2020届高考数学一轮复习：课时作业64《排列与组合》(含解析) 练习

课时作业64　排列与组合

1．(2019·昆明质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法(　D　)

A．A种 B．A种

C．AA种 D．CCAA种

解析：红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊花两边各一盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有CCAA种摆放方法．

2．(2019·广州测试)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有(　B　)

A．36种 B．24种

C．22种 D．20种

解析：根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有AA＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有CAA＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法，选B.

3．(2019·广东珠海模拟)将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有(　C　)

A．480种 B．360种

C．240种 D．120种

解析：根据题意，将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则必须有2个小球放入1个盒子，其余的小球各单独放入一个盒子，分2步进行分析：①先将5个小球分成4组，有C＝10种分法；②将分好的4组全排列，放入4个盒子，有A＝24种情况，则不同放法有10×24＝240种．故选C.

4．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为(　C　)

A．16 B．18

C．24 D．32

解析：将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A＝6(种)排法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．

5．(2019·河北保定一模)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为(　B　)

A．8 B．7

C．6 D．5

解析：根据题意，分2种情况讨论：①乙和甲一起去A社区，此时将丙丁二人安排到B、C社区即可，有A＝2种情况，②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙丁都去B社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有2×2＝4种情况，则不同的安排方法种数有2＋1＋4＝7种，故选B.

6．将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有(　B　)

A．1 108种 B．1 008种

C．960种 D．504种

解析：将丙、丁两人进行捆绑，看成一人．将6人全排列有AA种排法；将甲排在排头，有AA种排法；乙排在排尾，有AA种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有AA种排法．则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有AA－AA－AA＋AA＝1 008(种)．

7．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有(　C　)

A．24对 B．30对

C．48对 D．60对

解析：利用正方体中两个独立的正四面体解题，如图，它们的棱是原正方体的12条面对角线．

一个正四面体中两条棱成60°角的有(C－3)对，两个正四面体有(C－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(C－3)×2×2＝48对，故选C.

8．(2019·河南豫北名校联考)2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有(　B　)

A．18种 B．24种

C．48种 D．36种

解析：由题意，有两类：第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个，有C＝3种，然后分别从选择的班级中再选择一个学生，有CC＝4种，故有3×4＝12种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，有C＝3种，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人，有CC＝4种，这时共有3×4＝12种，根据分类计数原理得，共有12＋12＝24种不同的乘车方式，故选B.

9．(2019·洛阳统考)某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有36种(用数字作答)．

解析：解法一　第一步，选2名同学报名某个社团，有C·C＝12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C·C＝3种报法．由分步乘法计数原理得共有12×3＝36种报法．

解法二　第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共C种方法；第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名，共A种方法．由分步乘法计数原理得共有C·A＝36种报法．

10．(2019·豫南九校联考)某医院拟派2名内科医生，3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生，外科医生和护士，则不同的分配方案有36种．

解析：2名内科医生的分法为A，3名外科医生与3名护士的分法为CC＋CC，共有A(CC＋CC)＝36(种)不同的分法．

11．(2019·衡水模拟)某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有114种不同的安排方法．(用数字作答)

解析：5个人住3个房间，每个房间至少住1人， 则有(3,1,1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有C·A＝60(种)，A，B住同一房间有C·A＝18(种)，共有60－18＝42(种)，当为(2,2,1)时，有·A＝90(种)，A，B住同一房间有C·A＝18(种)，

故有90－18＝72(种)，

根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种)．

12．(2019·上海崇明一模)从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有780种不同的选法．

解析：要求服务队中至少有1名女生，则分3种情况讨论：

①选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有CC＝30种选法，

这4人选2人作为队长和副队长有A＝12种，其余2人为普通队员，有1种情况，

此时有30×12＝360种不同的选法．

②选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有CC＝30种选法，

这4人选2人作为队长和副队长有A＝12种，其余2人为普通队员，有1种情况，

此时有30×12＝360种不同的选法．

③选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有CC＝5种选法，

这4人选2人作为队长和副队长有A＝12种，其余2人为普通队员，有1种情况，

此时有5×12＝60种不同的选法．

则一共有360＋360＋60＝780种不同的选法．

13．(2019·南昌调研)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有(　A　)

A．120种 B．156种

C．188种 D．240种

解析：解法一　记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法种数分别为AA，AA，CAA，CAA，CAA，故总编排方案有AA＋AA＋CAA＋CAA＋CAA＝120(种)．

解法二　记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有CAA＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．

14．(2019·山西长治模拟)某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有(　C　)

A．22种 B．24种

C．25种 D．36种

解析：由题意知正方形ABCD(边长为3个单位)的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，在点数中三个数字能够使得和为12的有1,5,6；2,4,6；3,4,5；3,3,6；5,5,2；4,4,4，共有6种组合，前三种组合1,5,6；2,4,6；3,4,5各可以排出A＝6种结果，3,3,6和5,5,2各可以排出＝3种结果，4,4,4只可以排出1种结果．根据分类计数原理知共有3×6＋2×3＋1＝25种结果，故选C.

15．(2019·天津和平一模)把8个相同的小球全部放入编号为1,2,3,4的四个盒中，则不同的放法种数为(　C　)

A．35 B．70

C．165 D．1 860

解析：根据题意，分4种情况讨论：

①没有空盒，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选3个，插入隔板，将小球分成4组，顺次对应4个盒子，有C＝35种放法；

②有1个空盒，在4个盒中任选3个，放入小球，有C＝4种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选2个，插入隔板，将小球分成3组，顺次对应3个盒子，有C＝21种分组方法，则有4×21＝84种放法；

③有2个空盒，在4个盒中任选2个，放入小球，有C＝6种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选1个，插入隔板，将小球分成2组，顺次对应2个盒子，有C＝7种分组方法，则有6×7＝42种放法；

④有3个空盒，即将8个小球全部放进1个盒子，有4种放法．

故一共有35＋84＋42＋4＝165种放法．故选C.

16．(2019·洛阳预测)设三位数n＝，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有165个．

解析：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0，即a，b，c∈(1,2,3，…，9)．①若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n1，由于三位数中三个数字都相同，所以n1＝C＝9；②若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为n2，由于三位数中只有2个不同数字，设为a，b，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组(a，b)共有2C组，但当大数为底时，设a>b，必须满足b<a<2b，此时，不能构成三角形的数字是

共20种情况．同时，每个数组(a，b)中的两个数字填上三个数位，有C种情况，故n2＝C(2C－20)＝156.

综上，n＝n1＋n2＝165.