2020届高考数学一轮复习：课时作业53《椭圆》(含解析) 练习

课时作业53　椭圆

1．已知三点P(5,2)，F1(－6,0)，F2(6,0)，那么以F1，F2为焦点且经过点P的椭圆的短轴长为(　B　)
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：因为点P(5,2)在椭圆上，
所以|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝，|PF1|＝5，所以2a＝6，即a＝3，c＝6，则b＝3，故椭圆的短轴长为6，故选B.
2．设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　B　)
A. B．
C. D．
解析：由题意知a＝3，b＝，c＝2.
设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，
∵OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，
∴|PF2|＝＝.
又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF1|＝2a－|PF2|＝，
∴＝×＝，故选B.
3．已知点P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若S△MPF1＝λS△MF1F2－S△MPF2成立，则λ的值为(　D　)
A. B．
C. D．2
解析：设内切圆的半径为r，
因为S△MPF1＝λS△MF1F2－S△MPF2，
所以S△MPF1＋S△MPF2＝λS△MF1F2；
由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，
所以ar＝λcr，c＝，
所以λ＝＝2.
4．(2019·安徽宣城一模)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若·＝0，则椭圆的离心率为(　D　)
A. B．
C. D．
解析：由题意知，M(－a,0)，N(0，b)，F(c,0)，
∴＝(－a，－b)，＝(c，－b)．
∵·＝0，
∴－ac＋b2＝0，即b2＝ac.
又知b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac.
∴e2＋e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍)．
∴椭圆的离心率为，故选D.
5．(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为(　D　)
A. B．1
C. D．
解析：法一：不妨设A点在B点上方，
由题意知，F2(1,0)，将F2的横坐标代入椭圆方程＋＝1中，
可得A点纵坐标为，
故|AB|＝3，所以内切圆半径r＝＝＝(其中S为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长)，
故选D.
法二：由椭圆的通径公式得|AB|＝＝3，则S△ABF1＝×2×3＝3，又易得△ABF1的周长C＝4a＝8，则由S△ABF1＝C·r可得r＝.故选D.
6．(2019·豫南九校联考)已知两定点A(－1,0)和B(1,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　A　)
A. B．
C. D．
解析：不妨设椭圆方程为＋＝1(a＞1)，
与直线l的方程联立得
消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，
由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥，
所以e＝＝≤，
所以e的最大值为.故选A.
7．(2019·河北衡水中学模拟)设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为　－5　.
解析：由椭圆的方程可知F2(3,0)，
由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|，
∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，
当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，
又|MF2|＝＝5,2a＝10，
∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，
即|PM|－|PF1|的最小值为－5.
8．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于　　.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，①
＋＝1.②
①、②两式相减并整理得＝－·.
结合已知条件得，－＝－×，
∴＝，
故椭圆的离心率e＝ ＝.
9．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝3，则b＝　3　.
解析：由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a，
又∠F1PF2＝60°，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2，
所以(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，
所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝b2，
所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin60°＝×b2×＝b2＝3，所以b＝3.
10．椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是[2b2,3b2]，椭圆M的离心率为e，则e－的最小值是　－　.
解析：由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|·|PF2|≤2＝a2，
∴2b2≤a2≤3b2，
即2a2－2c2≤a2≤3a2－3c2，
∴≤≤，即≤e≤.
令f(x)＝x－，
则f(x)在上是增函数，
∴当e＝时，e－取得最小值－＝－.
11．已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
解：(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，
故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
将y＝kx－2代入＋y2＝1
得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当Δ＝16(4k2－3)＞0，即k2＞时，
x1,2＝.
从而|PQ|＝|x1－x2|＝.
又点O到直线PQ的距离d＝，
所以△OPQ的面积
S△OPQ＝d·|PQ|＝.
设＝t，则t＞0，S△OPQ＝＝.
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，
即k＝±时等号成立，且满足Δ＞0，
所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为
y＝x－2或y＝－x－2.
12．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.

(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．
解：(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距离d＝＝，
由d＝c，得a＝2b＝2，
可得离心率＝.
(2)解法一：由(1)知，
椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①
依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝.
易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由x1＋x2＝－4，得－＝－4，
解得k＝.从而x1x2＝8－2b2.
于是|AB|＝ |x1－x2|
＝
＝.
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.
解法二：由(1)知，
椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.　②
依题意，点A，B关于圆心M(－2,1)对称，且|AB|＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，
两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0.
易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，
所以AB的斜率kAB＝＝.
因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0.
所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2.
于是|AB|＝ |x1－x2|＝
＝.
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.

13．设F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，P是C上的点，圆x2＋y2＝与线段PF交于A，B两点，若A，B是线段PF的两个三等分点，则椭圆C的离心率为(　D　)
A. B．
C. D．
解析：如图所示，设线段AB的中点为D，

连接OD，OA，设椭圆C的左、右焦点分别为F，F1，
连接PF1.
设|OD|＝t，因为点A，B是线段PF的两个三等分点，
所以点D为线段PF的中点，
所以OD∥PF1，且|PF1|＝2t，PF1⊥PF.
因为|PF|＝3|AB|＝6|AD|＝6，
根据椭圆的定义，得|PF|＋|PF1|＝2a，
∴6＋2t＝2a，
解得t＝或t＝0(舍去)．
所以|PF|＝，|PF1|＝.
在Rt△PFF1中，|PF|2＋|PF1|2＝|FF1|2，
即2＋2＝(2c)2，得＝，
所以椭圆C的离心率e＝＝.
14．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得＝，则该椭圆离心率的取值范围为(　D　)
A．(0，－1) B．
C. D．(－1,1)
解析：在△MF1F2中，＝，
而＝，
∴＝＝.①
又M是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，
∴|MF1|＋|MF2|＝2a.②
由①②得，|MF1|＝，|MF2|＝.
显然|MF2|＞|MF1|，
∴a－c＜|MF2|＜a＋c，
即a－c＜＜a＋c，
整理得c2＋2ac－a2＞0，∴e2＋2e－1＞0，
又0＜e＜1，∴－1＜e＜1，故选D.
15．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的动点M作圆x2＋y2＝的两条切线，切点分别为P和Q，直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F，则△EOF面积的最小值是　　.
解析：设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线MP和MQ的方程分别为x1x＋y1y＝，x2x＋y2y＝.
因为点M在MP和MQ上，
所以有x1x0＋y1y0＝，x2x0＋y2y0＝，则P，Q两点的坐标满足方程x0x＋y0y＝，
所以直线PQ的方程为x0x＋y0y＝，
可得E和F，
所以S△EOF＝·|OE||OF|＝，
因为b2y＋a2x＝a2b2，b2y＋a2x≥2ab|x0y0|，
所以|x0y0|≤，
所以S△EOF＝≥，
当且仅当b2y＝a2x＝时取“＝”，
故△EOF面积的最小值为.
16．(2019·山东济宁一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞2)，直线l：y＝kx＋1(k≠0)与椭圆C相交于A，B两点，点D为AB的中点．
(1)若直线l与直线OD(O为坐标原点)的斜率之积为－，求椭圆C的方程；
(2)在(1)的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有∠AMO＝∠BMO(O为坐标原点)？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)由得(4＋a2k2)x2＋2a2kx－3a2＝0，显然Δ＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴x0＝－，y0＝－＋1＝，
∴k·＝k·＝－，
∴a2＝8.∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在定点M符合题意，
且设M(0，m)，
由∠AMO＝∠BMO得kAM＋kBM＝0.
∴＋＝0.
即y1x2＋y2x1－m(x1＋x2)＝0，
∴2kx1x2＋x1＋x2－m(x1＋x2)＝0.
由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴－－＋＝0，
∴＝0，即＝0，
∵k≠0，∴－4＋m＝0，∴m＝4.
∴存在定点M(0,4)，
使得∠AMO＝∠BMO.