2020届高考数学一轮复习：课时作业49《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》(含解析) 练习

课时作业49　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　D　)

A.   B.

C.   D.

解析：由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tanα＝－，所以α＝.

2．(2019·石家庄质检)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　B　)

A.   B.

C.∪   D.∪

解析：由直线方程可得该直线的斜率为－，

又－1≤－＜0，所以倾斜角的取值范围是.

3．(2019·安阳模拟)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝(　A　)

A．1±或0   B.或0

C.   D.或0

解析：由题意知kAB＝kAC，即＝，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.

4．(2019·甘肃兰州模拟)已知直线l过点P(1,3)，且与x轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是(　A　)

A．3x＋y－6＝0   B．x＋3y－10＝0

C．3x－y＝0   D．x－3y＋8＝0

解析：设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)．

由题意得解得a＝2，b＝6.

故直线l的方程为＋＝1，

即3x＋y－6＝0，故选A.

5．已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为(　D　)

A．4x－3y－3＝0   B．3x－4y－3＝0

C．3x－4y－4＝0   D．4x－3y－4＝0

解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，

因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tanα＝，

所以直线l的斜率k＝tan2α＝＝＝，

所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.

6．(2019·成都诊断)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为(　A　)

A.   B．[－1,0]

C．[0,1]   D.

解析：由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，

则k＝2x0＋2.

因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围是，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－.

7．直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，实数a的值是(　D　)

A．1   B.

C．2   D．3

解析：当x＝0时，y＝a＋3，当y＝0时，x＝，

令t＝a＋3＋＝5＋(a－1)＋.

因为a＞1，所以a－1＞0.

所以t≥5＋2 ＝9.

当且仅当a－1＝，

即a＝3时，等号成立．

8．(2019·江西赣州十四县模拟)记直线l：2x－y＋1＝0的倾斜角为α，则＋tan2α的值为　－　.

解析：∵直线l：2x－y＋1＝0的斜率为2，

∴tanα＝2，

∴sin2α＝＝＝＝，tan2α＝＝＝－，

∴＋tan2α＝－＝－.

9．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是　[－2,2]　.

解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，

如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．

∴b的取值范围是[－2,2]．

10．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是　5　.

解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)．

当P与A和B均不重合时，

因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA⊥PB，

所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，

所以|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，

当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，

故|PA|·|PB|的最大值是5.

11．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：

(1)过定点A(－3,4)；

(2)斜率为.

解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，

由已知，得(3k＋4)＝±6，

解得k1＝－，k2＝－.

故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.

(2)设直线l在y轴上的截距为b，

则直线l的方程为y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，

由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.

∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.

12．过点P(4,1)作直线l分别交x，y轴正半轴于A，B两点．

(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；

(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．

解：设直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)，

因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.

(1)因为＋＝1≥2 ＝，

所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，

所以当a＝8，b＝2时，S△AOB＝ab最小，

此时直线l的方程为＋＝1，

即x＋4y－8＝0.

(2)因为＋＝1，a＞0，b＞0，

所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2 ＝9，

当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，

所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.

13．已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为(　A　)

A．150°   B．135°

C．120°   D．不存在

解析：由y＝，得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图象如图所示．

显然直线l的斜率存在，设过点P(2,0)的直线l为y＝k(x－2)，则圆心到此直线的距离d＝，弦长|AB|＝2 ＝2 ，

所以S△AOB＝××2

≤＝1，当且仅当(2k)2＝2－2k2，

即k2＝时等号成立，由图可得k＝－(k＝舍去)，故直线l的倾斜角为150°.

14．已知点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q在直线x＋3y＋6＝0上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y0＜x0＋2，则的取值范围是　∪(0，＋∞)　.

解析：依题意可得＝，化简得x0＋3y0＋2＝0，又y0＜x0＋2，kOM＝，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M位于线段AB(不包括端点)上时，kOM＞0，当点M位于射线BN上除B点外时，kOM＜－.

所以的取值范围是∪(0，＋∞)．