直线的距离大于P2到直线的距离，

所以直线l与线段P1P2的延长线相交，故选C.

14．(2019·安徽安庆模拟)设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0和x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线间距离的最大值为(　B　)

A.   B.

C.   D.

解析：因为a，b是关于x的方程x2＋x＋c＝0的两个实根，所以a＋b＝－1，ab＝c.

因为直线x＋y＋a＝0和x＋y＋b＝0之间的距离d＝，

所以d2＝＝，

因为0≤c≤，所以≤1－4c≤1，

所以≤≤，

即d2∈，所以这两条直线之间的距离的最大值为，故选B.

15．已知动直线l0：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，则＋的最小值为(　B　)

A.   B.

C．1   D．9

解析：动直线l0：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)，

∴a＋bm＋c－2＝0.

又Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，

∴＝3，解得m＝0.

∴a＋c＝2.

又a＞0，c＞0，

∴＋＝(a＋c)·＝≥＝，当且仅当c＝2a＝时取等号，故选B.

16．已知x，y为实数，则代数式＋＋的最小值是　　.

解析：如图所示，由代数式的结构可构造点P(0，y)，A(1,2)，Q(x,0)，B(3,3)，

则＋＋

＝|PA|＋|BQ|＋|PQ|.

分别作点A关于y轴的对称点A′(－1,2)，点B关于x轴的对称点B′(3，－3)，则＋＋≥|A′B′|＝，当且仅当P，Q为A′B′与坐标轴的交点时，等号成立，故最小值为.