2020届高考数学一轮复习：课时作业57《直线与圆锥曲线》(含解析) 练习

课时作业57　直线与圆锥曲线

1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的交点个数是(　A　)
A．1 B．2
C．1或2 D．0
解析：由直线y＝x＋3与双曲线－＝1的渐近线y＝x平行，故直线与双曲线的交点个数是1.
2．(2019·山东聊城一模)已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为(　D　)
A．y＝x－1 B．y＝－2x＋5
C．y＝－x＋3 D．y＝2x－3
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有①－②得y－y＝4(x1－x2)，由题可知x1≠x2.∴＝＝＝2，即kAB＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.故选D.
3．(2019·湖北武汉调研)已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个交点，则k的取值范围为(　D　)
A. B．
C. D．
解析：由题意知k＞0，联立整理得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，因为直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个交点，则联立所得方程有两个不同的正实数根x1，x2，所以
解得1＜k＜，即k∈，故选D.
4．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　D　)
A. B．
C. D．
解析：易知p＝4，直线AB的斜率存在，抛物线方程为y2＝8x，与直线AB的方程y－3＝k(x＋2)联立，消去x整理得ky2－8y＋16k＋24＝0，由题意知Δ＝64－4k(16k＋24)＝0，解得k＝－2或k＝.因为直线与抛物线相切于第一象限，故舍去k＝－2，故k＝，可得B(8,8)，又F(2,0)，故kBF＝＝，故选D.
5．(2019·湖北武汉调研)已知不过原点O的直线交抛物线y2＝2px于A，B两点，若OA，AB的斜率分别为kOA＝2，kAB＝6，则OB的斜率为(　D　)
A．3 B．2
C．－2 D．－3
解析：由题意可知，直线OA的方程为y＝2x，与抛物线方程y2＝2px联立得得即A，
则直线AB的方程为y－p＝6，
即y＝6x－2p，与抛物线方程y2＝2px联立得得或
所以B，
所以直线OB的斜率为kOB＝＝－3.
故选D.
6．已知双曲线－y2＝1的右焦点是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，直线y＝kx＋m与抛物线相交于A，B两个不同的点，点M(2,2)是线段AB的中点，则△AOB(O为坐标原点)的面积是(　D　)
A．4 B．3
C. D．2
解析：由已知可得双曲线的右焦点为(2,0)，因为该点也为抛物线的焦点，所以p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x，又因为直线y＝kx＋m与抛物线相交于A，B两点，所以将直线方程代入抛物线方程可得(kx＋m)2＝8x⇒k2x2＋(2km－8)x＋m2＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
又因为M(2,2)是线段AB的中点，
所以x1＋x2＝＝4，且2＝2k＋m，
联立解得k＝2，m＝－2.|AB|＝|x1－x2|＝·＝2.O到AB的距离d＝.
∴S△AOB＝×2×＝2.
7．(2019·泉州质检)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，F是双曲线C的右焦点，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D，E，则双曲线C的离心率e的取值范围为(　B　)
A．(，) B．(，＋∞)
C．(，2) D．(1，)
解析：法一：由题意知，直线l：y＝－(x－c)，由得x2＋x－＝0，由x1x2＝＜0，得b4＞a4，所以b2＝c2－a2＞a2，所以e2＞2，得e＞.
法二：由题意，知直线l的斜率为－，若l与双曲线左、右两支分别交于D，E两点，则－＞－，即a2＜b2，所以a2＜c2－a2，e2＞2，得e＞.
8．(2019·洛阳统考)已知双曲线E：－＝1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l的方程为(　C　)
A．4x＋y－1＝0 B．2x＋y＝0
C．2x＋8y＋7＝0 D．x＋4y＋3＝0
解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有两式相减得＝，
即＝×.
又线段AB的中点坐标是，
因此x1＋x2＝2×＝1，y1＋y2＝(－1)×2＝－2，
＝－，＝－，
即直线AB的斜率为－，
直线l的方程为y＋1＝－，
即2x＋8y＋7＝0.
9．(2019·河南洛阳一模)已知直线y＝2x＋2与抛物线y＝ax2(a＞0)交于P，Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线，交抛物线于点A，若|A＋A|＝|A－A|，则a＝　2　.
解析：由得ax2－2x－2＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，
设PQ的中点为M，则xM＝xA＝，yA＝ax＝，
由|A＋A|＝|A－A|可得A·A＝0，
即AP⊥AQ，
又M是线段PQ的中点，∴2|AM|＝|PQ|，由于MA⊥x轴，
∴|MA|＝＝＋2，
又|PQ|＝|x1－x2|＝·
＝·，
∴42＝5，解得a＝2，此时满足Δ＞0成立．故a＝2.
10．(2019·鹰潭模拟)设P为双曲线－＝1右支上的任意一点，O为坐标原点，过点P作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点，则平行四边形PAOB的面积为　15　.
解析：设P(x0，y0)(不妨设P在第一象限)，A在第一象限，直线PA的方程为y－y0＝－(x－x0)，直线OA方程为y＝x，联立解得xA＝，又P到渐近线OA的距离为d＝，
又tan∠xOA＝，所以cos∠xOA＝.所以平行四边形PAOB的面积为S＝2S△OPA＝|OA|·d＝＝×|6y0＋5x0|×＝15.
11．(2019·云南11校跨区联考)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且△ABC面积的最大值为2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝－4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD平分线段MN.
解：(1)由题意得解得
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(－4，n)，
线段MN的中点P(x0，y0)，
则2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，
由(1)可得F(－1,0)，
则直线DF的斜率为kDF＝＝－，
当n＝0时，直线MN的斜率不存在，
根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN.
当n≠0时，直线MN的斜率kMN＝＝.
∵点M，N在椭圆上，∴
整理得：＋＝0，
又2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，
∴＝－，直线OP的斜率为kOP＝－，
∵直线OD的斜率为kOD＝－，
∴直线OD平分线段MN.
12．(2017·天津卷)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为.已知A是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为，求直线AP的方程．
解：(1)设F的坐标为(－c,0)．依题意，＝，＝a，a－c＝，解得a＝1，c＝，p＝2，于是b2＝a2－c2＝.
所以，椭圆的方程为x2＋＝1，抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设直线AP的方程为x＝my＋1(m≠0)，与直线l的方程x＝－1联立，可得点P，故Q.
将x＝my＋1与x2＋＝1联立，消去x，整理得(3m2＋4)y2＋6my＝0，解得y＝0或y＝.由点B异于点A，可得点B.由Q，可得直线BQ的方程为(x＋1)－＝0，令y＝0，解得x＝，故D.所以|AD|＝1－＝.又因为△APD的面积为，故××＝，整理得3m2－2|m|＋2＝0，解得|m|＝，所以m＝±.
所以，直线AP的方程为3x＋y－3＝0或3x－y－3＝0.

13．(2019·河南郑州一模)设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C点，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比＝(　D　)
A. B．
C. D．
解析：不妨设点A在第一象限，B在第四象限，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋.
由y2＝4x得p＝2，因为|BF|＝3＝x2＋＝x2＋1，
所以x2＝2，则y＝4x2＝4×2＝8，所以y2＝－2，
由得y2－4my－4＝0，由根与系数的关系，得y1y2＝－4，所以y1＝，由y＝4x1，得x1＝.
过点A作AA′垂直于准线x＝－1，垂足为A′，过点B作BB′垂直于准线x＝－1，垂足为B′，易知△CBB′∽△CAA′，
所以＝＝.
又|BB′|＝|BF|＝3，|AA′|＝x1＋＝＋1＝，所以＝＝.故选D.
14．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y＝ax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，则m的值为(　A　)
A. B．
C．2 D．3
解析：由双曲线的定义知2a＝4，得a＝2，
所以抛物线的方程为y＝2x2.
因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝2x2上，
所以y1＝2x，y2＝2x，
两式相减得y1－y2＝2(x1－x2)(x1＋x2)，
不妨设x1＜x2，
又A，B关于直线y＝x＋m对称，
所以＝－1，故x1＋x2＝－，而 x1x2＝－，
解得x1＝－1，x2＝，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为M(x0，y0)，
则x0＝＝－，y0＝＝＝，
因为中点M在直线y＝x＋m上，
所以＝－＋m，解得m＝.
15．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)，A为抛物线上一点(A不同于原点O)，过焦点F作直线平行于OA，交抛物线于P，Q两点．若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于B，则|FP|·|FQ|－|OA|·|OB|＝　0　.
解析：设OA所在的直线的斜率为k，则由得到A，易知B，
P，Q的坐标由方程组得到，消去x，得－y－＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系得，y1y2＝－p2，根据弦长公式，
|FP|·|FQ|＝·|y1|··|y2|＝|y1y2|＝p2，而|OA|·|OB|＝·＝p2，
所以|FP|·|FQ|－|OA|·|OB|＝0.
16．(2019·湖北调研)已知椭圆Γ：＋＝1，过点P(1,1)作倾斜角互补的两条不同直线l1，l2，设l1与椭圆Γ交于A、B两点，l2与椭圆Γ交于C，D两点．
(1)若P(1,1)为线段AB的中点，求直线AB的方程；
(2)若直线l1与l2的斜率都存在，记λ＝，求λ的取值范围．
解：(1)解法一(点差法)：
由题意可知直线AB的斜率存在．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
两式作差得＝－·＝－·＝－，
∴直线AB的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
解法二：由题意可知直线AB的斜率存在．
设直线AB的斜率为k，
则其方程为y－1＝k(x－1)，代入x2＋2y2＝4中，得x2＋2[kx－(k－1)]2－4＝0.
∴(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2(k－1)2－4＝0.
Δ＝[－4(k－1)k]2－4(2k2＋1)[2(k－1)2－4]
＝8(3k2＋2k＋1)＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∵AB中点为(1,1)，∴(x1＋x2)＝＝1，
则k＝－.
∴直线AB的方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
(2)由(1)可知|AB|＝ |x1－x2|
＝·
＝.
设直线CD的方程为y－1＝－k(x－1)(k≠0)．
同理可得|CD|＝.
∴λ＝＝ (k≠0)，λ＞0.
∴λ2＝1＋＝1＋.
令t＝3k＋，
则t∈(－∞，－2 ]∪[2，＋∞)，
令g(t)＝1＋，t∈(－∞，－2 ]∪[2，＋∞)，
∵g(t)在(－∞，－2]，[2，＋∞)上单调递减，
∴2－≤g(t)＜1或1＜g(t)≤2＋.
故2－≤λ2＜1或1＜λ2≤2＋.
∴λ∈∪.