2019版高考数学（理）创新大一轮江苏专用版讲义：第九章平面解析几何第61讲

第61讲　圆锥曲线的综合应用
考试要求　高考中重点考查直线与椭圆的位置关系.

诊 断 自 测
1.(2017·全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则FN＝________.
解析　因y2＝8x则p＝4，焦点为F(2，0)，准线l：x＝－2，
如图，M为FN中点，

故易知线段BM为梯形ANFF′中位线，
∵AN＝2，FF′＝4，
∴MB＝3，
又由定义MB＝MF，且MN＝MF，
∴NF＝NM＋MF＝2MB＝6.
答案　6
2.(2017·全国卷Ⅰ改编)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则AB＋DE的最小值为________.
解析　抛物线C为y2＝4x，焦点F(1，0)，准线x＝－1，由题意知，直线l1，l2的斜率均存在且不为零，设l1为y＝k(x－1)，直线l2的斜率为－，联立消y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，E(x4，y4)，由韦达定理得x1＋x2＝，同理x3＋x4＝，根据抛物线性质，有AB＝x1＋1＋x2＋1，同理DE＝x3＋1＋x4＋1，∴AB＋DE＝＋2＋＋2＝8＋＋4k2≥8＋2＝16，当且仅当＝4k2即k＝±1时取等号.
答案　16
3.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为________.
解析　以线段A1A2为直径的圆是x2＋y2＝a2，直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离d＝＝a，整理为a2＝3b2，即a2＝3(a2－c2)⇒2a2＝3c2，即＝，e＝＝.
答案　
4.(2017·全国Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN＝60°，则C的离心率为________.
解析　如图，点M，N所在的渐近线为ay－bx＝0，圆A的圆心A(a，0)到渐近线的距离d＝，又M，N均为圆A上的点，∴AM＝AN＝b，又∠MAN＝60°，∴△MAN为等边三角形，在△MAN内，A到边MN的距离为d＝AM·
sin 60°＝b，∴有＝b，解得a2＝3b2，∴c2＝4b2，∴e＝＝
＝.

答案　
知 识 梳 理
1.定点定值问题
方法一：先特殊后一般，要加以证明；
方法二：直接研究一般性，转化成恒成立问题.
2.最值、取值范围问题
(1)利用几何意义求解；(2) 转化成代数关系求解.
3.弦长问题
利用弦长公式求解.

考点一　弦长问题
【例1－1】 (2017·苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左顶点为A(－4，0)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆 C于点D，交y轴于点E.

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值.
解　(1)因为左顶点为A(－4，0)，所以a＝4，又e＝，所以c＝2.
因为b2＝a2－c2＝12，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)直线l的方程为y＝k(x＋4)，由得(3＋4k2)x2＋32k2x＋64k2－48＝0，所以xA·xD＝－4xD＝，所以xD＝.
因为OM∥l，所以OM的方程可设为y＝kx，
由得点M的横坐标为x＝±.由OM∥l，
得＝＝
＝＝·
＝≥2，
当且仅当＝，即k＝±时取等号，
所以当k＝±，的最小值为2.
【例1－2】 在平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1 (a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，求椭圆M的方程.
解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则＋＝1，＋＝1，＝－1，
由此可得·＝－＝1.
因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，
所以a2＝2b2.
又由题意知，M的右焦点为(，0)，
故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.
所以椭圆M的方程为＋＝1.
考点二　定点定值问题
【例2】 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为4，F1，F2为椭圆左、右焦点，点B为下顶点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点P(x0，y0)是椭圆C上第一象限的点.
①若M为线段BF1上一点，且满足＝·，求直线OP的斜率；
②设点O到直线PF1，PF2的距离分别为d1，d2，求证：＋为定值，并求出该定值.
(1)解　由题意知，2b＝4，∴ b＝2.∵ e＝＝，且a2＝b2＋c2，解得a＝，c＝1，∴ 椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)①解　由(1)知：B(0，－2)，F1(－1，0)，
∴直线 BF1的方程为y＝－2x－2.
设M(t，－2t－2)，
由＝·，得
代入椭圆方程得＋6(t＋1)2＝1，
得36t2＋60t＋25＝0，即(6t＋5)2＝0，
解得t＝－，所以M，
所以OM的斜率为，即直线OP的斜率为.
②证明　由题意，PF1：y＝(x＋1)，
即y0x－(x0＋1)y＋y0＝0，
∴ d1＝，
同理可得d2＝.
∴ ＋＝＋＝PF1＋PF2＝2a＝2.
规律方法　(1)定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.
(2)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
考点三　最值、取值范围问题
【例3－1】 在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)上.若点A(－a，0)，B，且＝.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点，线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合.若直线l过点(0，－1)，且与x轴的交点为D，求D点横坐标的取值范围.
解　(1)设C(x0，y0)，
则＝，＝.
因为＝，
所以＝＝，得
代入椭圆方程得a2＝b2.
因为c2＝a2－b2＝b2，
所以椭圆的离心率e＝＝.
(2)因为椭圆M的焦距为4，则c＝2，结合(1)可得椭圆M的方程为＋＝1.
设PQ：y＝kx＋m，则直线l的方程为y＝－x－1，所以xD＝－k.
将直线PQ的方程代入椭圆的方程，
消去y得(5＋9k2)x2＋18kmx＋9m2－45＝0.①
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点为N，xN＝
＝－，
代入直线PQ的方程得yN＝，
代入直线l的方程得9k2＝4m－5.②
因为Δ＝(18km)2－4(5＋9k2)(9m2－45)＞0，化简得m2－9k2－5＜0.
将②代入上式得m2－4m＜0，解得0＜m＜4，
所以－＜k＜，且k≠0，
所以xD＝－k∈∪，
综上所述，点D横坐标的取值范围是∪.
【例3－2】 (2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2.

(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，动直线l：y＝k1x－交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2＝.M是线段OC延长线上一点，且MC∶AB＝2∶3，⊙M的半径为MC，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T.求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率.
解　(1)由题意知e＝＝，2c＝2，
所以a＝，b＝1，
因此椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程
得(4k＋2)x2－4k1x－1＝0，
由题意知Δ＞0，
且x1＋x2＝，x1x2＝－，
所以AB＝|x1－x2|＝ .
由题意可知圆M的半径r为
r＝AB＝，
由题设知k1k2＝，
所以k2＝，
因此直线OC的方程为y＝x，
联立方程
得x2＝，y2＝，
因此OC＝＝.
由题意可知，sin＝＝.
而＝＝，
令t＝1＋2k，则t＞1，∈(0，1)，
因此＝＝
＝≥1，
当且仅当＝，即t＝2时等号成立，此时k1＝±，
所以sin ≤，因此≤，
所以∠SOT最大值为.
综上所述，∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1＝±.
规律方法　圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法、或利用判别式构造不等关系、利用隐含或已知的不等关系建立不等式等方法求最值、范围；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值.
考点四　探索性问题
【例4】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线l：x－my－1＝0(m∈R)过椭圆C的右焦点F交椭圆C于A，B两点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点D，连接BD，过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与直线BD交于点P，试探索当m变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P恒在直线l2上？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由.
解　(1)在x－my－1＝0中，令y＝0，则x＝1，所以F(1，0).
由题设得解得从而b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)令m＝0，则A，B或A，
B.
当A，B时，P；
当A，B时，P.
所以满足题意的定直线l2只能是x＝4.
下面证明点P恒在直线x＝4上.
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由于PA垂直于y轴，所以点P的纵坐标为y1，
从而只要证明P(4，y1)在直线BD上.
由消去x，得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0.
因为Δ＝144(1＋m2)>0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝.①
因为kDB－kDP＝－＝－＝＝.
将①式代入上式，得kDB－kDP＝0，所以kDB＝kDP.
所以点P(4，y1)在直线BD上，
从而直线l1、直线BD与直线l2：x＝4三线恒过同一点P，
所以存在一条定直线l2：x＝4，使得点P恒在直线l2上.

一、必做题
1.如图，已知椭圆＋＝1的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点.

(1)若点G的横坐标为－，求直线AB的斜率；
(2)记△GFD的面积为S1，△OED(O为原点)的面积为S2.
试问：是否存在直线AB，使得S1＝S2？说明理由.
解　(1)依题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将其代入＋＝1，
整理得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
所以x1＋x2＝.
故点G的横坐标为＝＝－.
解得k＝±.
(2)假设存在直线AB，使得S1＝S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直.
由(1)可得G.
设D点坐标为(xD，0).
因为DG⊥AB，
所以×k＝－1，
解得xD＝，
即D.
因为△GFD∽△OED，
所以S1＝S2⇔GD＝OD.
所以 ＝，
整理得8k2＋9＝0，此方程无解，
所以不存在直线AB，使得S1＝S2.
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上不同的三点，A，B(－3，－3)，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)求点C的坐标；
(3)设动点P在椭圆上(异于点A，B，C)，且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，求证·为定值，并求出该定值.
(1)解　由已知得解得
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)解　设点C(m，n)(m＜0，n＜0)，则BC中点为.由已知，求得直线OA的方程为x－2y＝0，从而m＝2n－3.①
又点C在椭圆上，∴ m2＋2n2＝27.②
由①②，解得n＝3(舍)，或n＝－1，从而m＝－5.
∴点C的坐标为(－5，－1).
(3)证明　设P(x0，y0)，M(2y1，y1)，N(2y2，y2).
∵P，B，M三点共线，
∴＝可得y1＝.
同理由P，C，N三点共线，
可得y2＝.
∵点P在椭圆上，
∴x＋2y＝27，x＝27－2y.
从而y1y2＝＝＝3×＝.
∴·＝5y1y2＝，
∴·为定值，该定值为.
3.(2017·无锡期末)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为(x－c)2＋y2＝a2＋c2(c为半焦距)，直线l：y＝kx＋m(k>0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别设为点A，B.
(1)求椭圆M和直线l的方程；
(2)试在圆N上求一点P，使＝2.
解　(1)由题意知解得a＝2，c＝1，
所以b＝，
所以椭圆M的方程为＋＝1.
圆N的方程为(x－1)2＋y2＝5.
由直线l：y＝kx＋m与椭圆M只有一个公共点，联立得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①
所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，
得m2＝3＋4k2.②
由直线l：y＝kx＋m与圆N只有一个公共点，得＝，即k2＋2km＋m2＝5＋5k2，③
将②代入③得km＝1.④
由②④且k>0，得k＝，m＝2，
所以直线l：y＝x＋2.
(2)由(1)可知，A.
又过切点B的半径所在的直线l′为y＝－2x＋2，所以得交点B(0，2).
设P(x0，y0)，因为＝2，
则＝8，化简得7x＋7y＋16x0－20y0＋22＝0.⑤
又P(x0，y0)满足x＋y－2x0＝4，⑥
将⑤－7×⑥，得3x0－2y0＋5＝0，
即y0＝.⑦
将⑦代入⑥得13x＋22x0＋9＝0，
解得x0＝－1或x0＝，
所以P(－1，1)或P.
4.如图，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为A，P为椭圆C1上任意一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－的直线l与AF平行且与圆C2相切.

(1)求椭圆C1的离心率；
(2)若椭圆C1的短轴长为8，求·的最大值.
解　(1)由题意得F(c，0)，A(0，b)，则kAF＝－.
因为在y轴上截距为3－的直线l与AF平行，
所以直线l：y＝－x＋3－，即bx＋cy＋(－3)c＝0.
因为圆C2的圆心C2(0，3)，半径r＝1，直线l与圆C2相切，所以＝1，即＝1，所以e＝.
(2)因为椭圆C1的短轴长为8，所以2b＝8，即b＝4.
因为a2＝b2＋c2，＝1，所以a＝c，2c2＝b2＋c2.
所以c＝b＝4，a＝4，所以椭圆方程是＋＝1.
设P(x，y)，则·＝(2＋)·(2＋)
＝|2|2＋2·(＋)＋·
＝|2|2＋·＝x2＋(y－3)2－1
＝32＋(y－3)2－1＝－y2－6y＋40
＝－(y＋3)2＋49，
又y∈[－4，4]，所以当y＝－3时，·的最大值是49.