2020届高考数学一轮复习：课时作业69《离散型随机变量及其分布列》(含解析) 练习

课时作业69　离散型随机变量及其分布列

1．若某一射手射击所得环数X的分布列为

则此射手“射击一次命中环数X≥7”的概率是(　A　)

A．0.88   B．0.12

C．0.79   D．0.09

解析：P(X≥7)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.

2．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是(　D　)

A．P(X＝3)  B．P(X≥2)

C．P(X≤3)  D．P(X＝2)

解析：由超几何分布知P(X＝2)＝.

3．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是(　C　)

A．ξ＝4  B．ξ＝5

C．ξ＝6  D．ξ≤5

解析：“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.

4．甲乙两射箭选手，射中环数X的分布列分别为

则m＋n＋p＝(　C　)

A．0.35  B．0.40

C．0.41  D．0.43

解析：由分布列的性质，得m＋n＝1－(0.1＋0.4＋0.05×2)＝0.4，p＝1－(0.2＋0.4＋0.2＋0.15＋0.04)＝0.01，所以m＋n＋p＝0.41.

5．袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号为1,2,3,4,5；红球三个，分别编号为1,2,3.现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P(X＝3)等于(　D　)

A.  B.

C.  D.

解析：有一个3时，P1＝＝，有两个3时，P2＝＝，所以P(X＝3)＝P1＋P2＝＋＝，故选D.

6．一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数X为随机变量，则P(X＝k)等于(　B　)

A.   B.

C.   D.

解析：{X＝k}表示“第k次恰好打开，前k－1次没有打开”，∴P(X＝k)＝××…××＝.

7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是－1,0,1,2,3.

解析：X＝－1，甲抢到一题但答错了．

X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．

X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对．

X＝2时，甲抢到2题均答对．

X＝3时，甲抢到3题均答对．

8．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列是.

解析：ξ的可能取值为0,1，.

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝)＝＝.

P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝.

9．设随机变量X的概率分布列为

则P(|X－3|＝1)＝.

解析：由＋m＋＋＝1，

解得m＝，

P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.

10．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数η的分布列为.

解析：∵η的所有可能值为0,1,2.

P(η＝0)＝＝，

P(η＝1)＝＝，

P(η＝2)＝＝.

∴η的分布列为

11.甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按行驶里程数R(单位：公里)可分为三类车型：A：80≤R<150，B：150≤R<250，C：R≥250.甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如表：

若甲、乙都选C类车型的概率为.

(1)求p，q的值；

(2)求甲、乙选择不同车型的概率；

(3)某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如表：

设甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列．

解：(1)由题意可知

解得p＝，q＝.

(2)设“甲、乙选择不同车型”为事件A，

则P(A)＝＋×＋×＝，

所以甲、乙选择不同车型的概率是.

(3)X可能取值为7,8,9,10.

P(X＝7)＝×＝，

P(X＝8)＝×＋×＝，

P(X＝9)＝×＋×＝，

P(X＝10)＝×＝.

所以X的分布列为

12．PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微米/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．

从某自然保护区2017年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：

(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；

(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．

解：(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，

则P(A)＝＝.

(2)依据条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.

P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)．

∴P(ξ＝0)＝＝，

P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，

P(ξ＝3)＝＝.

故ξ的分布列为

13．为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下：

如果产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品．

现从上述5件产品中随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X的分布列为.

解析：5件抽测品中的2件优等品，

则X的可能取值为0,1,2.

P(X＝0)＝＝0.3，

P(X＝1)＝＝0.6，

P(X＝2)＝＝0.1.

∴优等品数X的分布列为

14.(2019·河南安阳一模)某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50,100)内，且销售量x的分布频率

f(x)＝

(1)求a的值并估计销售量的平均数；

(2)若销售量大于或等于70，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个组，求随机变量X的分布列及数学期望(将频率视为概率)．

解：(1)由题意知

解得5≤n≤9，n可取5,6,7,8,9，

结合f(x)＝

得＋＋＋＋＝1，

则a＝0.15.

可知销售量分布在[50,60)，[60,70)，

[70,80)，[80,90)，[90,100)内的频率分别是0.1,0.1，0.2，0.3,0.3，

∴销售量的平均数为55×0.1＋65×0.1＋75×0.2＋85×0.3＋95×0.3＝81.

(2)销售量分布在[70,80)，[80,90)，[90,100)内的频率之比为2∶3∶3，所以在各组抽取的天数分别为2,3,3.

X的所有可能取值为1,2,3，

P(X＝1)＝＝＝，

P(X＝3)＝＝＝，

P(X＝2)＝1－－＝.

X的分布列为

数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝.