2019版高考数学（理）创新大一轮江苏专用版讲义：第十章算法、复数、统计、概率、推理与证明第63讲

第63讲　复　数

考试要求　1.复数的概念(B级要求)，复数的几何意义(A级要求)，复数的四则运算(B级要求)；2.高考中对本讲的考查仍以填空题为主，难度不大，围绕复数的基本概念、基本运算进行考查.

诊 断 自 测

1.(2016·全国Ⅰ卷改编)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝________.

解析　∵(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，

∴a－2＝2a＋1，解得a＝－3.

答案　－3

2.(选修2－2P105习题2改编)已知复数z＝(m2＋m)＋(m2－2m－3)i(m∈R)是一个纯虚数，那么m＝________.

解析　由解得m＝0.

答案　0

3.(2018·泰州模拟)已知复数z满足(3＋i)z＝10i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数是________.

解析　复数z＝＝＝1＋3i，则复数z的共轭复数是＝1－3i.

答案　1－3i

4.(选修2－2P109练习1改编)复数z＝在复平面内对应的点所在象限为第________象限.

解析　z＝＝＝＝－i.

答案　四

5.i2 011＋i2 012＋i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016＋i2 017＝________.

解析　原式＝i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＋i＝1.

答案　1

知 识 梳 理

1.复数的有关概念

(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).

(2)分类：

(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).

(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).

(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).

2.复数的几何意义

复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.

3.复数的运算

(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.

考点一　复数的概念

【例1－1】 (1)(2018·无锡模拟)若复数z＝(1－i)(m＋2i)(i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为________.

(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的________条件.

(3)(2016·天津卷)i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________.

解析　(1)z＝m－mi＋2i＋2＝(m＋2)＋(2－m)i.

∵z为纯虚数，∴m＝－2.

(2)由解得m＝－2或m＝1，

所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件.

(3)∵(1＋i)z＝2，∴z＝＝1－i，∴其实部为1.

答案　(1)－2　(2)充分不必要　(3)1

【例1－2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)设有下面四个命题

p1：若复数z满足∈R，则z∈R；

p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；

p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；

p4：若复数z∈R，则∈R.

其中的真命题为________.

解析　p1：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝∈R，得到b＝0，所以z∈R，故p1正确；

p2：若z2＝－1，满足z2∈R，而z＝i，不满足z∈R，故p2不正确；

p3：若z1＝1，z2＝2，则z1z2＝2，满足z1z2∈R，而它们实部不相等，不是共轭复数，故p3不正确；

p4：因复数z∈R，所以z的虚部为0，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确.

答案　p1，p4

规律方法　解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.

(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.

【训练1】 (1)(2018·苏北四市期中)复数z＝(1＋i)(3－2i)的虚部为________.

(2)(2017·盐城三模)若复数z＝(x＋i)(1＋i)是纯虚数，其中x为实数，i为虚数单位，则z的共轭复数＝________.

解析　(1)因为z＝(1＋i)(3－2i)＝3－2i＋3i－2i2＝5＋i，所以虚部为1.

(2)因为z＝(x＋i)(1＋i)＝x－1＋(x＋1)i是纯虚数，所以x＝1，故z＝2i，从而＝－2i.

答案　(1)1　(2)－2i

考点二　复数的运算

【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷改编)若z＝1＋2i，则＝________.

(2)(2016·北京卷改编)复数＝________.

(3)＋＝________.

解析　(1)z＝1＋2i，z ＝5，＝i.

(2)＝＝＝i.

(3)原式＝＋

＝i6＋＝－1＋i.

答案　(1)i　(2)i　(3)－1＋i

【例2－2】 (1)(2016·山东卷改编)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝________.

(2)(2016·全国Ⅲ卷改编)若z＝4＋3i，则＝________.

解析　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，∴2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得3a＋bi＝3－2i，∴解得∴z＝1－2i.

(2)z＝4＋3i，|z|＝5，＝－i.

答案　(1)1－2i　(2)－i

规律方法　(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.

(2)记住以下结论，可提高运算速度：

①(1±i)2＝±2i；②＝i；③＝－i；④＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，

i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).

【训练2】 (1)(2018·常州模拟)若i为虚数单位，复数z＝1＋2i，则＝________.

(2)＝________.

(3)＋＝________.

解析　(1)因为z＝1＋2i，所以z2＝(1＋2i)2＝－3＋4i，

|z|＝，所以＝＝－＋i.

(2)＝＝i2 017＝i.

(3)＋

＝＋

＝i＋i1 008·(1＋i)＝＋i.

答案　(1)－＋i　(2)i　(3)＋i

考点三　复数的几何意义

【例3】 (1)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的________.

(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：

①，所表示的复数；

②对角线所表示的复数；

③B点对应的复数.

(1)解析　由几何意义知，复数z对应的点到△ABC三个顶点距离都相等，z对应的点是△ABC的外心.

答案　外心

(2)解　①＝－，∴所表示的复数为－3－2i.

∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.

②＝－，∴所表示的复数为

(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.

③＝＋＝＋，

∴所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，

即B点对应的复数为1＋6i.

规律方法　因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.

【训练3】 (1)求满足|z－1|＝2的复数z对应的点的轨迹.

(2)求满足等式|z－i|＋|z＋i|＝3的复数z对应的点的轨迹.

解　(1)复数z对应的点的轨迹是以(1，0)为圆心、2为半径的圆.

(2)因为|z－i|＋|z＋i|＝3，故由复数模的几何意义得z对应的点到定点(0，1)和(0，－1)的距离之和为3，满足椭圆的定义，所以复数z对应的点的轨迹为椭圆.

一、必做题

1.(2017·全国Ⅱ卷)＝________.

解析　＝＝2－i.

答案　2－i

2.(2018·苏北联考)如果复数1，a＋i，3＋a2i(a∈R)成等比数列，那么a的值为________

解析　由题意知(a＋i)2＝1×(3＋a2i)，

即a2－1＋2ai＝3＋a2i，∵解得a＝2.

答案　2

3.若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是________.

解析　由题图知复数z＝3＋i，

∴＝＝＝＝2－i.

∴表示复数的点为H.

答案　H

4.(2017·山东卷)已知a∈R，i是虚数单位.若z＝a＋i，z·＝4，则a＝________.

解析　由已知得(a＋i)(a－i)＝4，∴a2＋3＝4，解得a＝±1.

答案　±1

5.已知0<a<2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是________.

解析　由于复数z的实部为a，虚部为1，且0<a<2，

所以由|z|＝，得1<|z|<.

答案　(1，)

6.若i为虚数单位，已知a＋bi＝(a，b∈R)，则点(a，b)与圆x2＋y2＝2的位置关系为________.

解析　∵a＋bi＝＝＝＋i，

∴则a2＋b2＝>2，

∴点(a，b)在圆x2＋y2＝2外.

答案　点在圆外

7.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是________.

解析　z＝(3m－2)＋(m－1)i，其对应点(3m－2，m－1)在第三象限内，故3m－2<0且m－1<0，∴m<.

答案　

8.已知集合M＝{1，m，3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1，3}，若M∩N＝{3}，则实数m的值为________.

解析　∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1∉M，

∴m≠－1，3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，

∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，

解得m＝6或m＝3，经检验符合题意.

答案　3或6

9.已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________.

解析　

∵|z－2|＝＝，

∴(x－2)2＋y2＝3.

由图可知＝＝.

答案　

10.若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝________，c＝________.

解析　∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根.

由根与系数的关系知，

∴b＝－2，c＝3.

答案　－2　3

11.给出下列命题：

①若z∈C，则z2≥0；

②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；

③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；

④若z＝－i，则z3＋1在复平面内对应的点位于第一象限.

其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号).

解析　由复数的概念及性质知，①错误；②错误；若a＝－1，则(a＋1)i＝0，③错误；z3＋1＝(－i)3＋1＝i＋1，④正确.

答案　④

12.复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值.

解　1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i

＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i

＝＋(a2＋2a－15)i.

∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，

解得a＝－5或a＝3.

又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.

13.计算：(1)；

(2)；

(3)＋；

(4).

解　(1)＝＝－1－3i.

(2)＝

＝＝＝＋i.

(3)＋＝＋

＝＋＝－1.

(4)＝

＝＝

＝－－i.

二、选做题

14.若虚数z同时满足下列两个条件：

(1)z＋是实数；

(2)z＋3的实部与虚部互为相反数.

这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由.

解　这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.

设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，

z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋

＝＋i.

∵z＋是实数，∴b－＝0.

又∵b≠0，∴a2＋b2＝5.①

又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，

∴a＋3＋b＝0.②

由①②得解得或

故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i.