2019版高考数学（理）创新大一轮江苏专用版讲义：第九章平面解析几何第57讲

第57讲　椭 圆
考试要求　1.椭圆的实际背景，椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用(A级要求)；2.椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单几何性质(B级要求).

诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(　　)
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(　　)
(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.(　　)
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.(　　)
(5)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.(　　)
解析　(1)由椭圆的定义知，当该常数大于F1F2时，其轨迹才是椭圆，而常数等于F1F2时，其轨迹为线段F1F2，常数小于F1F2时，不存在这样的图形.
(2)因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
2.(2017·浙江卷改编)椭圆＋＝1的离心率是________.
解析　由已知，a＝3，b＝2，则c＝＝，所以e＝＝.
答案　
3.(教材改编)椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝________.
解析　由题意知
或
解得m＝4或m＝8.
答案　4或8
4.(选修1－1P30习题3改编)经过A，B两点的椭圆的标准方程为________.
解析　设椭圆方程为＋＝1(a>0，b>0)，将点A，B代入得＋＝1，
＋＝1，解得b2＝1，a2＝8，
所以椭圆方程为＋y2＝1.
答案　＋y2＝1
5.(教材改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________.
解析　设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，
得x＝±，又x>0，所以x＝，所以P点坐标为或.
答案　或
知 识 梳 理
1.椭圆的概念
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若ab>0)
＋＝1(a>b>0)
图形


性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴　对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
F1F2＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2

考点一　椭圆的定义及标准方程
【例1－1】 已知△ABC的三边a，b，c(a>b>c)成等差数列，A，C两点的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，试确定顶点B所在的曲线的方程.
解　设点B的坐标为(x，y)，
因为a，b，c(a>b>c)成等差数列，
所以a＋c＝2b，即BC＋BA＝4>AC＝2.
由椭圆定义知点B所在曲线的轨迹方程为＋＝1.
又因为a>b>c，所以BC>AC，
所以(x－1)2＋y2>(x＋1)2＋y2，所以x0).
∵椭圆过点P(3，0)，∴＋＝1，即b＝3.
又2a＝3×2b，∴a＝9，∴椭圆方程为＋＝1.
∴所求椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).
∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程.
即
①②两式联立，解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
答案　(1)＋y2＝1或＋＝1
(2)＋＝1
【例1－3】 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且1⊥2.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
解析　设PF1＝r1，PF2＝r2，
则
因为2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)
＝4a2－4c2＝4b2，
又因为S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，
所以b＝3.
答案　3
规律方法　(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>F1F2这一条件.
(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式.
(3)当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求PF1·PF2；通过整体代入可求其面积等.
【训练1】 已知动圆M与圆F：x2＋(y－2)2＝1外切，与圆N：x2＋y2＋4y－77＝0内切，求动圆圆心M所在的曲线C的方程.
解　因为圆N：x2＋y2＋4y－77＝0，
即x2＋(y＋2)2＝81，所以N(0，－2)，半径为9.
设动圆半径为R，则MF＝R＋1，MN＝9－R，
所以MF＋MN＝10>FN＝4，所以动点M所在的曲线是以F，N为焦点、长轴长为10的椭圆，其方程为＋＝1.
考点二　椭圆的几何性质
【例2－1】 (2016·全国Ⅲ卷改编)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________.
解析　设M(－c，m)，则E ，OE的中点为D，则D ，又B，D，M三点共线，所以＝，a＝3c，e＝.
答案　
【例2－2】 已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|1＋2|的最小值是________.
解析　设P(x0，y0)，则1＝(－1－x0，－y0)，
＝(1－x0，－y0)，∴1＋2＝(－2x0，－2y0)，
∴|1＋2|＝
＝2
＝2，
∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，
∴当y＝1时，|1＋2|取最小值2.
答案　2
规律方法　(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧
①注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系.
②利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.
(2)求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.
【训练2】 (2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.

解析　联立方程组解得B、C两点坐标为
B，C，又F(c，0)，
则＝，＝，
又由∠BFC＝90°，可得·＝0，代入坐标可得
c2－a2＋＝0，①
又因为b2＝a2－c2.
代入①式可化简为＝，则椭圆离心率为e＝＝＝.
答案　
考点三　直线与椭圆的位置关系
【例3】 (2015·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程.
解　(1)由题意，得＝且c＋＝3，
解得a＝，c＝1，则b＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)当AB⊥x轴时，AB＝，又CP＝3，不合题意.
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将AB的方程代入椭圆方程，
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，
则x1，2＝，
C的坐标为，且
AB＝＝
＝.
若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意.
从而k≠0，故直线PC的方程为
y＋＝－，
则P点的坐标为，
从而PC＝.
因为PC＝2AB，所以＝，
解得k＝±1.
此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.
规律方法　与椭圆有关的综合问题，往往与其他知识相结合，解决这类问题的常规思路是联立直线方程与椭圆方程，解方程组求出直线与椭圆的交点坐标，然后根据所给的向量条件再建立方程，解决相关问题.涉及弦中点问题用“点差法”解决往往更简单.
【训练3】 (2018·南通调研)如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A(2，0)，点P在椭圆上(e为椭圆的离心率).

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点B，C(C在第一象限)都在椭圆上，满足＝λ，且·＝0，求实数λ的值.
解　(1)由条件，a＝2，e＝，代入椭圆方程，得＋＝1.
∵b2＋c2＝4，∴b2＝1，c2＝3.
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)设直线OC的斜率为k，则直线OC方程为y＝kx，
代入椭圆方程＋y2＝1，即x2＋4y2＝4，
得(1＋4k2)x2＝4，∴xC＝.
则C.
又直线AB方程为y＝k(x－2)，
代入椭圆方程x2＋4y2＝4，
得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0.
∵xA＝2，∴xB＝，则B.
∵·＝0，∴·＋·＝0.
∴k2＝，∵C在第一象限，∴k＞0，k＝.
∵＝，
＝＝，
由＝λ，得λ＝.
∵k＝，∴λ＝.

一、必做题
1.(2018·苏北四市联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为________.
解析　依题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c＝1，又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.
答案　＋＝1
2.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为________.
解析　以线段A1A2为直径的圆是x2＋y2＝a2，直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离d＝＝a，整理为a2＝3b2，即a2＝3(a2－c2)⇒2a2＝3c2，即＝，e＝＝.
答案　
3.(2018·青岛月考)已知A1，A2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－，则椭圆C的离心率为________.
解析　设P(x0，y0)，则·＝－，
化简得＋＝1，
则＝，e＝＝＝.
答案　
4.已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则PM＋PN的最小值为________.
解析　由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且PF1＋PF2＝10，从而PM＋PN的最小值为PF1＋PF2－1－2＝7.
答案　7
5.若椭圆＋＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2，1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________.
解析　设切点坐标为(m，n)，
则·＝－1，
即m2＋n2－n－2m＝0.
∵m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，
即直线AB的方程为2x＋y－4＝0.
∵直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，
∴2c－4＝0，b－4＝0，解得c＝2，b＝4，
∴a2＝b2＋c2＝20，
∴椭圆方程为＋＝1.
答案　＋＝1
6.(2018·南昌模拟)已知椭圆：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为________.
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆＋x2＝1上，所以
两式相减得＋x－x＝0，
即＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，
又弦AB被点P平分，
所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，
将其代入上式，得＋x1－x2＝0，
得＝－9，
即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为
y－＝－9，
即9x＋y－5＝0.
答案　9x＋y－5＝0
7.(2018·宿迁模拟)已知F1、F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使PF1·PF2取得最大值的点P为________.
解析　由椭圆定义得PF1＋PF2＝2a＝4，
∴PF1·PF2≤＝4，
当且仅当PF1＝PF2＝2，
即P(0，－1)或(0，1)时，PF1·PF2取得最大值.
答案　(0，1)或(0，－1)
8.(2018·连云港质检)椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________.
解析　设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，
则＝(x＋，y)，＝(x－，y).
∵∠F1PF2为钝角，∴·0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为1.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线y＝于点Q，求＋的值.
解　(1)由题意得＝，－c＝1,
解得a＝，c＝1，b＝1.
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知OP的斜率存在.
当OP的斜率为0时，OP＝，OQ＝，所以＋＝1.当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y＝kx.
由得x2＝2，解得x2＝，所以y2＝，
所以OP2＝x2＋y2＝.因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为y＝－x.
由得x＝－k，所以OQ2＝2k2＋2.所以＋＝＋＝1.
综上，可知＋＝1.
二、选做题
11.(2018·苏州质检)设A1，A2为椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，若在椭圆上存在异于A1，A2的点P，使得·2＝0，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是________.
解析　A1(－a，0)，A2(a，0)，
设P(x，y)，则＝(－x，－y)，2＝(a－x，－y)，
∵·2＝0，∴(a－x)(－x)＋(－y)(－y)＝0，
∴y2＝ax－x2>0，∴0