2020届高考数学一轮复习：课时作业70《二项分布、正态分布及其应用》(含解析) 练习

课时作业70　二项分布、正态分布及其应用

1．设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是(　C　)

A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)

B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)

C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)

D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)

解析：由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，

∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A错 ；

P(X≥σ2)>P(X≤σ1)，故B错；

当t为任意正数时，由题图可知

P(X≤t)≥P(Y≤t)，

而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，

∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正确，D错．

2．(2019·福建厦门模拟)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是(　D　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

解析：袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P1＝，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P＝C2＝.

3．(2019·河北唐山模拟)甲乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是(　D　)

A.  B.

C.  D.

解析：甲不跑第一棒共有A·A＝18种情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：(1)乙跑第一棒，共有A＝6种情况；(2)乙不跑第一棒，共有A·A·A＝8种情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为＝.故选D.

4．(2019·山东淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且X～N(800,502)．则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为(　A　)

(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4)

A．0.977 2  B．0.682 6

C．0.997 4  D．0.954 4

解析：∵X～N(800,502)，

∴P(700≤X≤900)＝0.954 4，

∴P(X>900)＝＝0.022 8，

∴P(X≤900)＝1－0.022 8＝0.977 2.

故选A.

5．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分)．

甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83

乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74

现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B，则P(AB)，P(A|B)的值分别是(　A　)

A.，  B.，

C.，  D.，

解析：由题意知，P(AB)＝×＝，根据条件概率的计算公式得P(A|B)＝＝＝.

6．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是(　D　)

A.  B.

C.  D.

解析：记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意，事件Ai，Bi，Ci(i＝1,2,3)相互独立，则P(Ai)＝＝，P(Bi)＝＝，P(Ci)＝＝，i＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P＝AP(AiBiCi)＝6×××＝.

7．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是.

解析：由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C3·2＝C5＝C5＝.

8．(2019·江西南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为.

解析：口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A表示“第一次取得红球”，事件B表示“第二次取得白球”，则P(A)＝＝，P(AB)＝×＝，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P(B|A)＝＝＝.

9.如图，四边形EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝.

解析：由题意可得，事件A发生的概率P(A)＝＝＝.事件AB表示“豆子落在△EOH内”，则P(AB)＝＝＝，

故P(B|A)＝＝＝.

10．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为.

解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝，

∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A＋B＋AB)C，

∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率

P＝×＝.

11．(2014·新课标Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.

(ⅰ)利用该正态分布，求P(187.8＜Z＜212.2)；

(ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用(ⅰ)的结果，求E(X)．

附：≈12.2.

若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 6，

P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 4.

解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为

＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，

s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.

(2)(ⅰ)由(1)知，Z～N(200,150)，

从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.

(ⅱ)由(ⅰ)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，

依题意知X～B(100,0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.

12．(2019·广东顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．

(1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；

(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到小数点后2位)

(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值．

解：(1)∵前四组频数成等差数列，

∴所对应的也成等差数列，

设a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d，

∴0.5(0.2＋0.2＋d＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.2＋d＋0.1＋0.1＋0.1)＝1，

解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5.

居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25.

居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.

(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8，

∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，

应规定w＝2.5＋×0.5≈2.83.

(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量，

可知P(A≤2.5)＝0.7，

由题意，X～B(3,0.7)，

P(X＝0)＝C×0.33＝0.027，

P(X＝1)＝C×0.32×0.7＝0.189，

P(X＝2)＝C×0.3×0.72＝0.441，

P(X＝3)＝C×0.73＝0.343.

∴X的分布列为

∵X～B(3,0.7)，

∴E(X)＝np＝2.1.

13．(2019·广东茂名一模)设X～N(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是(　D　)

(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.44%)

A．7 539  B．6 038

C．7 028  D．6 587

解析：∵X～N(1,1)，

∴μ＝1，σ＝1.

∵P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.26%，

∴P(0<X<2)＝68.26%，

则P(1<X<2)＝34.13%，

∴阴影部分的面积为1－0.341 3＝0.658 7.∴向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7＝6 587.故选D.

14．(2019·金华一中模拟)春节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为(　B　)

A.  B.

C.  D.

解析：“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，所以P()＝，P()＝，P()＝.由题知A，B，C为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率

P(  )＝P()P()P()＝××＝，所以至少有一人回老家过节的概率P＝1－＝.

15．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是②④.(写出所有正确结论的序号)

①P(B)＝；

②P(B|A1)＝；

③事件B与事件A1相互独立；

④A1，A2，A3是两两互斥的事件；

⑤P(B)的值不能确定，它与A1，A2，A3中哪一个发生都有关．

解析：由题意知A1，A2，A3是两两互斥的事件，

P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，

P(A3)＝，P(B|A1)＝＝，

由此知，②正确；

P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，

而P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)

＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)

＝×＋×＋×＝.

由此知①③⑤不正确；A1，A2，A3是两两互斥事件，④正确，故答案为②④.

16．(2019·河北石家庄新华模拟)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：

(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55,38.45)内的概率；

②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望．

附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ＝≈11.95；

若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4.

解：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.

(2)①∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，

∴P(14.55<Z<38.45)＝P(26.5－11.95<Z<26.5＋11.95)＝0.682 6，

∴Z落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 6.

②根据题意得X～B，

P(X＝0)＝C4＝；

P(X＝1)＝C4＝；

P(X＝2)＝C4＝；

P(X＝3)＝C4＝；

P(X＝4)＝C4＝.

∴X的分布列为

∴E(X)＝4×＝2.