2020高考物理新创新大一轮复习新课改省份专用讲义：第五章第30课时　机械能守恒定律（重点突破课）

第30课时　机械能守恒定律(重点突破课)

[考点一　机械能守恒的理解与判断]

应用机械能守恒定律时必须先判断机械能是否守恒，对多个物体组成的系统，学生往往不能正确理解“只有系统内弹力”做功的条件而出错。

1．重力做功和重力势能的特点

(1)重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关。

(2)重力势能是物体和地球组成的系统所共有的；重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。

(3)重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大；重力对物体做的功等于物体重力势能变化量的负值，即WG＝－ΔEp。

2．弹性势能

(1)定义：物体由于发生弹性形变而具有的能量。

(2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大。

(3)弹力对物体做的功等于弹簧弹性势能变化量的负值，即W＝－ΔEp。

3．机械能守恒定律

(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。

(2)守恒条件：只有重力或系统内弹力做功。

(3)常用的三种表达式

4．机械能是否守恒的三种判断方法

(1)利用做功及守恒条件判断。

(2)利用机械能的定义判断：若物体或系统的动能、势能之和保持不变，则机械能守恒。

(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，内部也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒。

[典例]　(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)

A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒

B．乙图中，斜面体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒

C．丙图中，连接A、B的绳子不可伸长，不计任何阻力和定滑轮及绳子的质量时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒

D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒

[解析]　由题图可知，甲图中有重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错；乙图中物体B沿斜面匀速下滑，物体B除受重力外，还受到弹力和摩擦力作用，弹力不做功，但摩擦力做负功，物体B的机械能不守恒，B错；丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，C对；丁图中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D对。

[答案]　CD

[易错提醒]

(1)机械能守恒的条件绝不是合外力做的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”。

(2)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。

[集训冲关]

1．关于机械能守恒定律的适用条件，下列说法正确的是(　　)

A．只有重力和弹力作用时，机械能才守恒

B．当有其他外力作用时，只要合外力为零，机械能守恒

C．当有其他外力作用时，只要其他外力不做功，机械能守恒

D．炮弹在空中飞行不计阻力时，仅受重力作用，所以爆炸前后机械能守恒

解析：选C　机械能守恒的条件是“只有重力或系统内弹力做功”而不是“只有重力和弹力作用”，“做功”和“作用”是两个不同的概念，A项错误；物体受其他外力作用且合外力为零时，机械能可能不守恒，如拉一物体匀速上升，合外力为零，物体的动能不变，重力势能增加，故机械能增加，B项错误；在炮弹爆炸过程中产生的内能转化为机械能，机械能不守恒，D项错误；由机械能守恒定律的特点知，C项正确。

2.(2019·梁山一中统考)如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一质量为m的小球，小球与一轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，已知杆与水平面之间的夹角θ<45°，当小球位于B点时，弹簧与杆垂直，此时弹簧处于原长。现让小球自C点由静止释放，在小球滑到杆底端(此时小球速度为零)的整个过程中，关于小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能，下列说法正确的是(　　)

A．小球的动能与重力势能之和保持不变

B．小球的动能与重力势能之和先增大后减小

C．小球的动能与弹簧的弹性势能之和保持不变

D．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变

解析：选B　小球与弹簧组成的系统在整个过程中，机械能守恒，弹簧处于原长时弹性势能为零，小球从C点到最低点过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大，所以小球的动能与重力势能之和先增大后减小，A项错，B项对；小球的重力势能不断减小，所以小球的动能与弹簧的弹性势能之和不断增大，C项错；小球的初、末动能均为零，所以整个过程中小球的动能先增大后减小，所以小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和先减小后增大，D项错。

3.(2018·天津高考)滑雪运动深受人民群众喜爱。某滑雪运动员(可视为质点)由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB，从滑道的A点滑行到最低点B的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿AB下滑过程中(　　)

A．所受合外力始终为零　　 B．所受摩擦力大小不变

C．合外力做功一定为零  D．机械能始终保持不变

解析：选C　运动员从A点滑到B点的过程做匀速圆周运动，合外力指向圆心，不做功，故A错误，C正确；如图所示，沿圆弧切线方向运动员受到的合力为零，即Ff＝mgsin α，下滑过程中α减小，sin α变小，故摩擦力Ff变小，故B错误；运动员下滑过程中动能不变，重力势能减小，则机械能减小，故D错误。

[考点二　单个物体的机械能守恒]

单个物体的机械能守恒往往会与平抛运动、圆周运动、人造卫星等结合到一起，构成综合性问题。求解这类问题时除了掌握机械能守恒的条件、规律外，还应熟练掌握这几种运动的特点和规律。

1.平抛运动的特点和规律：平抛运动是初速度沿水平方向且只在重力作用下的运动，所以物体的机械能守恒。

2.圆周运动的特点和规律：物体在水平面内做匀速圆周运动时机械能守恒；物体在竖直面内沿光滑轨道或由绳子系着做圆周运动时，只有重力做功机械能守恒，但物体速度大小是变化的。

3.卫星进入圆形轨道稳定运行时机械能不变，卫星自由地绕地球做椭圆轨道运动时只有地球引力做功，其机械能守恒，而卫星在人为变轨的过程中，机械能不守恒。

[典例]　(2019·贵州七校高三联考)如图所示，水平传送带的右端与竖直面内用内壁光滑钢管弯成的“9”形固定轨道相接，钢管内径很小。传送带的运行速率为v0＝6 m/s，将质量 m＝1.0 kg的可视为质点的滑块无初速度地放在传送带A端，传送带长L＝12.0 m，“9”形轨道高H＝0.8 m，“9”形轨道上半部分圆弧半径为R＝0.2 m，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.3，重力加速度g＝10 m/s2，求：

(1)滑块从传送带A端运动到B端所需要的时间；

(2)滑块滑到“9形”轨道最高点C时受到“9形”轨道的作用力大小；

(3)若滑块从“9”形轨道D点水平抛出后，恰好垂直撞在倾角θ＝45°的斜面上P点，求P、D两点间的竖直高度。

[解析]　(1)滑块在传送带上运动时，由牛顿第二定律得：

μmg＝ma

解得：a＝μg＝3 m/s2

滑块加速到与传送带达到共速所需要的时间：

t1＝＝2 s

0～2 s内滑块的位移：x1＝at12＝6 m

之后滑块做匀速运动的位移：x2＝L－x1＝6 m

滑块匀速运动的时间：t2＝＝1 s

故滑块从传送带A端运动到B端所需时间：

t＝t1＋t2＝3 s。

(2)滑块由B运动到C，由机械能守恒定律得：

mvC2＋mgH＝mv02

在C点，“9形”轨道对滑块的弹力与其受到的重力的合力提供做圆周运动的向心力，设“9形”轨道对滑块的弹力方向竖直向下，由牛顿第二定律得：FN＋mg＝m

解得：FN＝90 N。

(3)滑块由B到D运动的过程中，由机械能守恒定律得：

mv02＝mvD2＋mg(H－2R)

设P、D两点间的竖直高度为h，

滑块由D到P运动的过程中，由机械能守恒定律得：

mvP2＝mvD2＋mgh

又vD＝vPsin 45°

解得：h＝1.4 m。

[答案]　(1)3 s　(2)90 N　(3)1.4 m

[规律方法]

应用机械能守恒定律的一般步骤

[集训冲关]

1.一小球以一定的初速度v0从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，轨道1的半径为R，轨道2的半径是轨道1的1.8 倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力为(　　)

A．2mg　　　 B．3mg　　　　

C．4mg　　　　                   D．5mg

解析：选C　小球恰好能通过轨道2的最高点B，有mg＝，小球在轨道1上经过其最高点A时，有F＋mg＝，根据机械能守恒定律，有1.6mgR＝mvA2－mvB2，解得F＝4mg，由牛顿第三定律可知，小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力为4mg，C项正确。

2.(2016·全国卷Ⅲ)如图，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。

(1)求小球在B、A两点的动能之比；

 (2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。

解析：(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒定律得EkA＝mg①

设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg                                 ②

由①②式得＝5。                                                       ③

(2)若小球能沿轨道运动到C点，则小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0      ④

设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有N＋mg＝m ⑤

由④⑤式得，vC应满足mg≤m                                           ⑥

由机械能守恒定律得mg＝mvC2                                                                ⑦

由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。

答案：(1)5　(2)能沿轨道运动到C点

[考点三　多个物体的机械能守恒]

对多个物体组成系统的机械能守恒问题，解题的关键是正确判断系统是否符合机械能守恒的条件。尤其是对于含有弹簧的系统，一定不要遗漏弹簧的弹性势能。

1．绳连接的物体系统机械能守恒

2.杆连接的物体系统机械能守恒

3.弹簧连接的物体系统机械能守恒

[典例]　如图所示，左侧竖直墙面上固定半径为R＝0.3 m的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与半圆环的圆心O等高处固定一光滑直杆。质量为ma＝100 g的小球a套在半圆环上，质量为mb＝36 g的滑块b套在直杆上，二者之间用长为l＝0.4 m的轻杆通过两铰链连接。现将a从半圆环的最高处由静止释放，使a沿半圆环自由下滑，不计一切摩擦，a、b均视为质点，重力加速度g＝10 m/s2。求：

(1)a滑到与圆心O等高的P点时的向心力大小；

(2)a从P点下滑至杆与半圆环相切的Q点的过程中，杆对b做的功。

[解析]　(1)当a滑到与O等高的P点时，a的速度v沿半圆环切线向下，b的速度为零，

由机械能守恒定律可得：magR＝mav2

解得v＝

对a受力分析，由牛顿第二定律可得：

F＝＝2mag＝2 N。

(2)杆与半圆环相切时，如图所示，此时a的速度沿杆方向，

设此时b的速度为vb，

则知va＝vbcos θ

由几何关系可得：

cos θ＝＝0.8

a从P到Q下降的高度h＝Rcos θ＝0.24 m

a、b及杆组成的系统机械能守恒：

magh＝mava2＋mbvb2－mav2

对b，由动能定理得：W＝mbvb2＝0.194 4 J。

[答案]　(1)2 N　(2)0.194 4 J

[规律方法]

(1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。

(2)注意寻找用绳或杆或弹簧相连接的物体间的速度关系和位移关系。

(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。

[集训冲关]

1．(多选)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则(　　)

A．a落地前，轻杆对b一直做正功

B．a落地时速度大小为

C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g

D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg

解析：选BD　由题意知，系统机械能守恒，设某时刻a、b的速度分别为va、vb，此时轻杆与竖直杆的夹角为θ，分别将va、vb分解，如图所示。

因为轻杆不可伸长，所以沿轻杆的分速度v∥与v∥′是相等的，即vacos θ＝vb sin θ。当a滑至地面时θ＝90°，此时vb＝0，由系统机械能守恒得mgh＝mva2，解得va＝，选项B正确；由于b初、末速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即轻杆对b先做正功后做负功，选项A错误；轻杆对b的作用先是推力后是拉力，对a则先是阻力后是动力，即a的加速度在受到轻杆的向下的拉力作用时大于g，选项C错误；b的动能最大时，轻杆对a、b的作用力为零，此时a的机械能最小，b只受重力和支持力，所以b对地面的压力大小为mg，选项D正确。

2.如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。求：

(1)斜面的倾角α；

(2)A获得的最大速度vm。

解析：(1)由题意可知，当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，A的加速度此时为零

由牛顿第二定律：4mgsin α－2mg＝0

解得：sin α＝，即α＝30°。

(2)由题意可知，A、B、C组成的系统在初始时和A沿斜面下滑至速度最大时的机械能守恒，设弹簧的形变量为Δx，由题意可得：2mg＝kΔx

4mgΔxsin α－mgΔx＝×5mvm2，解得：vm＝2g 。

答案：(1)30°　(2)2g

3.(2018·江苏高考)如图所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度。细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B。质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l。用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53°。松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动。忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。求：

(1)小球受到手的拉力大小F；

(2)物块和小球的质量之比M∶m；

(3)小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T。

解析：(1)由几何知识可知AC⊥BC，根据平衡条件得

(F＋mg)cos 53°＝Mg

解得F＝Mg－mg。

(2)与A、B相同高度时

小球上升h1＝3lsin 53°

物块下降h2＝2l

物块和小球组成的系统机械能守恒mgh1＝Mgh2

解得＝。

(3)根据机械能守恒定律，小球向下运动到最低点时，恰好回到起始点，设此时物块受到的拉力为T，加速度大小为a，由牛顿第二定律得Mg－T＝Ma

对小球，沿AC方向由牛顿第二定律得

T－mgcos 53°＝ma

解得T＝

结合(2)可得T＝或mg或Mg。

答案：(1)Mg－mg　(2)6∶5

(3)

[考点四　用机械能守恒定律解决非质点问题]

非质点运动问题一直是高考考查的难点问题，学生在解答这类问题时常常出错，原因是不能正确找到物体的“质心”，从而不能正确判断物体重力势能的变化情况或重力做功情况。

1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理。

2．物体虽然不能视为质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。

[典例]　如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静置在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a。现自由释放链条，则：

(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；

(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？

[解析]　(1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC和水平面AB均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件。

(2)设链条质量为m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由L－a段下降引起的，如图所示。

该部分高度减少量h＝sin α＝sin α

该部分的质量为m′＝(L－a)

由机械能守恒定律可得m′gh＝mv2，

解得v＝ 。

[答案]　(1)机械能守恒，理由见解析　(2)

[规律方法]

(1)寻找物体状态变化的等效长度，如本题中的“L－a”，可以快速准确的解决非质点问题。

(2)重力势能的变化或重力做功利用等效长度来表示，但动能的表达式一般要针对整体。

(3)机械能守恒定律解决非质点问题，犹如整体隔离法解决动力学问题。

[集训冲关]

1.如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(　　)

A. 　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选A　如图所示，当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为管中所有液体的动能，根据功能关系有mg·h＝mv2，解得：v＝ ，A正确。

2．如图所示，露天娱乐场空中列车由许多节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为L(L＞2πR)，R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆形轨道前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆形轨道(车厢间的距离不计)。

解析：当列车进入圆形轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时的速度最小，设此时的速度为v，列车的质量为M，

圆形轨道上那部分列车的质量：M′＝·2πR

由机械能守恒定律可得：Mv02＝Mv2＋M′gR

又因圆形轨道顶部车厢应满足：mg＝m

解得：v0＝ 。

答案：