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2020高考物理一轮复习学案：第七章第1讲电场力的性质
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第1讲 电场力的性质
主干梳理 对点激活
知识点 电荷守恒 点电荷 Ⅰ
库仑定律 Ⅱ1.元电荷、点电荷
(1)元电荷：e＝1.6×10－19 C，最小的电荷量，所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍，其中质子、正电子的电荷量与元电荷相同。电子的电荷量q＝－1.6×10－19 C。
(2)点电荷：忽略带电体的大小、形状及电荷分布状况的理想化模型。
(3)比荷：带电粒子的电荷量与其质量之比。
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消失，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，在转移的过程中，电荷的总量保持不变。
(2)起电方法：摩擦起电、感应起电、接触起电。
(3)带电实质：物体带电的实质是得失电子。
(4)电荷的分配原则：两个形状、大小相同的导体，接触后再分开，二者带等量同种电荷；若两导体原来带异种电荷，则电荷先中和，余下的电荷再平分。
3．库仑定律
(1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
(2)表达式：F＝k，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫静电力常量。
(3)适用条件：真空中静止的点电荷。
①在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式。
②当两个带电体的间距远大于本身的大小时，可以把带电体看成点电荷。
③两个带电体间的距离r→0时，不能再视为点电荷，也不遵循库仑定律，它们之间的库仑力不能认为趋于无穷大。
(4)库仑力的方向
由相互作用的两个带电体决定，且同号电荷相互排斥；异号电荷相互吸引。
知识点 静电场 Ⅰ
电场强度、点电荷的场强 Ⅱ
1．电场
(1)定义：存在于电荷周围，能传递电荷间相互作用的一种特殊物质。
(2)基本性质：对放入其中的电荷有力的作用。
2．电场强度
(1)定义：放入电场中某点的电荷所受到的静电力F跟它的电荷量q的比值。
(2)定义式：E＝，该式适用于一切电场。
(3)单位：N/C或V/m。
(4)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受静电力的方向为该点电场强度的方向。
3．点电荷场强的计算式
(1)公式：在场源点电荷Q形成的电场中，与Q相距r的点的场强E＝k。
(2)适用条件：真空中静止的点电荷形成的电场。
4．电场强度的叠加
电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，遵循平行四边形定则。
5．匀强电场：电场中各点的电场强度大小相等、方向相同，这样的电场叫做匀强电场。
知识点 电场线 Ⅰ
1．定义：为了形象地描述电场中各点场强的大小和方向，在电场中画出一系列的曲线，使曲线上各点的切线方向表示该点的场强方向，曲线的疏密表示场强的大小，这些曲线叫做电场线，是假想的曲线，实际不存在。
2．电场线的特点
(1)电场线上每一点的切线方向与该点的场强方向一致。
(2)电场线从正电荷或无穷远出发，终止于无穷远或负电荷。
(3)电场线在电场中不相交、不闭合、不中断。
(4)在同一电场中，电场线越密集的地方场强越大，电场线越稀疏的地方场强越小。
(5)沿电场线的方向电势逐渐降低。
(6)电场线和等势面在相交处垂直。
3．几种典型电场的电场线
如图所示是几种典型电场的电场线分布图。
一 思维辨析
1．质子的电荷量为一个元电荷，但电子、质子是实实在在的粒子，不是元电荷。( )
2．相互作用的两个点电荷，不论它们的电荷量是否相同，它们之间的库仑力大小一定相等。( )
3．根据F＝，当r→∞时，F→0。( )
4．电场强度反映了电场的力的性质，所以电场强度与试探电荷所受电场力成正比。( )
5．电场中某点的场强方向即为试探电荷在该点所受的电场力的方向。( )
6．在点电荷产生的电场中，以点电荷为球心的同一球面上各点的电场强度都相同。( )
7．电场线的方向即为带电粒子的运动方向。( )
答案 1.√ 2.√ 3.√ 4.× 5.× 6.× 7.×
二 对点激活
1.(人教版选修3－1·P3·实验改编)(多选)如图所示，A、B为相互接触并用绝缘支柱支持的金属导体，起初都不带电，在它们的下部贴有金属箔片，C是带正电的小球，下列说法正确的是( )
A．把C移近导体A时，A、B上的金属箔片都张开
B．把C移近导体A，再把A、B分开，然后移去C，A、B上的金属箔片仍张开
C．把C移近导体A，先把C移走，再把A、B分开，A、B上的金属箔片仍张开
D．把C移近导体A，先把A、B分开，再把C移走，然后重新让A、B接触，A上的金属箔片张开，而B上的金属箔片闭合
答案 AB
解析 虽然A、B起初都不带电，但带正电的小球C对A、B内的电荷有力的作用，使A、B中的自由电子向左移动，使得A端积累了负电荷，B端积累了正电荷，其下部的金属箔片因为接触带电，也分别带上了与A、B相同的电荷，所以金属箔片都张开，A正确。带正电的小球C只要一直在A、B附近，A、B上的电荷因受C的作用力而使A、B带等量的异种感应电荷，把A、B分开，因A、B已经绝缘，此时即使再移走C，所带电荷量也不能变，金属箔片仍张开，B正确。但如果先移走C，A、B上的感应电荷会马上中和，不再带电，所以金属箔片都不会张开，C错误。先把A、B分开，再移走C，A、B仍然带电，但重新让A、B接触后，A、B上的感应电荷完全中和，金属箔片都不会张开，D错误。
2．(人教版选修3－1·P9·T3改编)真空中两个相同的带等量异号电荷的金属小球A和B(均可看做点电荷)，分别固定在两处，两球间静电力大小为F。现用一个不带电的同样的金属小球C先与A接触，再与B接触，然后移开C，再将A、B间距离增大为原来的2倍，则A、B间的静电力大小为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设A、B原来所带电荷量分别为＋Q、－Q，A、B间静电力大小F＝，将不带电的同样的金属球C先与A接触，再与B接触后，A所带电荷量变为＋，B所带电荷量变为－，A、B间静电力大小F′＝＝，故F′＝F，故B正确。
3.(人教版选修3－1·P15·T5改编)如图所示为某区域的电场线分布，下列说法正确的是( )
A．这个电场可能是正点电荷形成的
B．D处的场强为零，因为那里没有电场线
C．点电荷q在A点所受的电场力比在B点所受电场力小
D．负电荷在C点受到的电场力方向沿C点切线方向
答案 C
解析 正点电荷的电场线是从正电荷出发的直线，故A错误；电场线是为了更形象描述电场而人为画出的，没有电场线的地方，电场强度不一定为零，故B错误；由图知B点处电场线比A点处电场线密集，故EB>EA，所以点电荷在A处所受的电场力小于在B处所受的电场力，故C正确；负电荷在C点所受电场力方向与C点切线方向相反，故D错误。
4．(人教版选修3－1·P15·T6)用一条绝缘轻绳悬挂一个带电小球，小球质量为1.0×10－2 kg，所带电荷量为＋2.0×10－8 C。现加一水平方向的匀强电场，平衡时绝缘绳与铅垂线成30°夹角(如图所示)。求这个匀强电场的电场强度。
答案 2.9×106 N/C
解析 小球受到重力mg、静电力F，轻绳拉力FT的作用处于平衡状态，它的受力情况如图所示，则
＝＝tan30°
E＝tan30°＝× N/C≈2.9×106 N/C。
考点细研 悟法培优
考点1 库仑力作用下的平衡问题
库仑定律的表达式为F＝k，其适用条件是真空中两个静止点电荷之间相互作用的静电力。库仑定律与平衡问题联系比较密切，因此关于静电力的平衡问题是高考的热点内容，题型以选择题为主。对于这部分内容，需要注意以下几点：一是明确库仑定律的适用条件；二是知道完全相同的导体小球接触时电荷量的分配规律；三是进行受力分析，灵活应用平衡条件。
例1 (2014·浙江高考)(多选)如图所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角为θ。一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行。小球A的质量为m、电量为q。小球A的右侧固定放置带等量同种电荷的小球B，两球心的高度相同、间距为d。静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球可视为点电荷。小球A静止在斜面上，则( )
A．小球A与B之间库仑力的大小为
B．当＝时，细线上的拉力为0
C．当＝时，细线上的拉力为0
D．当＝时，斜面对小球A的支持力为0
解题探究 (1)小球A受力情况怎样？
提示：如图所示，受竖直向下的重力、水平向左的库仑力、垂直斜面向上的支持力，还可能受细线的拉力。
(2)当拉力为0时，A受3个力平衡，用哪种方法更方便？
提示：矢量三角形法。
尝试解答 选AC。
由库仑定律知A与B之间库仑力大小为F＝，A正确；如果细线上的拉力为0，则小球A所受重力mg、支持力FN、库仑力F的合力为零，这三个力可构成一个力的矢量三角形，如图所示，由图中几何关系有F＝＝mgtanθ，解得＝，B错误，C正确；斜面对小球A的支持力不可能为零，D错误。
总结升华
求解带电体平衡问题的方法
分析带电体平衡问题的方法与力学中分析物体受力平衡问题的方法相同。
(1)当两个力在同一直线上使带电体处于平衡状态时，根据二力平衡的条件求解；
(2)在三个力作用下带电体处于平衡状态时，一般运用勾股定理、三角函数关系以及矢量三角形等知识求解；
(3)在三个以上的力作用下带电体处于平衡状态时，一般用正交分解法求解。
[变式1－1] 如图所示，两条不等长的细线一端拴在同一点，另一端分别拴两个带同种电荷的小球，电荷量分别是q1、q2，质量分别为m1、m2，当两小球处于同一水平面时恰好静止，且α>β，则造成α、β不相等的原因是( )
A．m1m2
C．q1q2
答案 A
解析 对两带电小球分别进行受力分析如图，根据平衡条件有tanα＝，tanβ＝，两者之间库仑力F大小相等，因α>β，所以m1
A．正，B的右边0.4 m处 B．正，B的左边0.2 m处
C．负，A的左边0.2 m处 D．负，A的右边0.2 m处
答案 C
解析 3个孤立共线点电荷的平衡规律如图。
“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。依据该规律知点电荷C应在A左侧，带负电。设在A左侧距A为x处，由于处于平衡状态，所以k＝，解得x＝0.2 m，C正确。
考点2 电场强度的理解及计算
1．电场强度的性质
2．电场强度三个表达式的比较
3．等量同号和异号点电荷的电场强度的比较
例2 图所示，在水平向右、大小为E的匀强电场中，在O点固定一电荷量为Q的正电荷，A、B、C、D为以O为圆心、半径为r的同一圆周上的四点，B、D连线与电场线平行，A、C连线与电场线垂直。则( )
A．A点的电场强度大小为
B．B点的电场强度大小为E－k
C．D点的电场强度大小不可能为0
D．A、C两点的电场强度相同
解题探究 (1)电场强度是矢量，场强的叠加遵循什么定则？真空中静止点电荷场强决定式是什么？
提示：平行四边形定则，E＝k。
(2)两点场强大小相等就可以说场强相同吗？
提示：两点场强相同必须大小相等，方向相同。判断两点场强是否相同先看方向是否相同。
尝试解答 选A。
＋Q在A点的电场强度沿OA方向，大小为k，所以A点的合电场强度大小为 ，A正确；同理，B点的电场强度大小为E＋k，B错误；如果E＝k，则D点的电场强度为0，C错误；A、C两点的电场强度大小相等，但方向不同，D错误。
总结升华
分析电场叠加问题的一般步骤
电场强度是矢量，叠加时遵循平行四边形定则。分析电场的叠加问题的一般步骤是：
(1)确定要分析计算的空间位置；
(2)分析该点有几个分电场，确定各个分电场在该点的电场强度的大小和方向；
(3)利用平行四边形定则求出各分电场强度的矢量和。
[变式2－1] (2018·广东六校联考)真空中某一点电荷Q在自己周围产生电场，a、b分别是该电场中的两点，如图，其中a点的电场强度大小为Ea，方向与a、b两点连线成120°角；b点的电场强度大小为Eb，方向与a、b两点连线成150°角，检验电荷q分别放在a点和b点，则( )
A．点电荷Q是负电荷
B．a、b两点的电场强度大小之比为3∶1
C．检验电荷在a、b两点受到的电场力大小相等
D．a、b两点可能处于同一等势面上
答案 B
解析 将两条电场线反向延长后相交于一点，即为点电荷Q的位置，设a、b两点到Q的距离分别为ra和rb，由几何知识得到，rb＝ra，根据公式E＝得，Ea＝3Eb，故B正确；因为b点距离点电荷Q远，检验电荷在a、b两点受到的电场力大小不相等，a、b两点不可能处于同一等势面上，C、D错误；由电场线方向及点电荷位置可知该点电荷为正电荷，A错误。
[变式2－2] (人教版选修3－1·P15·T7改编)如图所示，在x轴上关于原点O对称的两点A、B分别固定放置点电荷＋Q1和－Q2，x轴上的P点位于B点的右侧，且P点电场强度为零，则下列判断正确的是( )
A．x轴上P点右侧电场强度方向沿x轴正方向
B．Q1
D．与P点关于O点对称的M点电场强度可能为零
答案 A
解析 根据题述可知P点的电场强度为零，根据点电荷电场强度公式和场强叠加原理可知，＋Q1的电荷量一定大于－Q2的电荷量，A、B连线上各点电场强度都不为零，故B、C错误；由于＋Q1的电荷量大于－Q2的电荷量，可知P点右侧电场方向沿x轴正方向，故A正确；由于Q1>Q2，M点和P点关于O点对称，P点电场强度为零，由点电荷电场强度公式和场强叠加原理可知，M点电场强度一定不为零，D错误。
考点3 电场线的应用
1．判断电场强度的方向——电场线上任意一点的切线方向即为该点电场强度的方向。
2．判断电场力的方向——正电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相同，负电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相反。
3．判断电场强度的大小(定性)——同一电场，电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小。
4．判断电势的高低与电势降低的快慢——沿电场线方向电势逐渐降低，电场强度的方向是电势降低最快的方向。
例3 电场的电场线分布如图所示，下列说法正确的是( )
A．c点的电场强度大于b点的电场强度
B．若将一试探电荷＋q由a点释放，它将沿电场线运动到b点
C．b点的电场强度大于d点的电场强度
D．a点和b点的电场强度方向相同
解题探究 (1)在电场线分布图中，用什么表示电场强度的大小？
提示：电场线的疏密程度。
(2)沿曲线运动的粒子合力沿什么方向？
提示：曲线的凹侧。
尝试解答 选C。
电场线的疏密表示了电场强度的大小，由题图可知Eb>Ec，Eb>Ed，C正确，A错误；由于电场线是曲线，由a点释放的正电荷如果沿电场线运动，则合力沿轨迹切线，这是不可能的，B错误；电场线的切线方向为该点电场强度的方向，a点和b点的切线不同向，D错误。
总结升华
电场线的应用
熟悉几种典型的电场线分布有利于我们对电场强度和电势做出迅速判断，且可以进一步了解电荷在电场中的受力和运动情况、电场力做功及伴随的能量转化情况。
[变式3] 在如图所示的四种电场中，分别标记有a、b两点。其中a、b两点电场强度大小相等、方向相反的是( )
A．甲图中与点电荷等距的a、b两点
B．乙图中两等量异种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点
C．丙图中两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点
D．丁图中非匀强电场中的a、b两点
答案 C
解析 甲图中与点电荷等距的a、b两点，电场强度大小相同，方向不相反，A错误；对乙图，根据电场线的疏密及对称性可判断，a、b两点的电场强度大小相等，方向相同，B错误；丙图中两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点，电场强度大小相同，方向相反，C正确；对丁图，根据电场线的疏密可判断，b点的电场强度大于a点的电场强度，D错误。
考点4 带电粒子的运动轨迹判断
1．沿轨迹的切线找出速度方向，依据粒子所受合力的方向指向轨迹的凹侧来判断电场力的方向，由此判断电场的方向或粒子的电性。
2．由电场线的疏密情况判断带电粒子的受力大小及加速度大小。
3．由动能定理判断速度变化：如果带电粒子在运动中仅受电场力作用，若电场力做正功，则粒子动能增大；电场力做负功，则动能减小。电场力做正功还是负功依据力与速度的夹角是锐角还是钝角来判断。
例4 (多选)如图所示，图中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点，若带电粒子在运动过程中只受电场力作用，根据此图可做出的正确判断是( )
A．带电粒子所带电荷的正、负
B．带电粒子在a、b两点的受力方向
C．带电粒子在a、b两点的加速度何处较大
D．带电粒子在a、b两点的速度何处较大
解题探究 (1)如何判断带电粒子在a、b两点的受力方向？
提示：沿电场线且指向轨迹凹侧。
(2)带电粒子在a、b两点的加速度大小如何判断？
提示：依据电场线疏密判断电场力大小，就可以判断加速度大小。
尝试解答 选BCD。
根据轨迹弯曲方向只能判断出电场力方向，由于不知电场线方向，故无法判断带电粒子电性，A错误，B正确；根据电场线疏密知Ea>Eb，Fa>Fb，a点加速度大于b点加速度，C正确；若从a到b，电场力做负功，若从b到a，电场力做正功，均可得出粒子在a点的速度大，D正确。
总结升华
电场线与带电粒子运动轨迹的关系
一般情况下带电粒子在电场中的运动轨迹不会与电场线重合，只有同时满足以下三个条件时，两者才会重合：
(1)电场线为直线；
(2)电荷初速度为零或速度方向与电场线平行；
(3)电荷仅受电场力或所受其他力合力的方向始终与电场力方向相同或相反。
[变式4] 实线为三条未知方向的电场线，从电场中的M点以相同的速度飞出a、b两个带电粒子，a、b的运动轨迹如图中的虚线所示(a、b只受静电力作用)，则( )
A．a一定带正电，b一定带负电
B．静电力对a做正功，对b做负功
C．a的速度将减小，b的速度将增大
D．a的加速度将减小，b的加速度将增大
答案 D
解析 a、b两个带电粒子在M点以相同速度飞出，受电场力方向相反，但不知电场线方向，无法判断哪个粒子带正电，哪个粒子带负电，A错误；电场力方向与速度方向夹角都小于90°，电场力对a、b均做正功，速度都将增大，B、C错误；a向电场线稀疏处运动，b向电场线密集处运动，故a的加速度减小，b的加速度增大，D正确。
考点5 带电体的力电综合问题
解决力电综合问题的一般思路
例5 (2018·衡水六调)(多选)细绳两端分别系有带正电的甲、乙两小球，它们静止在光滑绝缘水平面上，电荷量分别为q1和q2，质量分别为m1和m2。烧断细绳后两球向相反方向运动，下列说法正确的是( )
A．运动的同一时刻，甲、乙两球受到的电场力大小之比为q2∶q1
B．运动的同一时刻，甲、乙两球动能之比为m2∶m1
C．在相同的运动时间内，甲、乙两球受到的电场力的冲量大小之比为1∶1
D．在相同的运动时间内，甲、乙两球受到的合力做功大小之比为1∶1
解题探究 (1)当烧断细绳后两球在什么力作用下向相反方向运动？
提示：甲、乙之间的库仑斥力。
(2)甲、乙两球组成的系统动量守恒吗？
提示：守恒。
尝试解答 选BC。
根据库仑定律可知，在同一时刻，甲、乙两球受到的电场力大小相等，A错误；烧断细绳后两球在库仑力作用下向相反方向运动，满足动量守恒定律，根据动量守恒定律，运动的同一时刻，甲、乙两球动量大小之比为m1v1∶m2v2＝1∶1，根据动能与动量的关系式，Ek＝mv2＝，所以运动的同一时刻，甲、乙两球动能之比为Ek1∶Ek2＝m2∶m1，B正确；由于两带电小球动量变化量大小相等，根据动量定理，合外力的冲量大小等于动量的变化量，在相同的运动时间内，甲、乙两球受到的电场力的冲量大小之比为1∶1，C正确；由于同一时刻，甲、乙两球动能之比为Ek1∶Ek2＝m2∶m1，根据动能定理，在相同的运动时间内，甲、乙两球受到的合力做功大小之比为m2∶m1，D错误。
总结升华
处理力电综合问题的两点注意
(1)受力分析是关键，画出受力分析图，找准力与力之间的关系，并由此推断物体的运动状态；或由运动状态推出受力情况。
(2)根据题目的所求问题灵活选用物理规律
①与时间、加速度有关的首先选用牛顿运动定律。
②仅与t有关的可选动量定理。
③与时间、加速度无关的首先选用动能定理或能量守恒定律，其次考虑动量守恒定律。
[变式5－1] 如图所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面(倾角为θ)，一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行，小球A静止在斜面上，其右侧有一个与A带等量同号电荷的小球B，开始两球心在同一水平线上，细线刚好伸直，两带电小球可视为点电荷，现用绝缘手柄将小球B沿以A为圆心的圆周从B点缓慢移到C点，AC竖直，此过程中A始终静止不动，则( )
A．细线对A的拉力逐渐增大，斜面对A的弹力逐渐减小
B．细线对A的拉力逐渐增大，斜面对A的弹力先增大后减小
C．细线对A的拉力先增大后减小，斜面对A的弹力逐渐增大
D．细线对A的拉力、斜面对A的弹力均先增大后减小
答案 B
解析 小球A受重力G、斜面的弹力N、细线的拉力T及球B的库仑斥力F的作用而处于平衡状态，如图所示，在移动小球B的过程中，球A受球B的库仑力大小不变，且图中θ≤α≤θ＋，由图知N＝Gcosθ＋Fsinα，Gsinθ＝Fcosα＋T，所以斜面的弹力N先增大后减小，细线拉力T＝Gsinθ－Fcosα一直在增大，B正确。
[变式5－2] (2018·邯郸一模)(多选)如图，绝缘水平面上方存在着水平向右的匀强电场。质量为m、电荷量为＋q的轻质小滑块从t＝0时刻起由静止开始沿水平面运动。小滑块同时还受到竖直向下的压力F，力F随时间t的变化关系为F＝kt，式中k为常数。小滑块与水平面的动摩擦因数为μ。水平面足够大，小滑块的重力可忽略不计。则小滑块( )
A．所受摩擦力的最大值为2qE
B．加速度的最大值为
C．速度的最大值为
D．最终以的速度做匀速直线运动
答案 AB
解析 小滑块的重力忽略不计，由牛顿第二定律得Eq－μkt＝ma1，随t增大，小滑块先做加速度越来越小的加速运动，当t>时，加速度反向，μkt－Eq＝ma2，小滑块做加速度越来越大的减速运动，整个过程a随t变化图象如图。由对称性可知t＝时，速度v＝0，此时有最大摩擦力f＝μkt＝2qE，故A正确；加速度a的最大值出现在t＝0时和t＝时，均为，故B正确；当Eq＝μkt时，即加速度a＝0时，速度最大，由at图线与t坐标轴在0～段所围成的面积得vm＝，故C错误；滑块最终静止，故D错误。
1．方法概述
场强有三个公式：E＝、E＝k、E＝，在一般情况下可由上述公式计算场强，但在求解带电圆环、带电平面等一些特殊带电体产生的场强时，上述公式无法直接应用。这时，如果转换思维角度，灵活运用补偿法、微元法、对称法、等效法、极限法等巧妙方法，可以化难为易。
2．常见类型与解题思路
方法一：补偿法
将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面分析，再减去补偿的部分产生的影响。
【典题例证1】
均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球面顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R。已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为( )
A.－E B.
C.－E D.＋E
[解析] 左半球面AB上的正电荷产生的电场等效为带正电荷为2q的整个球面的电场和带电荷量为－q的右半球面的电场的合电场，则E＝－E′，E′为带电荷量为－q的右半球面在M点产生的场强大小。由对称性知，带电荷量为－q的右半球面在M点的场强大小与带正电荷为q的左半球面AB在N点的场强大小相等，则EN＝E′＝－E＝－E，则A正确。
[答案] A
名师点睛 当所给带电体不是一个完整的规则物体时，将该带电体割去或增加一部分，组成一个规则的整体，从而求出规则物体的电场强度，再通过电场强度的叠加求出待求不规则物体的电场强度。应用此法的关键是“割”“补”后的带电体应当是我们熟悉的某一物理模型。
方法二：对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。
【典题例证2】
如图所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q(q>0)的固定点电荷。已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为(k为静电力常量)( )
A．k B．k C．k D．k
[解析] 由b点处场强为零知，圆盘在b点处产生的场强E1与q在b点处产生的场强E2大小相等，即E1＝E2＝k，由对称性可知，圆盘在d点产生的场强E3＝k，q在d点产生的场强E4＝k，方向与E3相同，故d点的合场强Ed＝E3＋E4＝k，B正确，A、C、D错误。
[答案] B
名师点睛 形状规则的带电体形成的电场具有对称性，位置对称的两点处的电场强度大小相等。如果能够求出其中一点处的电场强度，根据对称性特点，另一点处的电场强度即可求出。
方法三：微元法
将带电体分成许多电荷元，每个电荷元可看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的场强；再结合对称性和场强叠加原理求出合场强。
求解均匀带电圆环、带电平面、带电直杆等在某点产生的场强问题，可应用微元法。
【典题例证3】
如图所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面过圆心O的轴线上的一点，OP＝L，试求 P点的场强。
[解析] 如图所示，设想将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为q＝，由点电荷场强公式可求得每一点电荷在P处的场强为E＝＝。
由对称性可知，各点电荷在P处的场强E的垂直于轴向的分量Ey相互抵消，而E的轴向分量Ex之和即为带电环在P处的场强EP。
EP＝nEx＝nkcosθ＝·＝。
[答案]
名师点睛 微元法是从部分到整体的思维方法，把带电体看成由无数个点构成。然后根据对称性，利用平行四边形定则进行电场强度叠加。利用微元法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律解决，使所求的问题简单化。
方法四：等效法
在保证效果相同的条件下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。
【典题例证4】
(多选)如图所示，在真空中某竖直平面内固定一足够大的接地金属板MN，在MN右侧与其相距2d处的P点放置一电荷量为Q的正点电荷，如果从P点作MN的垂线，则O为垂足，A为O、P连线的中点，B为OP延长线上的一点，PB＝d。静电力常量为k，关于各点的电场强度，下列说法正确的是( )
A．O点场强大小为k
B．A点场强大小为k
C．B点场强大小为k
D．A、B两点场强大小相等，方向相反
[解析] 系统达到平衡后，因为接地金属板电势为零，所以电场线分布如图所示，所以金属板右侧的电场的电场线分布与等量异号点电荷连线的中垂线右侧的电场线分布相同，所以O点场强大小为EO＝k＋k＝k，A正确；A点场强大小为EA＝k＋k＝k，B错误；B点场强大小为EB＝k－k＝k，C正确；由上述分析可知D错误。
[答案] AC
名师点睛 等效法的实质是在效果相同的情况下，利用与问题中相似或效果相同的知识进行知识迁移的解题方法，往往是用较简单的因素代替较复杂的因素。
方法五：极限法
对于某些特殊情况下求解有关场强问题，有时无法用有关公式、规律得出结论，可考虑应用极限法。
极限法是把某个物理量的变化推向极端再进行推理分析，从而做出科学的判断或导出一般结论。极限法一般适用于所涉及的物理量随条件单调变化的情况。
【典题例证5】
物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需通过一定的分析就可以判断结论是否正确。如图所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R1和R2的圆环，两圆环上的电荷量均为q(q>0)，而且电荷均匀分布。两圆环的圆心O1和O2相距为2a，连线的中点为O，轴线上的A点在O点右侧与O点相距为r(r
[解析] 与点电荷的场强公式E＝k比较可知，A、C两项表达式的单位不是场强的单位，故可以排除；由电场强度的分布规律可知，当r＝a时，右侧圆环在A点产生的场强为零，则A处场强只由左侧圆环上的电荷产生，即场强表达式只有一项，故B错误；综上所述，可知D正确。
[答案] D
名师点睛 本题由于带电体为圆环状，超过了我们高中学生能力之外，故应注意审题，不必计算，只需通过一定的分析就可判断。首先根据场强的单位(量纲)进行判断，再分析特殊点即可得出结论。在物理学中，通过对量纲的分析，有时可以帮助我们快速找到一些错误。
【针对训练】
1．(2013·江苏高考)下列选项中的各圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各圆环间彼此绝缘。坐标原点O处电场强度最大的是( )
答案 B
解析 由对称原理可知，A、C图中在O点的场强大小相等，D图中在O点场强为0，因此B图中两圆环在O点合场强应最大，B正确。
2．如图甲所示，半径为R的均匀带电圆形平板，单位面积带电量为σ，其轴线上任意一点P(坐标为x)的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：E＝2πkσ·，方向沿x轴。现考虑单位面积带电量为σ0的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板，如图乙所示。则圆孔轴线上任意一点Q(坐标为x)的电场强度为( )
答案 A
解析 无限大均匀带电平板R取无限大，在Q点产生的
3.N(N>1)个电荷量均为q(q>0)的小球均匀分布在半径为R的圆周上，如图所示。若移去位于圆周上P点(图中未标出)的一个小球，则圆心O点处的电场强度大小为________，方向______________。(已知静电力常量为k)
答案 k 沿OP指向P
解析 P点的带电小球在圆心O处的电场强度大小为E1＝k，方向沿PO指向O；N个小球在O点处电场强度叠加后，合场强为零；移去P点的小球后，则剩余的N－1个小球在圆心O处的电场强度与P点的小球在圆心O处的电场强度等大反向，即E＝E1＝k，方向沿OP指向P。
4.如图所示，半径为r的圆环，在A、B之间留有宽度为d的间隙，且d≪r。将电荷量为Q的正电荷均匀分布在圆环上，求圆心O处的电场强度。
答案 ，方向背离圆心指向间隙
解析 解法一：假设将这个圆环的间隙补上，并且所补部分的电荷密度与原圆环上的电荷密度一样，这样就形成一个电荷均匀分布的完整的带电圆环，圆环在圆心O处产生的电场叠加后合场强为0。设原带有间隙的环所带电荷的线密度为σ，
则σ＝
补上的那一小段间隙的电荷量Q′＝σ·d＝
由题中条件可知那段间隙可看成点电荷，在圆心O处的场强为E1＝＝，方向由间隙指向圆心，则带有间隙的圆环在圆心O处的场强为
E＝0－E1＝－
负号表示与E1方向相反，即方向背离圆心指向间隙。
解法二：在圆环上与间隙关于圆心O对称的地方割出同样大小的间隙，则剩余部分的圆环上下对称，在圆心O处的合场强为0。因此在圆心O处的场强大小等于新割出的间隙在圆心O处产生的场强大小。由题中条件可知那段间隙可看成点电荷，所带电荷量为
Q′＝
在圆心O处的场强为E＝＝
方向背离圆心指向间隙。
高考模拟 随堂集训
1．(2018·全国卷Ⅰ)如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝ B．a、b的电荷异号，k＝
C．a、b的电荷同号，k＝ D．a、b的电荷异号，k＝
答案 D
解析 对固定的小球c受到的库仑力进行分析，要使c球受到的库仑力合力与a、b的连线平行，则竖直方向小球c受到的库仑力合力为零，则a、b的电荷必须异号，如图所示，则有：k·sinα＝k·sinβ，故＝＝＝，D正确。
2.(2016·浙江高考)如图所示，两个不带电的导体A和B，用一对绝缘柱支持使它们彼此接触。把一带正电荷的物体C置于A附近，贴在A、B下部的金属箔都张开，( )
A．此时A带正电，B带负电
B．此时A电势低，B电势高
C．移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合
D．先把A和B分开，然后移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合
答案 C
解析 由于静电感应，使A带负电，B带等量正电，若移去C，A、B所带等量正负电荷中和，金属箔闭合，所以C正确，A错误；处于电场中的导体是等势体，B错误；若先把A、B分开，然后移去C，A、B所带电荷就不能中和，金属箔不再闭合，D错误。
3．(2016·浙江高考)(多选)如图所示，把A、B两个相同的导电小球分别用长为0.10 m的绝缘细线悬挂于OA和OB两点。用丝绸摩擦过的玻璃棒与A球接触，棒移开后将悬点OB移到OA点固定。两球接触后分开，平衡时距离为0.12 m。已测得每个小球质量是8.0×10－4 kg，带电小球可视为点电荷，重力加速度g＝10 m/s2，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，则( )
A．两球所带电荷量相等
B．A球所受的静电力为1.0×10－2 N
C．B球所带的电荷量为4×10－8 C
D．A、B两球连线中点处的电场强度为0
答案 ACD
解析 用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电荷，与A球接触后A球也带正电荷，两球接触后分开，B球也带正电荷，且两球所带电荷量相等，A项正确；两球相互排斥，稳定后A球受力情况如图所示
sinθ＝＝0.60，θ＝37°
F库＝mgtan37°＝6.0×10－3 N，B项错误；
F库＝k
QA＝QB＝Q，r＝0.12 m
联立得Q＝4×10－8 C，故C项正确；
由等量同种点电荷产生的电场的特点可知，A、B两球连线中点处的场强为0，故D项正确。
4．(2018·北京高考节选)静电场可以用电场线和等势面形象描述。
(1)请根据电场强度的定义和库仑定律推导出点电荷Q的场强表达式；
(2)点电荷的电场线和等势面分布如图所示，等势面S1、S2到点电荷的距离分别为r1、r2。我们知道，电场线的疏密反映了空间区域电场强度的大小。请计算S1、S2上单位面积通过的电场线条数之比。
答案 (1)k (2)
解析 (1)在距Q为r的位置放一电荷量为q的检验电荷，根据库仑定律，检验电荷受到的电场力F＝k，根据电场强度的定义E＝，得E＝k。
(2)穿过每个面的电场线的总条数是相等的，若面积大，则单位面积上通过的条数就少，故通过两等势面单位面积上的电场线条数之比＝＝＝。
5.(2017·北京高考)如图所示，长l＝1 m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球所带电荷量q＝1.0×10－6 C，匀强电场的场强E＝3.0×103 N/C，取重力加速度g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
(1)小球所受电场力F的大小。
(2)小球的质量m。
(3)将电场撤去，小球回到最低点时速度v的大小。
答案 (1)3.0×10－3 N (2)4.0×10－4 kg
(3)2.0 m/s
解析 (1)F＝qE＝3.0×10－3 N。
(2)由＝tan37°，
得m＝4.0×10－4 kg。
(3)由mgl(1－cos37°)＝mv2，
得v＝＝2.0 m/s。
配套课时作业
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～6为单选，7～10为多选)
1．一带负电荷的质点，在电场力作用下沿曲线abc从a运动到c，已知质点的速率是递减的。关于b点电场强度E的方向，下列图示中可能正确的是(虚线是曲线在b点的切线)( )
答案 D
解析 由a至c曲线的弯曲情况可知质点受力方向指向图中虚线的右下方，质点在b点的速度vb方向如图所示，由a至c速率递减可知受力方向与速度的方向的夹角为钝角，大致如图中F，α角大于90°，因为质点带负电荷，故场强方向应与F方向相反，D正确。
2.如图所示，A、B两带电小球的质量分别为m1、m2，电荷量分别为q1、q2，两小球用绝缘细线悬挂于O点，平衡时A、B两球处于同一高度，与竖直方向的夹角分别为30°、60°，已知细线OA长为l，重力加速度为g，静电力常量为k。则( )
A．A、B间库仑力大小为m2g
B．细线OA的弹力大小为m1g
C．A、B间库仑力大小为k
D．A、B的质量之比为m1∶m2＝3∶2
答案 B
解析 以B球为研究对象，受力分析如图1所示，可知A、B间库仑力大小为F＝m2gtan60°＝m2g，A错误；以A球为研究对象，受力分析如图2所示，可知A、B间库仑力大小为F＝m1gtan30°＝m1g，F弹A＝＝m1g，B正确；由几何关系可知，A、B两球之间的距离为2l，由库仑定律知A、B两球间库仑力大小为F＝k＝k，C错误；由F＝m1g，F＝m2g，则m1∶m2＝3∶1，D错误。
3．(2018·武汉调研)a、b、c三个点电荷仅在相互之间的静电力的作用下处于静止状态。已知a所带的电荷量为＋Q，b所带的电荷量为－q，且Q>q。关于电荷c，下列判断正确的是( )
A．c一定带负电
B．c所带的电荷量一定大于q
C．c可能处在a、b之间
D．如果固定a、b，仍让c处于平衡状态，则c的电性、电荷量、位置都将唯一确定
答案 B
解析 根据点电荷所受的电场力方向以及受力平衡来确定各自电性，可以得出三个点电荷若要平衡应处于同一条直线上，处于两端的点电荷的电性相同且与中间点电荷的电性相反，即“两同夹一异”，又因为Q>q，根据库仑定律来确定电场力的大小，并由平衡条件来确定各自电荷量的大小，因此一定为“两大夹一小”，c所带电荷量一定大于q，且c必须带正电，在b的另一侧，A、C错误，B正确；如果固定a、b，因Q>q，则在a、b形成的静电场中，只有b的另一边仅存在一点场强为零，c放在此处时受力平衡，位置固定，而c的电荷量和电性均不确定，D错误。
4.(2018·山东六校联考)某区域的电场线分布情况如图所示，M、N、P是电场中的三个点，下列说法正确的是( )
A．负电荷由M点移动到P点，电场力做正功
B．正电荷在M点的电势能小于其在N点的电势能
C．同一电荷在N点受到的电场力大于其在M点所受的电场力
D．M点和N点电场强度的方向相同
答案 C
解析 沿着电场线的方向电势降低，故φM>φN，φM>φP，所以M、P两点电势差UMP>0，由电场力做功与电势差关系可知，负电荷由M点到P点，电场力做负功，A项错误；正电荷在电势较高的位置电势能较大，B项错误；由电场线的疏密程度表示电场强度大小可判断N点电场强度大于M点电场强度，所以同一电荷在N点所受电场力较大，C项正确；电场强度的方向沿电场线的切线方向，故M点和N点的电场强度方向不同，D项错误。
5.一负电荷从电场中A点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到B点，它运动的vt图象如图所示，则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是下图中的( )
答案 C
解析 由vt图可知负电荷在电场中做加速度越来越大的加速运动，故电场线应由B指向A，且A到B场强变大，电场线变密，C正确。
6.如图所示，一个均匀的带电圆环，电荷量为＋Q，半径为R，放在绝缘水平桌面上。圆心为O点，过O点作一竖直线，在此线上取一点A，使A到O点的距离为R，在A点放一检验电荷＋q，则＋q在A点所受的电场力为( )
A.，方向向上 B.，方向向上
C.，方向水平向左 D．不能确定
答案 B
解析 先把带电圆环分成若干个小部分，每一部分可视为点电荷，各点电荷对检验电荷的库仑力在水平方向上相互抵消，竖直向上的电场力大小为＝，故选B。
7．有五个半径均为r的球体A、B、C、D、E，其中A和B是用相同的塑料制成的，所带电荷量均为＋q(q>0)；C、D和E均用相同的金属制成，C和D所带电荷量为＋q，E所带电荷量为－7q。静电力常量用k表示。关于摩擦起电和库仑力，下列说法正确的是( )
A．摩擦起电的过程，是一个物体得到电子，另一个物体得到原子核的过程
B．若A、B两球心相距6r，则A、B间的库仑力大小为
C．若C、D两球心相距6r，则C、D间的库仑力大小为
D．若D、E两球心相距90r，D和E接触后各自放回原处，则D、E间的库仑力大小为
答案 BD
解析 摩擦起电的过程是一个物体得到电子，另一个物体失去电子的过程，A错误；因为绝缘体上的电荷是不能移动的，其电荷不会重新分布，对其他电荷的作用效果与点电荷类似，则电荷分布均匀的绝缘球体可视为点电荷，A、B两球间的库仑力大小为，B正确；C、D两球心间的距离为6r，没有远大于球的半径r，两球不能视为点电荷，由于同种电荷相互排斥，C、D上的电荷分布不均匀，等效点电荷间的距离将大于6r，则C、D间的库仑力小于，C错误；两个大小相同的带异种电荷的金属球接触后正负电荷先中和，再平分，D和E接触后所带的电荷量均为＝－3q，各自放回原处，球心间距离远大于球的半径，球可视为点电荷，则D、E间的库仑力大小为，D正确。
8.(2018·海南五校模拟)如图所示，在y轴上关于O点对称的A、B两点有等量同号正点电荷，在x轴上C点有负点电荷，它们所带电荷量均为Q，且CO＝OD＝r，∠ADO＝60°。下列判断正确的是( )
A．若仅将A、B两处点电荷的电荷量同时等量地缓慢增大，则O点电场强度增大
B．若仅将A、B两处点电荷的电荷量同时等量地缓慢减小，则D点电场强度减小
C．若仅将C处点电荷的电荷量缓慢减小，则O点电场强度减小
D．若仅将C处点电荷的电荷量缓慢减小，则D点电场强度增大
答案 CD
解析 A、B两处点电荷在O点产生的合场强为零，C处的点电荷在O点产生的场强为EO＝k，所以仅将A、B两处点电荷的电荷量同时等量地缓慢增大时，O点电场强度不变，若仅将C处点电荷的电荷量缓慢减小，O点电场强度减小，即A错误，C正确。由几何知识知A、B两处点电荷在D点产生的场强与C处点电荷在D点产生的场强大小相等，方向相反，合场强为零，若仅将A、B两处点电荷的电荷量同时等量地缓慢减小，则D点电场强度增大，若仅将C处点电荷的电荷量缓慢减小，则同理得D点电场强度增大，所以B错误，D正确。
9.如图所示，两个带等量正电荷的小球A、B(可视为点电荷)被固定在光滑绝缘水平面上。P、N是小球A、B连线的垂直平分线上的点，且PO＝ON。现将一个电荷量很小的带负电的小球C(可视为质点)从P点由静止释放，在小球C向N点运动的过程中，关于小球C的速度图象中，可能正确的是( )
答案 AB
解析 在AB的垂直平分线上，从无穷远处到O点电场强度先变大后变小，到O点变为零，小球C受力沿A、B连线的垂直平分线。如果P、N相距足够远，小球C从很远处开始向O点运动，加速度先变大后变小，速度不断增大，在O点加速度变为零，速度达到最大，vt图线的斜率先变大后变小；由O点到很远处，速度变化情况与另一侧速度的变化情况具有对称性，则B正确。如果P、N相距很近，同理可知A正确。
10.(2018·安庆模拟)如图，倾角为θ的绝缘斜面ABC置于粗糙的水平地面上，一质量为m、带电量＋q的小物块(可看做是点电荷)恰好能在斜面上匀速下滑，若在AB中点D的正上方与B等高的位置固定一带电量＋Q的点电荷，再让物块以某一速度从斜面上滑下，物块在下滑至底端的过程中，斜面保持静止不动，在不考虑空气阻力和物块电荷没有转移的情况下，关于在物块下滑过程的分析正确的是( )
A．在BA之间，物块将做加速直线运动
B．在BD之间，物块受到的库仑力先增大后减小
C．在BA之间，斜面对地面的压力有可能不变
D．在BA之间，斜面受到地面的摩擦力均为零
答案 BD
解析 原来小物块受重力、支持力和摩擦力，物块恰好能在斜面上匀速下滑，说明摩擦力和支持力的合力与重力平衡，放上＋Q电荷后，开始一段时间，库仑力对于物块是阻力，且摩擦力变大，则导致其做减速运动，故A错误；根据库仑定律，在BD之间，电荷间的间距先减小后增大，则物块受到的库仑力先增大后减小，故B正确；开始时刻小物块受重力、支持力和摩擦力，物块恰好能在斜面上匀速下滑，说明摩擦力和支持力的合力与重力平衡，是竖直向上的，根据牛顿第三定律，物块对斜面体的压力和物块对斜面体的摩擦力的合力是竖直向下的，增加电场力后，小物块对斜面体的压力和摩擦力成正比例增加，物块对斜面体的压力和摩擦力的合力仍然是竖直向下的，再对斜面体受力分析，受重力、物块对斜面体的压力和摩擦力、支持力，不受地面的摩擦力，否则合力不为零，从整体分析，在BA之间，因库仑斥力，导致斜面对地面的压力增大，故C错误，D正确。
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11.(14分)如图所示，真空中xOy平面直角坐标系上的A、B、C三点构成等边三角形，边长L＝2.0 m。若将电荷量均为q＝＋2.0×10－6 C的两点电荷分别固定在A、B点，已知静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，求：
(1)两点电荷间的库仑力大小；
(2)C点的电场强度的大小和方向。
答案 (1)9.0×10－3 N
(2)7.8×103 N/C 方向沿y轴正方向
解析 (1)根据库仑定律，A、B两点电荷间的库仑力大小为F＝k①
代入数据得F＝9.0×10－3 N②
(2)A、B两点电荷在C点产生的电场强度大小相等，均为E1＝k③
A、B两点电荷形成的电场在C点的合电场强度大小为E＝2E1cos30°④
由③④式并代入数据得
E＝7.8×103 N/C，电场强度E的方向沿y轴正向。
12.(2018·重庆二模)(16分)如图所示，用一根绝缘细线悬挂一个带电小球，小球的质量为m，电荷量为q，现加一水平的匀强电场，平衡时绝缘细线与竖直方向夹角为θ。
(1)试求这个匀强电场的场强E的大小；
(2)如果将电场方向顺时针旋转θ角、大小变为E′后，小球平衡时，绝缘细线仍与竖直方向夹角为θ，则E′的大小又是多少？
答案 (1) (2)
解析 (1)对小球受力分析，受到重力、电场力和细线的拉力，如图甲所示。
由平衡条件得：mgtanθ＝qE
解得：E＝。
(2)将电场方向顺时针旋转θ角、大小变为E′后，电场力方向也顺时针转过θ角，大小为F′＝qE′，此时电场力与细线垂直，如图乙所示。
根据平衡条件得：mgsinθ＝qE′
则得：E′＝。
第1讲 电场力的性质
主干梳理 对点激活
知识点 电荷守恒 点电荷 Ⅰ
库仑定律 Ⅱ1.元电荷、点电荷
(1)元电荷：e＝1.6×10－19 C，最小的电荷量，所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍，其中质子、正电子的电荷量与元电荷相同。电子的电荷量q＝－1.6×10－19 C。
(2)点电荷：忽略带电体的大小、形状及电荷分布状况的理想化模型。
(3)比荷：带电粒子的电荷量与其质量之比。
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消失，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，在转移的过程中，电荷的总量保持不变。
(2)起电方法：摩擦起电、感应起电、接触起电。
(3)带电实质：物体带电的实质是得失电子。
(4)电荷的分配原则：两个形状、大小相同的导体，接触后再分开，二者带等量同种电荷；若两导体原来带异种电荷，则电荷先中和，余下的电荷再平分。
3．库仑定律
(1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
(2)表达式：F＝k，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫静电力常量。
(3)适用条件：真空中静止的点电荷。
①在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式。
②当两个带电体的间距远大于本身的大小时，可以把带电体看成点电荷。
③两个带电体间的距离r→0时，不能再视为点电荷，也不遵循库仑定律，它们之间的库仑力不能认为趋于无穷大。
(4)库仑力的方向
由相互作用的两个带电体决定，且同号电荷相互排斥；异号电荷相互吸引。
知识点 静电场 Ⅰ
电场强度、点电荷的场强 Ⅱ
1．电场
(1)定义：存在于电荷周围，能传递电荷间相互作用的一种特殊物质。
(2)基本性质：对放入其中的电荷有力的作用。
2．电场强度
(1)定义：放入电场中某点的电荷所受到的静电力F跟它的电荷量q的比值。
(2)定义式：E＝，该式适用于一切电场。
(3)单位：N/C或V/m。
(4)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受静电力的方向为该点电场强度的方向。
3．点电荷场强的计算式
(1)公式：在场源点电荷Q形成的电场中，与Q相距r的点的场强E＝k。
(2)适用条件：真空中静止的点电荷形成的电场。
4．电场强度的叠加
电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，遵循平行四边形定则。
5．匀强电场：电场中各点的电场强度大小相等、方向相同，这样的电场叫做匀强电场。
知识点 电场线 Ⅰ
1．定义：为了形象地描述电场中各点场强的大小和方向，在电场中画出一系列的曲线，使曲线上各点的切线方向表示该点的场强方向，曲线的疏密表示场强的大小，这些曲线叫做电场线，是假想的曲线，实际不存在。
2．电场线的特点
(1)电场线上每一点的切线方向与该点的场强方向一致。
(2)电场线从正电荷或无穷远出发，终止于无穷远或负电荷。
(3)电场线在电场中不相交、不闭合、不中断。
(4)在同一电场中，电场线越密集的地方场强越大，电场线越稀疏的地方场强越小。
(5)沿电场线的方向电势逐渐降低。
(6)电场线和等势面在相交处垂直。
3．几种典型电场的电场线
如图所示是几种典型电场的电场线分布图。
一 思维辨析
1．质子的电荷量为一个元电荷，但电子、质子是实实在在的粒子，不是元电荷。( )
2．相互作用的两个点电荷，不论它们的电荷量是否相同，它们之间的库仑力大小一定相等。( )
3．根据F＝，当r→∞时，F→0。( )
4．电场强度反映了电场的力的性质，所以电场强度与试探电荷所受电场力成正比。( )
5．电场中某点的场强方向即为试探电荷在该点所受的电场力的方向。( )
6．在点电荷产生的电场中，以点电荷为球心的同一球面上各点的电场强度都相同。( )
7．电场线的方向即为带电粒子的运动方向。( )
答案 1.√ 2.√ 3.√ 4.× 5.× 6.× 7.×
二 对点激活
1.(人教版选修3－1·P3·实验改编)(多选)如图所示，A、B为相互接触并用绝缘支柱支持的金属导体，起初都不带电，在它们的下部贴有金属箔片，C是带正电的小球，下列说法正确的是( )
A．把C移近导体A时，A、B上的金属箔片都张开
B．把C移近导体A，再把A、B分开，然后移去C，A、B上的金属箔片仍张开
C．把C移近导体A，先把C移走，再把A、B分开，A、B上的金属箔片仍张开
D．把C移近导体A，先把A、B分开，再把C移走，然后重新让A、B接触，A上的金属箔片张开，而B上的金属箔片闭合
答案 AB
解析 虽然A、B起初都不带电，但带正电的小球C对A、B内的电荷有力的作用，使A、B中的自由电子向左移动，使得A端积累了负电荷，B端积累了正电荷，其下部的金属箔片因为接触带电，也分别带上了与A、B相同的电荷，所以金属箔片都张开，A正确。带正电的小球C只要一直在A、B附近，A、B上的电荷因受C的作用力而使A、B带等量的异种感应电荷，把A、B分开，因A、B已经绝缘，此时即使再移走C，所带电荷量也不能变，金属箔片仍张开，B正确。但如果先移走C，A、B上的感应电荷会马上中和，不再带电，所以金属箔片都不会张开，C错误。先把A、B分开，再移走C，A、B仍然带电，但重新让A、B接触后，A、B上的感应电荷完全中和，金属箔片都不会张开，D错误。
2．(人教版选修3－1·P9·T3改编)真空中两个相同的带等量异号电荷的金属小球A和B(均可看做点电荷)，分别固定在两处，两球间静电力大小为F。现用一个不带电的同样的金属小球C先与A接触，再与B接触，然后移开C，再将A、B间距离增大为原来的2倍，则A、B间的静电力大小为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设A、B原来所带电荷量分别为＋Q、－Q，A、B间静电力大小F＝，将不带电的同样的金属球C先与A接触，再与B接触后，A所带电荷量变为＋，B所带电荷量变为－，A、B间静电力大小F′＝＝，故F′＝F，故B正确。
3.(人教版选修3－1·P15·T5改编)如图所示为某区域的电场线分布，下列说法正确的是( )
A．这个电场可能是正点电荷形成的
B．D处的场强为零，因为那里没有电场线
C．点电荷q在A点所受的电场力比在B点所受电场力小
D．负电荷在C点受到的电场力方向沿C点切线方向
答案 C
解析 正点电荷的电场线是从正电荷出发的直线，故A错误；电场线是为了更形象描述电场而人为画出的，没有电场线的地方，电场强度不一定为零，故B错误；由图知B点处电场线比A点处电场线密集，故EB>EA，所以点电荷在A处所受的电场力小于在B处所受的电场力，故C正确；负电荷在C点所受电场力方向与C点切线方向相反，故D错误。
4．(人教版选修3－1·P15·T6)用一条绝缘轻绳悬挂一个带电小球，小球质量为1.0×10－2 kg，所带电荷量为＋2.0×10－8 C。现加一水平方向的匀强电场，平衡时绝缘绳与铅垂线成30°夹角(如图所示)。求这个匀强电场的电场强度。
答案 2.9×106 N/C
解析 小球受到重力mg、静电力F，轻绳拉力FT的作用处于平衡状态，它的受力情况如图所示，则
＝＝tan30°
E＝tan30°＝× N/C≈2.9×106 N/C。
考点细研 悟法培优
考点1 库仑力作用下的平衡问题
库仑定律的表达式为F＝k，其适用条件是真空中两个静止点电荷之间相互作用的静电力。库仑定律与平衡问题联系比较密切，因此关于静电力的平衡问题是高考的热点内容，题型以选择题为主。对于这部分内容，需要注意以下几点：一是明确库仑定律的适用条件；二是知道完全相同的导体小球接触时电荷量的分配规律；三是进行受力分析，灵活应用平衡条件。
例1 (2014·浙江高考)(多选)如图所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角为θ。一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行。小球A的质量为m、电量为q。小球A的右侧固定放置带等量同种电荷的小球B，两球心的高度相同、间距为d。静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球可视为点电荷。小球A静止在斜面上，则( )
A．小球A与B之间库仑力的大小为
B．当＝时，细线上的拉力为0
C．当＝时，细线上的拉力为0
D．当＝时，斜面对小球A的支持力为0
解题探究 (1)小球A受力情况怎样？
提示：如图所示，受竖直向下的重力、水平向左的库仑力、垂直斜面向上的支持力，还可能受细线的拉力。
(2)当拉力为0时，A受3个力平衡，用哪种方法更方便？
提示：矢量三角形法。
尝试解答 选AC。
由库仑定律知A与B之间库仑力大小为F＝，A正确；如果细线上的拉力为0，则小球A所受重力mg、支持力FN、库仑力F的合力为零，这三个力可构成一个力的矢量三角形，如图所示，由图中几何关系有F＝＝mgtanθ，解得＝，B错误，C正确；斜面对小球A的支持力不可能为零，D错误。
总结升华
求解带电体平衡问题的方法
分析带电体平衡问题的方法与力学中分析物体受力平衡问题的方法相同。
(1)当两个力在同一直线上使带电体处于平衡状态时，根据二力平衡的条件求解；
(2)在三个力作用下带电体处于平衡状态时，一般运用勾股定理、三角函数关系以及矢量三角形等知识求解；
(3)在三个以上的力作用下带电体处于平衡状态时，一般用正交分解法求解。
[变式1－1] 如图所示，两条不等长的细线一端拴在同一点，另一端分别拴两个带同种电荷的小球，电荷量分别是q1、q2，质量分别为m1、m2，当两小球处于同一水平面时恰好静止，且α>β，则造成α、β不相等的原因是( )
A．m1
C．q1
答案 A
解析 对两带电小球分别进行受力分析如图，根据平衡条件有tanα＝，tanβ＝，两者之间库仑力F大小相等，因α>β，所以m1
A．正，B的右边0.4 m处 B．正，B的左边0.2 m处
C．负，A的左边0.2 m处 D．负，A的右边0.2 m处
答案 C
解析 3个孤立共线点电荷的平衡规律如图。
“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。依据该规律知点电荷C应在A左侧，带负电。设在A左侧距A为x处，由于处于平衡状态，所以k＝，解得x＝0.2 m，C正确。
考点2 电场强度的理解及计算
1．电场强度的性质
2．电场强度三个表达式的比较
3．等量同号和异号点电荷的电场强度的比较
例2 图所示，在水平向右、大小为E的匀强电场中，在O点固定一电荷量为Q的正电荷，A、B、C、D为以O为圆心、半径为r的同一圆周上的四点，B、D连线与电场线平行，A、C连线与电场线垂直。则( )
A．A点的电场强度大小为
B．B点的电场强度大小为E－k
C．D点的电场强度大小不可能为0
D．A、C两点的电场强度相同
解题探究 (1)电场强度是矢量，场强的叠加遵循什么定则？真空中静止点电荷场强决定式是什么？
提示：平行四边形定则，E＝k。
(2)两点场强大小相等就可以说场强相同吗？
提示：两点场强相同必须大小相等，方向相同。判断两点场强是否相同先看方向是否相同。
尝试解答 选A。
＋Q在A点的电场强度沿OA方向，大小为k，所以A点的合电场强度大小为 ，A正确；同理，B点的电场强度大小为E＋k，B错误；如果E＝k，则D点的电场强度为0，C错误；A、C两点的电场强度大小相等，但方向不同，D错误。
总结升华
分析电场叠加问题的一般步骤
电场强度是矢量，叠加时遵循平行四边形定则。分析电场的叠加问题的一般步骤是：
(1)确定要分析计算的空间位置；
(2)分析该点有几个分电场，确定各个分电场在该点的电场强度的大小和方向；
(3)利用平行四边形定则求出各分电场强度的矢量和。
[变式2－1] (2018·广东六校联考)真空中某一点电荷Q在自己周围产生电场，a、b分别是该电场中的两点，如图，其中a点的电场强度大小为Ea，方向与a、b两点连线成120°角；b点的电场强度大小为Eb，方向与a、b两点连线成150°角，检验电荷q分别放在a点和b点，则( )
A．点电荷Q是负电荷
B．a、b两点的电场强度大小之比为3∶1
C．检验电荷在a、b两点受到的电场力大小相等
D．a、b两点可能处于同一等势面上
答案 B
解析 将两条电场线反向延长后相交于一点，即为点电荷Q的位置，设a、b两点到Q的距离分别为ra和rb，由几何知识得到，rb＝ra，根据公式E＝得，Ea＝3Eb，故B正确；因为b点距离点电荷Q远，检验电荷在a、b两点受到的电场力大小不相等，a、b两点不可能处于同一等势面上，C、D错误；由电场线方向及点电荷位置可知该点电荷为正电荷，A错误。
[变式2－2] (人教版选修3－1·P15·T7改编)如图所示，在x轴上关于原点O对称的两点A、B分别固定放置点电荷＋Q1和－Q2，x轴上的P点位于B点的右侧，且P点电场强度为零，则下列判断正确的是( )
A．x轴上P点右侧电场强度方向沿x轴正方向
B．Q1
D．与P点关于O点对称的M点电场强度可能为零
答案 A
解析 根据题述可知P点的电场强度为零，根据点电荷电场强度公式和场强叠加原理可知，＋Q1的电荷量一定大于－Q2的电荷量，A、B连线上各点电场强度都不为零，故B、C错误；由于＋Q1的电荷量大于－Q2的电荷量，可知P点右侧电场方向沿x轴正方向，故A正确；由于Q1>Q2，M点和P点关于O点对称，P点电场强度为零，由点电荷电场强度公式和场强叠加原理可知，M点电场强度一定不为零，D错误。
考点3 电场线的应用
1．判断电场强度的方向——电场线上任意一点的切线方向即为该点电场强度的方向。
2．判断电场力的方向——正电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相同，负电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相反。
3．判断电场强度的大小(定性)——同一电场，电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小。
4．判断电势的高低与电势降低的快慢——沿电场线方向电势逐渐降低，电场强度的方向是电势降低最快的方向。
例3 电场的电场线分布如图所示，下列说法正确的是( )
A．c点的电场强度大于b点的电场强度
B．若将一试探电荷＋q由a点释放，它将沿电场线运动到b点
C．b点的电场强度大于d点的电场强度
D．a点和b点的电场强度方向相同
解题探究 (1)在电场线分布图中，用什么表示电场强度的大小？
提示：电场线的疏密程度。
(2)沿曲线运动的粒子合力沿什么方向？
提示：曲线的凹侧。
尝试解答 选C。
电场线的疏密表示了电场强度的大小，由题图可知Eb>Ec，Eb>Ed，C正确，A错误；由于电场线是曲线，由a点释放的正电荷如果沿电场线运动，则合力沿轨迹切线，这是不可能的，B错误；电场线的切线方向为该点电场强度的方向，a点和b点的切线不同向，D错误。
总结升华
电场线的应用
熟悉几种典型的电场线分布有利于我们对电场强度和电势做出迅速判断，且可以进一步了解电荷在电场中的受力和运动情况、电场力做功及伴随的能量转化情况。
[变式3] 在如图所示的四种电场中，分别标记有a、b两点。其中a、b两点电场强度大小相等、方向相反的是( )
A．甲图中与点电荷等距的a、b两点
B．乙图中两等量异种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点
C．丙图中两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点
D．丁图中非匀强电场中的a、b两点
答案 C
解析 甲图中与点电荷等距的a、b两点，电场强度大小相同，方向不相反，A错误；对乙图，根据电场线的疏密及对称性可判断，a、b两点的电场强度大小相等，方向相同，B错误；丙图中两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点，电场强度大小相同，方向相反，C正确；对丁图，根据电场线的疏密可判断，b点的电场强度大于a点的电场强度，D错误。
考点4 带电粒子的运动轨迹判断
1．沿轨迹的切线找出速度方向，依据粒子所受合力的方向指向轨迹的凹侧来判断电场力的方向，由此判断电场的方向或粒子的电性。
2．由电场线的疏密情况判断带电粒子的受力大小及加速度大小。
3．由动能定理判断速度变化：如果带电粒子在运动中仅受电场力作用，若电场力做正功，则粒子动能增大；电场力做负功，则动能减小。电场力做正功还是负功依据力与速度的夹角是锐角还是钝角来判断。
例4 (多选)如图所示，图中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点，若带电粒子在运动过程中只受电场力作用，根据此图可做出的正确判断是( )
A．带电粒子所带电荷的正、负
B．带电粒子在a、b两点的受力方向
C．带电粒子在a、b两点的加速度何处较大
D．带电粒子在a、b两点的速度何处较大
解题探究 (1)如何判断带电粒子在a、b两点的受力方向？
提示：沿电场线且指向轨迹凹侧。
(2)带电粒子在a、b两点的加速度大小如何判断？
提示：依据电场线疏密判断电场力大小，就可以判断加速度大小。
尝试解答 选BCD。
根据轨迹弯曲方向只能判断出电场力方向，由于不知电场线方向，故无法判断带电粒子电性，A错误，B正确；根据电场线疏密知Ea>Eb，Fa>Fb，a点加速度大于b点加速度，C正确；若从a到b，电场力做负功，若从b到a，电场力做正功，均可得出粒子在a点的速度大，D正确。
总结升华
电场线与带电粒子运动轨迹的关系
一般情况下带电粒子在电场中的运动轨迹不会与电场线重合，只有同时满足以下三个条件时，两者才会重合：
(1)电场线为直线；
(2)电荷初速度为零或速度方向与电场线平行；
(3)电荷仅受电场力或所受其他力合力的方向始终与电场力方向相同或相反。
[变式4] 实线为三条未知方向的电场线，从电场中的M点以相同的速度飞出a、b两个带电粒子，a、b的运动轨迹如图中的虚线所示(a、b只受静电力作用)，则( )
A．a一定带正电，b一定带负电
B．静电力对a做正功，对b做负功
C．a的速度将减小，b的速度将增大
D．a的加速度将减小，b的加速度将增大
答案 D
解析 a、b两个带电粒子在M点以相同速度飞出，受电场力方向相反，但不知电场线方向，无法判断哪个粒子带正电，哪个粒子带负电，A错误；电场力方向与速度方向夹角都小于90°，电场力对a、b均做正功，速度都将增大，B、C错误；a向电场线稀疏处运动，b向电场线密集处运动，故a的加速度减小，b的加速度增大，D正确。
考点5 带电体的力电综合问题
解决力电综合问题的一般思路
例5 (2018·衡水六调)(多选)细绳两端分别系有带正电的甲、乙两小球，它们静止在光滑绝缘水平面上，电荷量分别为q1和q2，质量分别为m1和m2。烧断细绳后两球向相反方向运动，下列说法正确的是( )
A．运动的同一时刻，甲、乙两球受到的电场力大小之比为q2∶q1
B．运动的同一时刻，甲、乙两球动能之比为m2∶m1
C．在相同的运动时间内，甲、乙两球受到的电场力的冲量大小之比为1∶1
D．在相同的运动时间内，甲、乙两球受到的合力做功大小之比为1∶1
解题探究 (1)当烧断细绳后两球在什么力作用下向相反方向运动？
提示：甲、乙之间的库仑斥力。
(2)甲、乙两球组成的系统动量守恒吗？
提示：守恒。
尝试解答 选BC。
根据库仑定律可知，在同一时刻，甲、乙两球受到的电场力大小相等，A错误；烧断细绳后两球在库仑力作用下向相反方向运动，满足动量守恒定律，根据动量守恒定律，运动的同一时刻，甲、乙两球动量大小之比为m1v1∶m2v2＝1∶1，根据动能与动量的关系式，Ek＝mv2＝，所以运动的同一时刻，甲、乙两球动能之比为Ek1∶Ek2＝m2∶m1，B正确；由于两带电小球动量变化量大小相等，根据动量定理，合外力的冲量大小等于动量的变化量，在相同的运动时间内，甲、乙两球受到的电场力的冲量大小之比为1∶1，C正确；由于同一时刻，甲、乙两球动能之比为Ek1∶Ek2＝m2∶m1，根据动能定理，在相同的运动时间内，甲、乙两球受到的合力做功大小之比为m2∶m1，D错误。
总结升华
处理力电综合问题的两点注意
(1)受力分析是关键，画出受力分析图，找准力与力之间的关系，并由此推断物体的运动状态；或由运动状态推出受力情况。
(2)根据题目的所求问题灵活选用物理规律
①与时间、加速度有关的首先选用牛顿运动定律。
②仅与t有关的可选动量定理。
③与时间、加速度无关的首先选用动能定理或能量守恒定律，其次考虑动量守恒定律。
[变式5－1] 如图所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面(倾角为θ)，一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行，小球A静止在斜面上，其右侧有一个与A带等量同号电荷的小球B，开始两球心在同一水平线上，细线刚好伸直，两带电小球可视为点电荷，现用绝缘手柄将小球B沿以A为圆心的圆周从B点缓慢移到C点，AC竖直，此过程中A始终静止不动，则( )
A．细线对A的拉力逐渐增大，斜面对A的弹力逐渐减小
B．细线对A的拉力逐渐增大，斜面对A的弹力先增大后减小
C．细线对A的拉力先增大后减小，斜面对A的弹力逐渐增大
D．细线对A的拉力、斜面对A的弹力均先增大后减小
答案 B
解析 小球A受重力G、斜面的弹力N、细线的拉力T及球B的库仑斥力F的作用而处于平衡状态，如图所示，在移动小球B的过程中，球A受球B的库仑力大小不变，且图中θ≤α≤θ＋，由图知N＝Gcosθ＋Fsinα，Gsinθ＝Fcosα＋T，所以斜面的弹力N先增大后减小，细线拉力T＝Gsinθ－Fcosα一直在增大，B正确。
[变式5－2] (2018·邯郸一模)(多选)如图，绝缘水平面上方存在着水平向右的匀强电场。质量为m、电荷量为＋q的轻质小滑块从t＝0时刻起由静止开始沿水平面运动。小滑块同时还受到竖直向下的压力F，力F随时间t的变化关系为F＝kt，式中k为常数。小滑块与水平面的动摩擦因数为μ。水平面足够大，小滑块的重力可忽略不计。则小滑块( )
A．所受摩擦力的最大值为2qE
B．加速度的最大值为
C．速度的最大值为
D．最终以的速度做匀速直线运动
答案 AB
解析 小滑块的重力忽略不计，由牛顿第二定律得Eq－μkt＝ma1，随t增大，小滑块先做加速度越来越小的加速运动，当t>时，加速度反向，μkt－Eq＝ma2，小滑块做加速度越来越大的减速运动，整个过程a随t变化图象如图。由对称性可知t＝时，速度v＝0，此时有最大摩擦力f＝μkt＝2qE，故A正确；加速度a的最大值出现在t＝0时和t＝时，均为，故B正确；当Eq＝μkt时，即加速度a＝0时，速度最大，由at图线与t坐标轴在0～段所围成的面积得vm＝，故C错误；滑块最终静止，故D错误。
1．方法概述
场强有三个公式：E＝、E＝k、E＝，在一般情况下可由上述公式计算场强，但在求解带电圆环、带电平面等一些特殊带电体产生的场强时，上述公式无法直接应用。这时，如果转换思维角度，灵活运用补偿法、微元法、对称法、等效法、极限法等巧妙方法，可以化难为易。
2．常见类型与解题思路
方法一：补偿法
将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面分析，再减去补偿的部分产生的影响。
【典题例证1】
均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球面顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R。已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为( )
A.－E B.
C.－E D.＋E
[解析] 左半球面AB上的正电荷产生的电场等效为带正电荷为2q的整个球面的电场和带电荷量为－q的右半球面的电场的合电场，则E＝－E′，E′为带电荷量为－q的右半球面在M点产生的场强大小。由对称性知，带电荷量为－q的右半球面在M点的场强大小与带正电荷为q的左半球面AB在N点的场强大小相等，则EN＝E′＝－E＝－E，则A正确。
[答案] A
名师点睛 当所给带电体不是一个完整的规则物体时，将该带电体割去或增加一部分，组成一个规则的整体，从而求出规则物体的电场强度，再通过电场强度的叠加求出待求不规则物体的电场强度。应用此法的关键是“割”“补”后的带电体应当是我们熟悉的某一物理模型。
方法二：对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。
【典题例证2】
如图所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q(q>0)的固定点电荷。已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为(k为静电力常量)( )
A．k B．k C．k D．k
[解析] 由b点处场强为零知，圆盘在b点处产生的场强E1与q在b点处产生的场强E2大小相等，即E1＝E2＝k，由对称性可知，圆盘在d点产生的场强E3＝k，q在d点产生的场强E4＝k，方向与E3相同，故d点的合场强Ed＝E3＋E4＝k，B正确，A、C、D错误。
[答案] B
名师点睛 形状规则的带电体形成的电场具有对称性，位置对称的两点处的电场强度大小相等。如果能够求出其中一点处的电场强度，根据对称性特点，另一点处的电场强度即可求出。
方法三：微元法
将带电体分成许多电荷元，每个电荷元可看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的场强；再结合对称性和场强叠加原理求出合场强。
求解均匀带电圆环、带电平面、带电直杆等在某点产生的场强问题，可应用微元法。
【典题例证3】
如图所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面过圆心O的轴线上的一点，OP＝L，试求 P点的场强。
[解析] 如图所示，设想将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为q＝，由点电荷场强公式可求得每一点电荷在P处的场强为E＝＝。
由对称性可知，各点电荷在P处的场强E的垂直于轴向的分量Ey相互抵消，而E的轴向分量Ex之和即为带电环在P处的场强EP。
EP＝nEx＝nkcosθ＝·＝。
[答案]
名师点睛 微元法是从部分到整体的思维方法，把带电体看成由无数个点构成。然后根据对称性，利用平行四边形定则进行电场强度叠加。利用微元法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律解决，使所求的问题简单化。
方法四：等效法
在保证效果相同的条件下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。
【典题例证4】
(多选)如图所示，在真空中某竖直平面内固定一足够大的接地金属板MN，在MN右侧与其相距2d处的P点放置一电荷量为Q的正点电荷，如果从P点作MN的垂线，则O为垂足，A为O、P连线的中点，B为OP延长线上的一点，PB＝d。静电力常量为k，关于各点的电场强度，下列说法正确的是( )
A．O点场强大小为k
B．A点场强大小为k
C．B点场强大小为k
D．A、B两点场强大小相等，方向相反
[解析] 系统达到平衡后，因为接地金属板电势为零，所以电场线分布如图所示，所以金属板右侧的电场的电场线分布与等量异号点电荷连线的中垂线右侧的电场线分布相同，所以O点场强大小为EO＝k＋k＝k，A正确；A点场强大小为EA＝k＋k＝k，B错误；B点场强大小为EB＝k－k＝k，C正确；由上述分析可知D错误。
[答案] AC
名师点睛 等效法的实质是在效果相同的情况下，利用与问题中相似或效果相同的知识进行知识迁移的解题方法，往往是用较简单的因素代替较复杂的因素。
方法五：极限法
对于某些特殊情况下求解有关场强问题，有时无法用有关公式、规律得出结论，可考虑应用极限法。
极限法是把某个物理量的变化推向极端再进行推理分析，从而做出科学的判断或导出一般结论。极限法一般适用于所涉及的物理量随条件单调变化的情况。
【典题例证5】
物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需通过一定的分析就可以判断结论是否正确。如图所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R1和R2的圆环，两圆环上的电荷量均为q(q>0)，而且电荷均匀分布。两圆环的圆心O1和O2相距为2a，连线的中点为O，轴线上的A点在O点右侧与O点相距为r(r
[解析] 与点电荷的场强公式E＝k比较可知，A、C两项表达式的单位不是场强的单位，故可以排除；由电场强度的分布规律可知，当r＝a时，右侧圆环在A点产生的场强为零，则A处场强只由左侧圆环上的电荷产生，即场强表达式只有一项，故B错误；综上所述，可知D正确。
[答案] D
名师点睛 本题由于带电体为圆环状，超过了我们高中学生能力之外，故应注意审题，不必计算，只需通过一定的分析就可判断。首先根据场强的单位(量纲)进行判断，再分析特殊点即可得出结论。在物理学中，通过对量纲的分析，有时可以帮助我们快速找到一些错误。
【针对训练】
1．(2013·江苏高考)下列选项中的各圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各圆环间彼此绝缘。坐标原点O处电场强度最大的是( )
答案 B
解析 由对称原理可知，A、C图中在O点的场强大小相等，D图中在O点场强为0，因此B图中两圆环在O点合场强应最大，B正确。
2．如图甲所示，半径为R的均匀带电圆形平板，单位面积带电量为σ，其轴线上任意一点P(坐标为x)的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：E＝2πkσ·，方向沿x轴。现考虑单位面积带电量为σ0的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板，如图乙所示。则圆孔轴线上任意一点Q(坐标为x)的电场强度为( )
答案 A
解析 无限大均匀带电平板R取无限大，在Q点产生的
3.N(N>1)个电荷量均为q(q>0)的小球均匀分布在半径为R的圆周上，如图所示。若移去位于圆周上P点(图中未标出)的一个小球，则圆心O点处的电场强度大小为________，方向______________。(已知静电力常量为k)
答案 k 沿OP指向P
解析 P点的带电小球在圆心O处的电场强度大小为E1＝k，方向沿PO指向O；N个小球在O点处电场强度叠加后，合场强为零；移去P点的小球后，则剩余的N－1个小球在圆心O处的电场强度与P点的小球在圆心O处的电场强度等大反向，即E＝E1＝k，方向沿OP指向P。
4.如图所示，半径为r的圆环，在A、B之间留有宽度为d的间隙，且d≪r。将电荷量为Q的正电荷均匀分布在圆环上，求圆心O处的电场强度。
答案 ，方向背离圆心指向间隙
解析 解法一：假设将这个圆环的间隙补上，并且所补部分的电荷密度与原圆环上的电荷密度一样，这样就形成一个电荷均匀分布的完整的带电圆环，圆环在圆心O处产生的电场叠加后合场强为0。设原带有间隙的环所带电荷的线密度为σ，
则σ＝
补上的那一小段间隙的电荷量Q′＝σ·d＝
由题中条件可知那段间隙可看成点电荷，在圆心O处的场强为E1＝＝，方向由间隙指向圆心，则带有间隙的圆环在圆心O处的场强为
E＝0－E1＝－
负号表示与E1方向相反，即方向背离圆心指向间隙。
解法二：在圆环上与间隙关于圆心O对称的地方割出同样大小的间隙，则剩余部分的圆环上下对称，在圆心O处的合场强为0。因此在圆心O处的场强大小等于新割出的间隙在圆心O处产生的场强大小。由题中条件可知那段间隙可看成点电荷，所带电荷量为
Q′＝
在圆心O处的场强为E＝＝
方向背离圆心指向间隙。
高考模拟 随堂集训
1．(2018·全国卷Ⅰ)如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝ B．a、b的电荷异号，k＝
C．a、b的电荷同号，k＝ D．a、b的电荷异号，k＝
答案 D
解析 对固定的小球c受到的库仑力进行分析，要使c球受到的库仑力合力与a、b的连线平行，则竖直方向小球c受到的库仑力合力为零，则a、b的电荷必须异号，如图所示，则有：k·sinα＝k·sinβ，故＝＝＝，D正确。
2.(2016·浙江高考)如图所示，两个不带电的导体A和B，用一对绝缘柱支持使它们彼此接触。把一带正电荷的物体C置于A附近，贴在A、B下部的金属箔都张开，( )
A．此时A带正电，B带负电
B．此时A电势低，B电势高
C．移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合
D．先把A和B分开，然后移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合
答案 C
解析 由于静电感应，使A带负电，B带等量正电，若移去C，A、B所带等量正负电荷中和，金属箔闭合，所以C正确，A错误；处于电场中的导体是等势体，B错误；若先把A、B分开，然后移去C，A、B所带电荷就不能中和，金属箔不再闭合，D错误。
3．(2016·浙江高考)(多选)如图所示，把A、B两个相同的导电小球分别用长为0.10 m的绝缘细线悬挂于OA和OB两点。用丝绸摩擦过的玻璃棒与A球接触，棒移开后将悬点OB移到OA点固定。两球接触后分开，平衡时距离为0.12 m。已测得每个小球质量是8.0×10－4 kg，带电小球可视为点电荷，重力加速度g＝10 m/s2，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，则( )
A．两球所带电荷量相等
B．A球所受的静电力为1.0×10－2 N
C．B球所带的电荷量为4×10－8 C
D．A、B两球连线中点处的电场强度为0
答案 ACD
解析 用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电荷，与A球接触后A球也带正电荷，两球接触后分开，B球也带正电荷，且两球所带电荷量相等，A项正确；两球相互排斥，稳定后A球受力情况如图所示
sinθ＝＝0.60，θ＝37°
F库＝mgtan37°＝6.0×10－3 N，B项错误；
F库＝k
QA＝QB＝Q，r＝0.12 m
联立得Q＝4×10－8 C，故C项正确；
由等量同种点电荷产生的电场的特点可知，A、B两球连线中点处的场强为0，故D项正确。
4．(2018·北京高考节选)静电场可以用电场线和等势面形象描述。
(1)请根据电场强度的定义和库仑定律推导出点电荷Q的场强表达式；
(2)点电荷的电场线和等势面分布如图所示，等势面S1、S2到点电荷的距离分别为r1、r2。我们知道，电场线的疏密反映了空间区域电场强度的大小。请计算S1、S2上单位面积通过的电场线条数之比。
答案 (1)k (2)
解析 (1)在距Q为r的位置放一电荷量为q的检验电荷，根据库仑定律，检验电荷受到的电场力F＝k，根据电场强度的定义E＝，得E＝k。
(2)穿过每个面的电场线的总条数是相等的，若面积大，则单位面积上通过的条数就少，故通过两等势面单位面积上的电场线条数之比＝＝＝。
5.(2017·北京高考)如图所示，长l＝1 m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球所带电荷量q＝1.0×10－6 C，匀强电场的场强E＝3.0×103 N/C，取重力加速度g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
(1)小球所受电场力F的大小。
(2)小球的质量m。
(3)将电场撤去，小球回到最低点时速度v的大小。
答案 (1)3.0×10－3 N (2)4.0×10－4 kg
(3)2.0 m/s
解析 (1)F＝qE＝3.0×10－3 N。
(2)由＝tan37°，
得m＝4.0×10－4 kg。
(3)由mgl(1－cos37°)＝mv2，
得v＝＝2.0 m/s。
配套课时作业
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～6为单选，7～10为多选)
1．一带负电荷的质点，在电场力作用下沿曲线abc从a运动到c，已知质点的速率是递减的。关于b点电场强度E的方向，下列图示中可能正确的是(虚线是曲线在b点的切线)( )
答案 D
解析 由a至c曲线的弯曲情况可知质点受力方向指向图中虚线的右下方，质点在b点的速度vb方向如图所示，由a至c速率递减可知受力方向与速度的方向的夹角为钝角，大致如图中F，α角大于90°，因为质点带负电荷，故场强方向应与F方向相反，D正确。
2.如图所示，A、B两带电小球的质量分别为m1、m2，电荷量分别为q1、q2，两小球用绝缘细线悬挂于O点，平衡时A、B两球处于同一高度，与竖直方向的夹角分别为30°、60°，已知细线OA长为l，重力加速度为g，静电力常量为k。则( )
A．A、B间库仑力大小为m2g
B．细线OA的弹力大小为m1g
C．A、B间库仑力大小为k
D．A、B的质量之比为m1∶m2＝3∶2
答案 B
解析 以B球为研究对象，受力分析如图1所示，可知A、B间库仑力大小为F＝m2gtan60°＝m2g，A错误；以A球为研究对象，受力分析如图2所示，可知A、B间库仑力大小为F＝m1gtan30°＝m1g，F弹A＝＝m1g，B正确；由几何关系可知，A、B两球之间的距离为2l，由库仑定律知A、B两球间库仑力大小为F＝k＝k，C错误；由F＝m1g，F＝m2g，则m1∶m2＝3∶1，D错误。
3．(2018·武汉调研)a、b、c三个点电荷仅在相互之间的静电力的作用下处于静止状态。已知a所带的电荷量为＋Q，b所带的电荷量为－q，且Q>q。关于电荷c，下列判断正确的是( )
A．c一定带负电
B．c所带的电荷量一定大于q
C．c可能处在a、b之间
D．如果固定a、b，仍让c处于平衡状态，则c的电性、电荷量、位置都将唯一确定
答案 B
解析 根据点电荷所受的电场力方向以及受力平衡来确定各自电性，可以得出三个点电荷若要平衡应处于同一条直线上，处于两端的点电荷的电性相同且与中间点电荷的电性相反，即“两同夹一异”，又因为Q>q，根据库仑定律来确定电场力的大小，并由平衡条件来确定各自电荷量的大小，因此一定为“两大夹一小”，c所带电荷量一定大于q，且c必须带正电，在b的另一侧，A、C错误，B正确；如果固定a、b，因Q>q，则在a、b形成的静电场中，只有b的另一边仅存在一点场强为零，c放在此处时受力平衡，位置固定，而c的电荷量和电性均不确定，D错误。
4.(2018·山东六校联考)某区域的电场线分布情况如图所示，M、N、P是电场中的三个点，下列说法正确的是( )
A．负电荷由M点移动到P点，电场力做正功
B．正电荷在M点的电势能小于其在N点的电势能
C．同一电荷在N点受到的电场力大于其在M点所受的电场力
D．M点和N点电场强度的方向相同
答案 C
解析 沿着电场线的方向电势降低，故φM>φN，φM>φP，所以M、P两点电势差UMP>0，由电场力做功与电势差关系可知，负电荷由M点到P点，电场力做负功，A项错误；正电荷在电势较高的位置电势能较大，B项错误；由电场线的疏密程度表示电场强度大小可判断N点电场强度大于M点电场强度，所以同一电荷在N点所受电场力较大，C项正确；电场强度的方向沿电场线的切线方向，故M点和N点的电场强度方向不同，D项错误。
5.一负电荷从电场中A点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到B点，它运动的vt图象如图所示，则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是下图中的( )
答案 C
解析 由vt图可知负电荷在电场中做加速度越来越大的加速运动，故电场线应由B指向A，且A到B场强变大，电场线变密，C正确。
6.如图所示，一个均匀的带电圆环，电荷量为＋Q，半径为R，放在绝缘水平桌面上。圆心为O点，过O点作一竖直线，在此线上取一点A，使A到O点的距离为R，在A点放一检验电荷＋q，则＋q在A点所受的电场力为( )
A.，方向向上 B.，方向向上
C.，方向水平向左 D．不能确定
答案 B
解析 先把带电圆环分成若干个小部分，每一部分可视为点电荷，各点电荷对检验电荷的库仑力在水平方向上相互抵消，竖直向上的电场力大小为＝，故选B。
7．有五个半径均为r的球体A、B、C、D、E，其中A和B是用相同的塑料制成的，所带电荷量均为＋q(q>0)；C、D和E均用相同的金属制成，C和D所带电荷量为＋q，E所带电荷量为－7q。静电力常量用k表示。关于摩擦起电和库仑力，下列说法正确的是( )
A．摩擦起电的过程，是一个物体得到电子，另一个物体得到原子核的过程
B．若A、B两球心相距6r，则A、B间的库仑力大小为
C．若C、D两球心相距6r，则C、D间的库仑力大小为
D．若D、E两球心相距90r，D和E接触后各自放回原处，则D、E间的库仑力大小为
答案 BD
解析 摩擦起电的过程是一个物体得到电子，另一个物体失去电子的过程，A错误；因为绝缘体上的电荷是不能移动的，其电荷不会重新分布，对其他电荷的作用效果与点电荷类似，则电荷分布均匀的绝缘球体可视为点电荷，A、B两球间的库仑力大小为，B正确；C、D两球心间的距离为6r，没有远大于球的半径r，两球不能视为点电荷，由于同种电荷相互排斥，C、D上的电荷分布不均匀，等效点电荷间的距离将大于6r，则C、D间的库仑力小于，C错误；两个大小相同的带异种电荷的金属球接触后正负电荷先中和，再平分，D和E接触后所带的电荷量均为＝－3q，各自放回原处，球心间距离远大于球的半径，球可视为点电荷，则D、E间的库仑力大小为，D正确。
8.(2018·海南五校模拟)如图所示，在y轴上关于O点对称的A、B两点有等量同号正点电荷，在x轴上C点有负点电荷，它们所带电荷量均为Q，且CO＝OD＝r，∠ADO＝60°。下列判断正确的是( )
A．若仅将A、B两处点电荷的电荷量同时等量地缓慢增大，则O点电场强度增大
B．若仅将A、B两处点电荷的电荷量同时等量地缓慢减小，则D点电场强度减小
C．若仅将C处点电荷的电荷量缓慢减小，则O点电场强度减小
D．若仅将C处点电荷的电荷量缓慢减小，则D点电场强度增大
答案 CD
解析 A、B两处点电荷在O点产生的合场强为零，C处的点电荷在O点产生的场强为EO＝k，所以仅将A、B两处点电荷的电荷量同时等量地缓慢增大时，O点电场强度不变，若仅将C处点电荷的电荷量缓慢减小，O点电场强度减小，即A错误，C正确。由几何知识知A、B两处点电荷在D点产生的场强与C处点电荷在D点产生的场强大小相等，方向相反，合场强为零，若仅将A、B两处点电荷的电荷量同时等量地缓慢减小，则D点电场强度增大，若仅将C处点电荷的电荷量缓慢减小，则同理得D点电场强度增大，所以B错误，D正确。
9.如图所示，两个带等量正电荷的小球A、B(可视为点电荷)被固定在光滑绝缘水平面上。P、N是小球A、B连线的垂直平分线上的点，且PO＝ON。现将一个电荷量很小的带负电的小球C(可视为质点)从P点由静止释放，在小球C向N点运动的过程中，关于小球C的速度图象中，可能正确的是( )
答案 AB
解析 在AB的垂直平分线上，从无穷远处到O点电场强度先变大后变小，到O点变为零，小球C受力沿A、B连线的垂直平分线。如果P、N相距足够远，小球C从很远处开始向O点运动，加速度先变大后变小，速度不断增大，在O点加速度变为零，速度达到最大，vt图线的斜率先变大后变小；由O点到很远处，速度变化情况与另一侧速度的变化情况具有对称性，则B正确。如果P、N相距很近，同理可知A正确。
10.(2018·安庆模拟)如图，倾角为θ的绝缘斜面ABC置于粗糙的水平地面上，一质量为m、带电量＋q的小物块(可看做是点电荷)恰好能在斜面上匀速下滑，若在AB中点D的正上方与B等高的位置固定一带电量＋Q的点电荷，再让物块以某一速度从斜面上滑下，物块在下滑至底端的过程中，斜面保持静止不动，在不考虑空气阻力和物块电荷没有转移的情况下，关于在物块下滑过程的分析正确的是( )
A．在BA之间，物块将做加速直线运动
B．在BD之间，物块受到的库仑力先增大后减小
C．在BA之间，斜面对地面的压力有可能不变
D．在BA之间，斜面受到地面的摩擦力均为零
答案 BD
解析 原来小物块受重力、支持力和摩擦力，物块恰好能在斜面上匀速下滑，说明摩擦力和支持力的合力与重力平衡，放上＋Q电荷后，开始一段时间，库仑力对于物块是阻力，且摩擦力变大，则导致其做减速运动，故A错误；根据库仑定律，在BD之间，电荷间的间距先减小后增大，则物块受到的库仑力先增大后减小，故B正确；开始时刻小物块受重力、支持力和摩擦力，物块恰好能在斜面上匀速下滑，说明摩擦力和支持力的合力与重力平衡，是竖直向上的，根据牛顿第三定律，物块对斜面体的压力和物块对斜面体的摩擦力的合力是竖直向下的，增加电场力后，小物块对斜面体的压力和摩擦力成正比例增加，物块对斜面体的压力和摩擦力的合力仍然是竖直向下的，再对斜面体受力分析，受重力、物块对斜面体的压力和摩擦力、支持力，不受地面的摩擦力，否则合力不为零，从整体分析，在BA之间，因库仑斥力，导致斜面对地面的压力增大，故C错误，D正确。
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11.(14分)如图所示，真空中xOy平面直角坐标系上的A、B、C三点构成等边三角形，边长L＝2.0 m。若将电荷量均为q＝＋2.0×10－6 C的两点电荷分别固定在A、B点，已知静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，求：
(1)两点电荷间的库仑力大小；
(2)C点的电场强度的大小和方向。
答案 (1)9.0×10－3 N
(2)7.8×103 N/C 方向沿y轴正方向
解析 (1)根据库仑定律，A、B两点电荷间的库仑力大小为F＝k①
代入数据得F＝9.0×10－3 N②
(2)A、B两点电荷在C点产生的电场强度大小相等，均为E1＝k③
A、B两点电荷形成的电场在C点的合电场强度大小为E＝2E1cos30°④
由③④式并代入数据得
E＝7.8×103 N/C，电场强度E的方向沿y轴正向。
12.(2018·重庆二模)(16分)如图所示，用一根绝缘细线悬挂一个带电小球，小球的质量为m，电荷量为q，现加一水平的匀强电场，平衡时绝缘细线与竖直方向夹角为θ。
(1)试求这个匀强电场的场强E的大小；
(2)如果将电场方向顺时针旋转θ角、大小变为E′后，小球平衡时，绝缘细线仍与竖直方向夹角为θ，则E′的大小又是多少？
答案 (1) (2)
解析 (1)对小球受力分析，受到重力、电场力和细线的拉力，如图甲所示。
由平衡条件得：mgtanθ＝qE
解得：E＝。
(2)将电场方向顺时针旋转θ角、大小变为E′后，电场力方向也顺时针转过θ角，大小为F′＝qE′，此时电场力与细线垂直，如图乙所示。
根据平衡条件得：mgsinθ＝qE′
则得：E′＝。
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