2020届高考数学一轮复习：课时作业42《空间几何体的表面积与体积》(含解析) 练习

课时作业42　空间几何体的表面积与体积

1．(2019·湖南五市十校联考)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　D　)

A．4π＋96   B．(2＋6)π＋96

C．(4＋4)π＋64   D．(4＋4)π＋96

解析：由三视图知，该几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径为2，所以该几何体的表面积S＝6×42＋π×22＋π×2×＝(4＋4)π＋96.

2．(2019·福建质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为(　C　)

A．64－   B．64－8π

C．64－   D．64－

解析：由三视图可知该几何体是由棱长为4的正方体截去个圆锥和个圆柱所得到的，且圆锥的底面半径为2，高为4，圆柱的底面半径为2，高为4，所以该几何体的体积为43－＝64－.故选C.

3．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　C　)

A．36π   B．64π

C．144π   D．256π

解析：∵S△OAB是定值，且VO-ABC＝VC-OAB，

∴当OC⊥平面OAB时，VC-OAB最大，即VO-ABC最大．

设球O的半径为R，则

(VO-ABC)max＝×R2×R＝R3＝36，

∴R＝6，∴球O的表面积S＝4πR2＝4π×62＝144π.

4．(2019·河南濮阳一模)已知三棱锥A-BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角，则三棱

锥A-BCD的外接球的表面积为(　D　)

A.   B．5π

C．6π   D.

解析：如图，取BD中点M，连接AM，CM，取△ABD，△CBD的中心即AM，CM的三等分点P，Q，过P作平面ABD的垂线，过Q作平面CBD的垂线，两垂线相交于点O，则点O为外接球的球心，如图，其中OQ＝，CQ＝，

连接OC，则外接球的半径R＝OC＝，表面积为4πR2＝，故选D.

5．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB上的动点，记四面体EFMC的体积为V1，多面体ADF-BCE的体积为V2，则＝(　B　)

A.   B.

C.   D.

解析：由三视图可知多面体ADF-BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a)，且四边形DFEC与四边形ABCD都是正方形，它们的边长均为a.

∵M是AB上的动点，且易知AB∥平面DFEC，

∴点M到平面DFEC的距离等于点B到平面DFEC的距离，距离为a，

∴V1＝VE-FMC＝VM-EFC＝·a·a·a＝，

又V2＝a·a·a＝，故＝＝.

6．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为

(　A　)

A.   B.

C.   D.

解析：原工件是一个底面半径为1，高为2的圆锥，依题意加工后的新工件是圆锥的内接长方体，且落在圆锥底面上的面是正方形，设正方形的边长为a，长方体的高为h，则0＜a＜，0＜h＜2.

于是＝，h＝2－a.

令f(a)＝V长方体＝a2h＝2a2－a3，

∴f′(a)＝4a－3a2，

当f′(a)＝0时，a＝.

易知f(a)max＝f＝.

∴材料利用率＝＝，故选A.

7．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　B　)

A．90π  B．63π

C．42π  D．36π

解析：由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6，高为14的圆柱，所以该几何体的体积V＝×32×π×14＝63π，故选B.

8．已知三棱锥O-ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB＝120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O-ABC的体积为(　B　)

A.   B.

C.   D.

解析：设球O的半径为R，

因为S△AOC＋S△BOC＝R2(sin∠AOC＋sin∠BOC)，

所以当∠AOC＝∠BOC＝90°时，

S△AOC＋S△BOC取得最大值，此时OA⊥OC，

OB⊥OC，又OB∩OA＝O，OA，OB⊂平面AOB，

所以OC⊥平面AOB，

所以V三棱锥O-ABC＝V三棱锥C-OAB

＝OC·OA·OBsin∠AOB

＝R3sin∠AOB＝，故选B.

9．某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为　＋　.

解析：如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为1，四棱锥的高为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形，上底为2，下底为1，高为，所以该组合体的体积V＝××(2＋1)××1＋×π×13＝＋.

10．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为

　8π　.

解析：设圆锥底面半径为r，母线长为l，高为h，

因为母线SA与底面所成的角为30°，所以l＝r.

由△SAB的面积为8得l2＝8，

即×r2＝8，所以r2＝12，h＝r＝2.

所以圆锥的体积为πr2h＝π×12×2＝8π.

11．(2019·江西南昌二中模拟)在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，SA＝，SB＝2，二面角S-AB-C的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为　21π　.

解析：根据题意得SA2＋AB2＝SB2，

即SA⊥AB.

取AB的中点为D，SB的中点为M，

连接CD、MD，得∠CDM为二面角S-AB-C的平面角，

∴∠MDC＝120°.

如图，设三角形ABC的外心为O1，

则O1在CD上，连接BO1，则CO1＝＝BO1，DO1＝.

设外接球半径为R，

易知球心为过M垂直面ABS的垂线与过O1垂直面ABC的垂线的交点O.

在四边形MDO1O中，

∵二面角S-AB-C的平面角∠MDC＝120°，

且MO⊥MD，O1O⊥DO1，MD＝O1D＝，

∴∠ODO1＝60°，OO1＝O1Dtan60°＝，

连接OB，∴R2＝OB2＝OO＋O1B2＝＋3＝，

∴球的表面积S＝4πR2＝21π.

12．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.

(1)证明：直线BC∥平面PAD；

(2)若△PCD的面积为2，求四棱锥P-ABCD的体积．

解：(1)证明：在平面ABCD内，

因为∠BAD＝∠ABC＝90°，

所以BC∥AD.

又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

故BC∥平面PAD.

(2)取AD的中点M，连接PM，CM.

由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，

则CM⊥AD.

因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.

因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.

设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x.

取CD的中点N，连接PN，

则PN⊥CD，所以PN＝x.

因为△PCD的面积为2，

所以×x×x＝2，

解得x＝－2(舍去)或x＝2.

于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2.

所以四棱锥P-ABCD的体积V＝××2＝4.

13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为(　A　)

A．5 000立方尺   B．5 500立方尺

C．6 000立方尺   D．6 500立方尺

解析：该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.

取AB的中点G，CD的中点H，

连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F-GBCH与三棱柱ADE-GHF的体积之和．

又可以将三棱柱ADE-GHF割补成高为EF，底面积为S＝×3×1＝平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V＝×2＋×2×3×1＝5立方丈＝5 000立方尺．

14．(2019·深圳调研)如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为(　A　)

A.　 　 　B．3π  C.　 　 　D．2π

解析：如图，取BD的中点为E，BC的中点为O，

连接AE，OD，EO，AO.

因为AB＝AD，所以AE⊥BD.

由于平面ABD⊥平面BCD，

所以AE⊥平面BCD.

因为AB＝AD＝CD＝1，BD＝，

所以AE＝，EO＝.

所以OA＝.

在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝BC＝，

所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为.

所以该球的体积V＝π×3＝.

15．(2017·全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为　4　.

解析：解法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，

设△ABC的边长为a(a>0)cm，

则△ABC的面积为a2 cm2，点O到△ABC三边的距离都为a cm，△DBC的高为cm，

则正三棱锥的高为

 ＝  cm，

∴25－a>0，∴0<a<5，

∴所得三棱锥的体积V＝×a2× ＝×  cm3.

令t＝25a4－a5，

则t′＝100a3－a4，

由t′＝0，得a＝4(满足0＜a＜5)，

易知此时所得三棱锥的体积最大，为4 cm3.

解法二：由题意知折起以后所得三棱锥的直观图如图所示，

连接CO并延长交AB于H，连接DO、DH.则DO⊥平面ABC.

令OH＝x cm，

则OC＝2x cm，DH＝(5－x) cm，

得OD＝＝ cm，AB＝2x cm.

则VD-ABC＝·＝x2·＝x2 cm3，

令f(x)＝x2，

则f′(x)＝

＝，

则当x∈(0,2)时，f(x)单调递增，当x∈(2,2.5)时，f(x)单调递减，所以当x＝2时，体积取最大值，为×4＝4 cm3.

16．(2019·贵阳质检)如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB＝2，EB＝.

(1)求证：DE⊥平面ACD；

(2)设AC＝x，V(x)表示三棱锥B-ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值．

解：(1)证明：∵四边形DCBE为平行四边形，

∴CD∥BE，BC∥DE.

∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴DC⊥BC.

∵AB是圆O的直径，

∴BC⊥AC，且DC∩AC＝C，DC，AC⊂平面ADC，

∴BC⊥平面ADC.

∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC.

(2)∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC.

在Rt△ABE中，AB＝2，EB＝.

在Rt△ABC中，

∵AC＝x，∴BC＝(0＜x＜2)，

∴S△ABC＝AC·BC＝x·，

∴V(x)＝V三棱锥E-ABC＝x·(0＜x＜2)．

∵x2(4－x2)≤2＝4，当且仅当x2＝4－x2，

即x＝时取等号，

∴当x＝时，体积有最大值.