2020届高考数学一轮复习：课时作业54《双曲线》(含解析) 练习

课时作业54　双曲线

1．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m＞0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　A　)
A. B．3
C.m D．3m
解析：由题意知，双曲线的标准方程为－＝1，
其中a2＝3m，b2＝3，
故c＝＝，
不妨取F(，0)，一条渐近线为y＝ x，化成一般式即为x－y＝0，
由点到直线的距离公式可得d＝＝，故选A.
2．(2019·河南洛阳尖子生联考)设F1、F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，过F1引圆x2＋y2＝9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于(　D　)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：连接PF2，OT，
则有|MO|＝|PF2|＝(|PF1|－2a)＝(|PF1|－6)＝|PF1|－3，|MT|＝·|PF1|－|F1T|＝|PF1|－＝|PF1|－4，于是有|MO|－|MT|＝－＝1，故选D.
3．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　B　)
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
解析：方法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为－＝k(k＞0)，
即－＝1，
∵双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点，
∴4k＋5k＝12－3，解得k＝1，
故双曲线C的方程为－＝1，故选B.
方法二：∵椭圆＋＝1的焦点为(±3,0)，双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点，
∴a2＋b2＝(±3)2＝9①，
∵双曲线的一条渐近线为y＝x，
∴＝②.
联立①②可解得a2＝4，b2＝5.
∴双曲线C的方程为－＝1.
4．已知离心率为的双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是(　B　)
A．32 B．16
C．84 D．4
解析：由题意知F2(c,0)，
不妨令点M在渐近线y＝x上，
由题意可知|F2M|＝＝b，
所以|OM|＝＝a.
由S△OMF2＝16，可得ab＝16，
即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，
所以a＝8，b＝4，c＝4，
所以双曲线C的实轴长为16.故选B.
5．已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使＝e，则·的值为(　B　)
A．3 B．2
C．－3 D．－2
解析：由题意及正弦定理得＝＝e＝2，
∴|PF1|＝2|PF2|，
由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2.
又|F1F2|＝4，由余弦定理可知
cos∠PF2F1＝
＝＝，
∴·＝||·||cos∠PF2F1＝2×4×＝2.故选B.
6．(2019·山东泰安联考)已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的范围是(　A　)
A. B．
C．(1,2) D．(2，＋∞)
解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，
即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2，
圆心C2的坐标为(a,0)，半径r＝a，
由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，
得＜a，
即c＞2b，即c2＞4b2，
又知b2＝c2－a2，所以c2＞4(c2－a2)，
即c2＜a2，所以e＝＜，
又知e＞1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为，故选A.
7．(2019·河南安阳一模)已知焦点在x轴上的双曲线＋＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是　(0,2)　.
解析：对于焦点在x轴上的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b.
本题中，双曲线＋＝1即－＝1，其焦点在x轴上，
则解得4＜m＜8，
则焦点到渐近线的距离d＝∈(0,2)．
8．(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为　y＝±x　.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为4|OF|＝|AF|＋|BF|，
所以4×＝y1＋＋y2＋，
即y1＋y2＝p.①
由消去x，
得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
所以y1＋y2＝.②
由①②可得＝，
故双曲线的渐近线方程为y＝±x.
9．(2019·河北名校名师俱乐部模拟)已知F1、F2分别是双曲线x2－＝1(b＞0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积等于　4　.
解析：由题意知a＝1，如图，

由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a＝2，
|BF1|－|BF2|＝2a＝2，
∴|AF1|＝2＋|AF2|＝4，
|BF1|＝2＋|BF2|.
由题意知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|，
∴|BA|＝|BF1|，∴△BAF1为等腰三角形，
∵∠F1AF2＝45°，∴∠ABF1＝90°，
∴△BAF1为等腰直角三角形．
∴|BA|＝|BF1|＝|AF1|＝×4＝2.
∴S△F1AB＝|BA|·|BF1|＝×2×2＝4.
10．(2019·河南天一大联考)已知F1(－c,0)、F2(c,0)为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过双曲线C的左焦点的直线与双曲线C的左支交于Q，R两点(Q在第二象限内)，连接RO(O为坐标原点)并延长交C的右支于点P，若|F1P|＝|F1Q|，∠F1PF2＝π，则双曲线C的离心率为　　.
解析：设|PF1|＝x，则|PF2|＝x－2a，
作Q关于原点对称的点S，如图，
连接PS，RS，SF1.
因为双曲线关于原点中心对称，
所以|PO|＝|OR|，S在双曲线上，
所以四边形PSRQ是平行四边形，

根据对称性知，F2在线段PS上，|F2S|＝|QF1|＝x，
则∠F1PS＝，根据双曲线的定义，
有|F1S|＝x＋2a，所以在△PF1S中，
由余弦定理得(x＋2a)2＝x2＋(2x－2a)2－2·x(2x－2a)·，
解得x＝a，所以|PF2|＝a，
所以在△PF1F2中，由余弦定理得
4c2＝2＋2－2××a×a，整理可得e＝＝.
11．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
解：(1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组有两个不同的实数根，
整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
所以
解得－＜k＜且k≠±1.
即双曲线C与直线l有两个不同的交点时，k的取值范围是(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l与y轴交于点D(0，－1)，由(1)知，C与l联立的方程为(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
所以
当A，B在双曲线的一支上且|x1|＞|x2|时，
S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝(|x1|－|x2|)＝|x1－x2|；
当A，B在双曲线的两支上且x1＞x2时，
S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|.
所以S△OAB＝|x1－x2|＝，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，
即2＋＝8，
解得k＝0或k＝±.
又因为－＜k＜，且k≠±1，
所以当k＝0或k＝±时，△AOB的面积为.
12．(2019·湛江模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
解：(1)∵双曲线的渐近线方程为
y＝±x，∴a＝b，
∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，
∴双曲线方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1，
∴x0＝y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，
即y0＝c，
∴x0＝c，∴点A的坐标为，
代入双曲线方程得－＝1，
即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又∵a2＋b2＝c2，
∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得
c4－2a2c2＋a4＝0，
∴34－82＋4＝0，
∴(3e2－2)(e2－2)＝0，
∵e＞1，∴e＝，∴双曲线的离心率为.

13．焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e1，焦点在y轴上的双曲线C2的离心率为e2，已知C1与C2具有相同的渐近线，当e＋4e取最小值时，e1的值为(　C　)
A．1 B．
C. D．2
解析：设双曲线的方程分别为C1：－＝1，C2：－＝1，由题设＝，则e1＝，e2＝，由此可得(e－1)(e－1)＝1，即ee＝e＋e，故e＝，所以e＋4e＝e＋＝5＋e－1＋≥9(当且仅当e－1＝时取等号)，e－1＝2⇒e1＝时取等号．
14．(2019·山西太原五中月考)已知F1、F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，则＝(　B　)
A．1 B．
C. D．
解析：如图所示，由双曲线定义可知
|AF2|－|AF1|＝2a.

又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，
因为∠F1AF2＝π，
所以S△AF1F2＝|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝×2a×4a×＝2a2.
设|BF2|＝m，由双曲线定义可知
|BF1|－|BF2|＝2a，
所以|BF1|＝2a＋|BF2|，
又知|BF1|＝2a＋|BA|，所以|BA|＝|BF2|.
又知∠BAF2＝，
所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，
所以S△ABF2＝|AB|2＝×(4a)2＝4a2，
所以＝＝，故选B.
15．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为　　.
解析：由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.
当P，F1，F2三点不共线时，
在△PF1F2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝
＝＝－e2，
即e2＝－cos∠F1PF2.
∵cos∠F1PF2∈(－1,1)，∴e∈.
当P，F1，F2三点共线时，
∵|PF1|＝4|PF2|，∴e＝＝，
综上，e的最大值为.
16．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
由已知得a＝，c＝2，
再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意知解得＜k＜1.
所以当l与双曲线左支有两个交点时，k的取值范围为.
(3)由(2)得xA＋xB＝，
所以yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)
＝k(xA＋xB)＋2＝.
所以AB的中点P的坐标为.
设直线l0的方程为y＝－x＋m，
将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.
因为＜k＜1，所以－2＜1－3k2＜0.
所以m＜－2.
所以m的取值范围为(－∞，－2)．