2020届高考数学一轮复习：课时作业71《离散型随机变量的均值与方差》(含解析) 练习

课时作业71　离散型随机变量的均值与方差

1．(2019·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　B　)

A．100   B．200

C．300   D．400

解析：设没有发芽的种子有ξ粒，则ξ～B(1 000,0.1)，且X＝2ξ，∴E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝2×1 000×0.1＝200.

2．(2019·太原模拟)随机变量X的分布列如下：

其中a，b，c成等差数列．若E(X)＝，则D(X)的值是(　B　)

A.  B.

C.  D.

解析：a＋b＋c＝1.又∵2b＝a＋c，

故b＝，a＋c＝.

由E(X)＝，得＝－a＋c，

故a＝，c＝.

D(X)＝2×＋2×＋2×＝.故选B.

3．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是(　C　)

A.   B.

C.   D.

解析：根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为P(X＝1)＝p，发球次数为2即两次发球成功的概率为P(X＝2)＝p(1－p)，发球次数为3的概率为P(X＝3)＝(1－p)2，则期望E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3.依题意有E(X)>1.75，即p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，结合p的实际意义，可得0<p<.

4．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为(　B　)

A.  B.

C.  D.

解析：依题意，知X的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为2＋2＝.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(X＝2)＝，P(X＝4)＝×＝，P(X＝6)＝2＝，故E(X)＝2×＋4×＋6×＝.

5．(2018·浙江卷)设0<p<1，随机变量ξ的分布列是

则当p在(0,1)内增大时，(　D　)

A．D(ξ)减小   B．D(ξ)增大

C．D(ξ)先减小后增大   D．D(ξ)先增大后减小

解析：由题意得E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＋p，

D(ξ)＝2·＋2·＋2·＝[(1＋2p)2(1－p)＋(1－2p)2＋(3－2p)2·p]＝－p2＋p＋＝－2＋.

由得0<p<1，

∴D(ξ)在上单调递增，

在上单调递减，故选D.

6．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝1.96.

解析：本题主要考查二项分布．由题意可知X～B(100，0.02)，由二项分布可得DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.

7．现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为(0<t<2)，且三个人是否应聘成功是相互独立的．记应聘成功的人数为ξ，当且仅当ξ为2时概率最大，则E(ξ)的取值范围为.

解析：由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝＝；

P(ξ＝1)＝×＋2×××＝；

P(ξ＝2)＝2×××＋××＝；

P(ξ＝3)＝××＝.

故ξ的分布列为

∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝t＋，

由题意知P(ξ＝2)－P(ξ＝1)＝>0，

P(ξ＝2)－P(ξ＝0)＝>0，

P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝>0，

又0<t<2，∴1<t<2，

∴<E(ξ)<，即E(ξ)的取值范围为.

8．(2019·河南豫南九校联考)为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．

(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；

(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

解：(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，

送考2次的有100人，送考3次的有80人，

∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为＝2.3.

(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，

“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，

“这两人送考次数相同”为事件D，

由题意知X的所有可能取值为0,1,2，

P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，

P(X＝2)＝P(C)＝＝，

P(X＝0)＝P(D)＝＝，

∴X的分布列为

E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

9．设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．

(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；

(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，D(η)＝，求a∶b∶c.

解：(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6，

故P(ξ＝2)＝＝，

P(ξ＝3)＝＝，

P(ξ＝4)＝＝，

P(ξ＝5)＝＝，

P(ξ＝6)＝＝.

所以ξ的分布列为

(2)由题意知η的分布列为

所以E(η)＝＋＋＝，

D(η)＝2·＋2·＋2·＝，

化简得

解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.

10．(2019·河南洛阳模拟)某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关，如果最高气温不低于25℃，需求量为600桶，如果最高气温(单位：℃)位于区间[20,25)，需求量为400桶，如果最高气温低于20℃，需求量为200桶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代表最高气温位于该区间的概率．

(1)求六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列；

(2)设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y(单位：元)，当六月份这种冰激凌一天的进货量n(单位：桶)为多少时，Y的数学期望取得最大值？

解：(1)由已知得，X的所有可能取值为200,400,600，记六月份最高气温低于20℃为事件A1，最高气温(单位：℃)位于区间[20,25)为事件A2，最高气温不低于25℃为事件A3，根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，

可知P(X＝200)＝P(A1)＝＝，

P(X＝400)＝P(A2)＝＝，

P(X＝600)＝P(A3)＝＝，

故六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列为

(2)由题意得，当n≤200时，E(Y)＝2n≤400；

当200<n≤400时，E(Y)＝×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋×n×2＝n＋160∈(400,640]；

当400<n≤600时，

E(Y)＝×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋×[400×2＋(n－400)×(－2)]＋×n×2＝－n＋800∈[560,640)；

当n>600时，

E(Y)＝×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋×[400×2＋(n－400)×(－2)]＋×[600×2＋(n－600)×(－2)]＝1 760－2n<560，

所以当n＝400时，Y的数学期望E(Y)取得最大值640.

11．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立．

(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：

若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

解：(1)依题意，得

p1＝P(40<X<80)＝＝0.2，

p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，

p3＝P(X>120)＝＝0.1.

由二项分布可知，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为

p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3

＝4＋4×3×＝0.947 7.

(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．

①安装1台发电机的情形．

由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.

②安装2台发电机的情形．

依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－800＝4 200，因此P(Y＝4 200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：

所以，E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840.

③安装3台发电机的情形．

依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－1 600＝3 400，因此P(Y＝3 400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2－800＝9 200，因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X>120时，三台发电机运行，此时Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1，由此得Y的分布列如下：

所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．