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2020年高考物理新课标第一轮总复习讲义：第四章第三讲 圆周运动
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基础复习课
第三讲 圆周运动
[小题快练]
1．判断题
(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动．( × )
(2)物体做匀速圆周运动时，其角速度是不变的．( √ )
(3)物体做匀速圆周运动时，其合外力是不变的．( × )
(4)做匀速圆周运动的物体的向心加速度与半径成反比．( × )
(5)做匀速圆周运动的物体的向心力是产生向心加速度的原因．( √ )
(6)比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，比较物体绕圆心转动的快慢，看周期或角速度．( √ )
(7)做匀速圆周运动的物体，当合外力突然减小时，物体将沿切线方向飞出．( × )
(8)摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故．( × )
2．质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是( C )
A．速度的大小和方向都改变
B．匀速圆周运动是匀变速曲线运动
C．当物体所受合力全部用来提供向心力时，物体做匀速圆周运动
D．向心加速度大小不变，方向也不改变
3．如图所示，洗衣机脱水筒在转动时，衣服贴靠在匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来，则衣服( C )
A．受到重力、弹力、静摩擦力和离心力四个力的作用
B．所需的向心力由重力提供
C．所需的向心力由弹力提供
D．转速越快，弹力越大，摩擦力也越大
4．摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车，如图所示．当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜，行走在直线上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样．假设有一超高速摆式列车在水平面内行驶，以360 km/h的速度拐弯，拐弯半径为1 km，则质量为50 kg的乘客，在拐弯过程中所受到的列车给他的作用力为(g取10 m/s2)( C )
A．500 N
B．1 000 N
C．500 N
D．0
考点一 圆周运动中的运动学分析 (自主学习)
1．对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比；
当ω一定时，v与r成正比；
当v一定时，ω与r成反比．
2．对a＝＝ω2r＝ωv的理解
在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比．
3．常见的三种传动方式及特点
(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(2)摩擦传动：如图所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(3)同轴传动：如图甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．
1－1. [链条转动] 如图是自行车传动机构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为( )
A. B．
C. D．
解析：自行车前进的速度等于后轮的线速度，大小齿轮是同一条传送带相连，故线速度相等，故根据公式可得：ω1r1＝ω2r2，解得ω2＝，小齿轮和后轮是同轴转动，所以两者的角速度相等，故线速度v＝r3ω2＝，故D正确.
答案：D
1－2. [皮带传动] (多选)如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝，若在传动过程中，皮带不打滑，则( )
A．A点与C点的角速度大小相等
B．A点与C点的线速度大小相等
C．B点与C点的角速度大小之比为2∶1
D．B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4
解析：处理传动装置类问题时，对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度相等；同轴转动的点，角速度相等．对于本题，显然vA＝vC，ωA＝ωB，B正确；根据vA＝vC及关系式v＝ωR，可得ωARA＝ωCRC，又RC＝，所以ωA＝，A错误；根据ωA＝ωB，ωA＝，可得ωB＝，即B点与C点的角速度大小之比为1∶2，C错误；根据ωB＝及关系式a＝ω2R，可得aB＝，即B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4，D正确．
答案：BD
1－3.[摩擦传动] 如图所示，水平放置的两个用相同材料制成的轮P和Q靠摩擦传动，两轮的半径R∶r ＝2∶1.当主动轮Q匀速转动时，在Q轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在Q轮边缘上，此时Q轮转动的角速度为ω1，木块的向心加速度为a1，若改变转速，把小木块放在P轮边缘也恰能静止，此时Q轮转动的角速度为ω2，木块的向心加速度为a2，则( )
A.＝ B．＝
C.＝ D．＝
解析：根据题述，a1＝ωr，ma1＝μmg；联立解得μg＝ωr.小木块放在P轮边缘也恰能静止，μg＝ωR＝2ωr.又ωpR＝ω2r解得＝，选项A、B错误；ma2＝μmg，所以＝，C正确，D错误．
答案：C
考点二 圆周运动中的动力学分析 (师生共研)
1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
(2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
3．常见的圆周运动分析
图形
受力分析
建坐标系分解力
方程
Ff＝mg
FN＝mω2r
FN＝mg
Ff＝mω2r
Fcos θ＝mg
Fsin θ＝mω2lsin θ
Fcos θ＝mg
Fsin θ＝mω2(d＋lsin θ)
FNcos θ＝mg
FNsin θ＝mω2l
Ffcos θ＋FNsin θ＝mg
Ffsin θ－FNcos θ＝ma
[典例] (多选)(2018·河北省石家庄市高三一模)
如图所示，两个质量均为m的小球A、B套在半径为R的圆环上，圆环可绕竖直方向的直径旋转，两小球随圆环一起转动且相对圆环静止．已知OA与竖直方向的夹角θ＝53° ，OA与OB垂直，小球B与圆环间恰好没有摩擦力，重力加速度为g，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.下列说法正确的是( )
A．圆环旋转角速度的大小为
B．圆环旋转角速度的大小为
C．小球A与圆环间摩擦力的大小为mg
D．小球A与圆环间摩擦力的大小为mg
解析：小球B与圆环间恰好没有摩擦力，由支持力和重力的合力提供向心力，有：mgtan37°＝mω2Rsin37°，解得：ω＝，则A正确，B错误；对小球A受力分析，有：
水平方向：Nsin θ－fcos θ＝mω2Rsin θ
竖直方向：Ncos θ＋fsin θ－mg＝0
联立解得：f＝mg，故C错误，D正确．
答案：AD
[反思总结]
“一、二、三、四”求解圆周运动问题
2－1.[斜面上的圆周运动] (多选)在光滑圆锥形容器中，固定了一根光滑的竖直细杆，细杆与圆锥的中轴线重合，细杆上穿有小环(小环可以自由转动，但不能上下移动)，小环上连接一根轻绳，与一质量为m的光滑小球相连，让小球在圆锥内做水平面上的匀速圆周运动，并与圆锥内壁接触．如图所示，图甲中小环与小球在同一水平面上，图乙中轻绳与竖直轴成θ角．设图甲和图乙中轻绳对小球的拉力分别为FTa和FTb，容器内壁对小球的支持力分别为FNa和FNb，则下列说法中正确的是( )
A．FTa一定为零，FTb一定为零
B．FTa可以为零，FTb可以为零
C．FNa一定不为零，FNb可以为零
D．FNa可以为零，FNb可以为零
答案：BC
2－2.[水平面上的圆周运动] 如图所示，水平转盘上放有一质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；
(2)当角速度为时，绳子对物体拉力的大小．
解析：(1)设拉力恰好为零时转盘转动的角速度为ω0，此时有μmg＝mrω，解得：ω0＝；
(2)因为ω＝ ＜ω0，所以物体所需向心力小于物体与盘间的最大静摩擦力，即物与盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力，此时细绳的拉力仍为0，即FT＝0.
考点三 圆周运动的实例分析 (自主学习)
1．凹形桥与拱形桥模型
2.火车转弯问题
概述
如图所示，火车转弯轨道，外高内低．火车转弯时，设转弯半径为r，若F向＝mgtan θ＝m，车轮与内、外侧轨道无作用力，即v＝
规律
当火车转弯时，若v＞，则火车车轮对外侧轨道有作用力，若v＜，火车车轮对内侧轨道有作用力
3－1.[凹形桥模型] (多选)质量为m的物体沿着半径为r的半球形金属球壳滑到最低点时的速度大小为v，如图所示，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时的( )
A．向心加速度为
B．向心力为m(g＋)
C．对球壳的压力为
D．受到的摩擦力为μm(g＋)
解析：物体滑到半球形金属球壳最低点时，速度大小为v，半径为r，向心加速度为an＝，故A正确；根据牛顿第二定律可知，物体在最低点时的向心力Fn＝m，故B错误；根据牛顿第二定律得FN－mg＝m，得到金属球壳对物体的支持力FN＝m(g＋)，由牛顿第三定律可知，物体对金属球壳的压力大小FN′＝m(g＋)，故C错误；物体在最低点时，受到的摩擦力为Ff＝μFN＝μm(g＋)，故D正确．
答案：AD
3－2.[凹凸形桥模型] (2015·福建卷)如图，在竖直平面内，滑道ABC关于B点对称，且A、B、C三点在同一水平线上．若小滑块第一次由A滑到C，所用的时间为t1，第二次由C滑到A，所用的时间为t2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则( )
A．t1＜t2
B．t1＝t2
C．t1＞t2
D．无法比较t1、t2的大小
答案：A
3－3.[车转弯问题] 汽车沿半径为R的圆形跑道匀速行驶，设跑道的路面是水平的，路面作用于车的摩擦力的最大值是车重的，要使汽车不致冲出圆形跑道， 车速最大
不能超过多少？如图所示是汽车沿圆形跑道行驶时的背影简图，试根据图中车厢的倾侧情况和左右轮胎受挤压后的形变情况判断圆形跑道的圆心位置在左侧还是在右侧？
解析：如果不考虑汽车行驶时所受的阻力，那么汽车在圆形跑道匀速行驶时，轮胎所受的静摩擦力Ff(方向指向圆心)提供向心力．车速越大，所需向心力也越大，则静摩擦力Ff也越大，设车速的最大值为vmax，则Ffmax＝m，即＝m，解得vmax ＝.对车厢进行受力分析可知，其支持力和重力的合力一定指向右侧，即向心力指向右侧，所以跑道的圆心一定在右侧．
答案： 右侧
1．(多选)图中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点．左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r.b点在小轮上，到小轮中心的距离为r.c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上．若在传动过程中，皮带不打滑．则( AC )
A．c点与d点的角速度大小相等
B．a点与b点的角速度大小相等
C．a点与c点的线速度大小相等
D．a点与c点的向心加速度大小相等
2．如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是( B )
A．A球的角速度等于B球的角速度
B．A球的线速度大于B球的线速度
C．A球的运动周期小于B球的运动周期
D．A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力
3．(多选)如图所示，当正方形薄板绕着过其中心O并与板垂直的转动轴转动时，板上A、B两点( AD )
A．角速度之比ωA∶ωB＝1∶1
B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶
C．线速度之比vA∶vB＝∶1
D．线速度之比vA∶vB＝1∶
4. (2019·浙江嘉兴高三选考)如图所示，餐桌上的水平玻璃转盘匀速转动时，其上的物品相对于转盘静止，则( D )
A．物品所受摩擦力与其运动方向相反
B．越靠近圆心的物品摩擦力越小
C．越靠近圆心的物品角速度越小
D．越靠近圆心的物品加速度越小
解析：由于物品有向外甩的趋势，所以物品所受的摩擦力指向圆心提供向心力，故A错误；由摩擦力提供向心力可知，f＝mω2r，由物品的质量大小不知道，所以无法确定摩擦力大小，故B错误；同一转轴转动的物体角速度相同，故C错误；由公式a＝ω2r可知，越靠近圆心的物品加速度越小，D正确．
[A组·基础题]
1．(2019·湖北、山东重点中学联考)关于圆周运动，下列说法中正确的有( C )
A．匀速圆周运动是匀变速运动
B．做圆周运动物体所受的合力始终指向圆心
C．做匀速圆周运动的物体加速度始终指向圆心
D．向心力只改变速度的大小，不改变速度的方向
2. 如图所示是某课外研究小组设计的可以用来测量转盘转速的装置．该装置上方是一与转盘固定在一起有横向均匀刻度的标尺，带孔的小球穿在光滑细杆上与一轻弹簧相连，弹簧的另一端固定在转动轴上，小球可沿杆自由滑动并随转盘在水平面内转动．当转盘不转动时，指针指在O处，当转盘转动的角速度为ω1时，指针指在A处，当转盘转动的角速度为ω2时，指针指在B处，设弹簧均没有超过弹性限度．则ω1与ω2的比值为( B )
A. B．
C. D．
3. (多选)(2018·山东青州三模)如图所示，在绕中心轴转动的圆筒内壁上，有两物体A、B靠在一起随圆筒转动，在圆筒的角速度均匀增大的过程中，两物体相对圆筒始终保持静止，下列说法中正确的是( BC )
A．在此过程中，圆筒对A一定有竖直向上的摩擦力
B．在此过程中，A、B之间可能存在弹力
C．随圆筒的角速度逐渐增大，圆筒对A、B的弹力都逐渐增大
D．随圆筒的角速度逐渐增大，圆筒对B的摩擦力也逐渐增大
解析：在此过程中，A可能只受重力和B对A的支持力，不一定受到圆筒对A的竖直向上的摩擦力，选项A错误，B正确；水平方向，圆筒对AB的弹力充当做圆周运动的向心力，根据F＝mω2r可知，随圆筒的角速度逐渐增大，圆筒对A、B的弹力都逐渐增大，选项C正确；圆筒对B的摩擦力在竖直方向，与水平方向的受力无关，即与圆筒的转速无关，选项D错误．
4. (多选)(2019·江西红色七校联考)如图所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆C和D上，质量为ma的a球置于地面上，质量为mb的b球从水平位置静止释放．当b球摆过的角度为90° 时，a球对地面压力刚好为零，下列结论正确的是( AD )
A．ma∶mb＝3∶1
B．ma∶mb＝2∶1
C．若只将细杆D水平向左移动少许，则当b球摆过的角度为小于90° 的某值时，a球对地面的压力刚好为零
D．若只将细杆D水平向左移动少许，则当b球摆过的角度仍为90° 时，a球对地面的压力刚好为零
解析：由于b球摆动过程中机械能守恒，则有：mbgl＝mbv2，当b球摆过的角度为90° 时，根据牛顿运动定律和向心力公式得：T－mbg＝mb；联立解得：T＝3mbg；据题述a球对地面压力刚好为零，可知此时绳子张力为：T＝mag，解得：ma∶mb＝3∶1，故A正确，B错误．由上述求解过程可以看出 T＝3mbg，细绳的拉力T与球到悬点的距离无关，只要b球摆到最低点，细绳的拉力都是3mbg，a球对地面的压力刚好为零．故C错误，D正确．
5. (多选)铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面间的夹角为θ，弯道处的圆弧半径为R.若质量为m的火车转弯时的速度小于，则( AD )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．铁轨对火车的支持力等于
D．铁轨对火车的支持力小于
6．(多选) 如图所示，在光滑的横杆上穿着两质量分别为m1、m2的小球，小球用细线连接起来，当转台匀速转动时，下列说法正确的是( BD )
A．两小球速率必相等
B．两小球角速度必相等
C．两小球加速度必相等
D．两小球到转轴距离与其质量成反比
7．(多选)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关．还与火车在弯道上的行驶速度v有关．下列说法正确的是( AD )
A．速率v一定时，r越小，要求h越大
B．速率v一定时，r越大，要求h越大
C．半径r一定时，v越小，要求h越大
D．半径r一定时，v越大，要求h越大
[B组·能力题]
8．(2017·江苏卷)如图所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上，物块质量为M，到小环的距离为L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F.小环和物块以速度v向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动．整个过程中，物块在夹子中没有滑动．小环和夹子的质量均不计，重力加速度为g.下列说法正确的是( D )
A．物块向右匀速运动时，绳中的张力等于2F
B．小环碰到钉子P时，绳中的张力大于2F
C．物块上升的最大高度为
D．速度v不能超过
9．(多选) (2019·湖北、山东重点中学联考)游乐园里有一种叫“飞椅”的游乐项目，简化后的示意图如图所示．已知飞椅用钢绳系着，钢绳上端的悬点固定在顶部水平转盘上的圆周上．转盘绕穿过其中心的竖直轴匀速转动．稳定后，每根钢绳(含飞椅及游客)与转轴在同一竖直平面内．图中P、Q两位游客悬于同一个圆周上，P所在钢绳的长度大于Q所在钢绳的长度，钢绳与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2.不计钢绳的重力．下列判断正确的是( BD )
A．P、Q两个飞椅的线速度大小相同
B．无论两个游客的质量分别有多大，θ1一定大于θ2
C．如果两个游客的质量相同，则有θ1等于θ2
D．如果两个游客的质量相同，则Q的向心力一定小于P的向心力
解析：由mgtan θ＝mω2htan θ得，hP＝hQ. (h为钢绳延长线与转轴交点相对游客水平面的高度)，由h＝＋Lcos θ(其中r为圆盘半径)得，L越小则θ越小．则θ1>θ2，与质量无关．由R＝r＋Lsin θ可得，RP>RQ，则vP>vQ；由向心力公式可知F＝ mgtan θ，可知Q的向心力一定小于P的向心力，故选项B、D正确，A、C错误．
10．(多选)(2015·浙江卷)如图所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在O点的半圆，内外半径分别为r和2r.一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A′B′线，有如图所示的①、②、③三条路线，其中路线③是以O′为圆心的半圆，OO′＝r.赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax.选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则( ACD )
A．选择路线①，赛车经过的路程最短
B．选择路线②，赛车的速率最小
C．选择路线③，赛车所用时间最短
D．①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等
11. 游乐园的小型“摩天轮”上对称站着质量均为m的8位同学，如图所示，“摩天轮”在竖直平面内逆时针匀速转动，若某时刻转到顶点a上的甲同学让一小重物做自由落体运动，并立即通知下面的同学接住，结果重物掉落时正处在c处(如图)的乙同学恰好在第一次到达最低点b处接到，已知“摩天轮”半径为R，重力加速度为g，(不计人和吊篮的大小及重物的质量)．求：
(1)接住前重物下落运动的时间t；
(2)人和吊篮随“摩天轮”运动的线速度大小v；
(3)乙同学在最低点处对地板的压力FN.
解析：(1)由2R＝gt2，解得t＝2.
(2)v＝，s＝
联立解得：v＝π.
(3)由牛顿第二定律，F－mg＝m
解得F＝(1＋)mg
由牛顿第三定律可知，乙同学在最低点处对地板的压力大小为F′＝(1＋)mg，方向竖直向下．
答案：(1)2 (2)π (3)(1＋)mg，方向竖直向下
12．如图所示，装置BO′O可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ＝37°.已知小球的质量m＝1 kg，细线AC长l＝1 m，B点距C点的水平和竖直距离相等．(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝，cos 37°＝)
(1)若装置匀速转动的角速度为ω1时，细线AB上的张力为0而细线AC与竖直方向的夹角仍为37°，求角速度ω1的大小；
(2)若装置匀速转动的角速度ω2＝ rad/s，求细线AC与竖直方向的夹角．
解析：(1)当细线AB上的张力为0时，小球的重力和细线AC张力的合力提供小球圆周运动的向心力，有
mgtan 37°＝mωlsin 37°
解得ω1＝＝ rad/s.
(2)当ω2＝ rad/s时，小球应该向左上方摆起，假设
细线AB上的张力仍然为0，则mgtan θ′＝mωlsin θ′
解得cos θ′＝，
θ′＝53°
因为B点距C点的水平和竖直距离相等，所以，当θ′＝53°时，细线AB恰好竖直，且＝＝tan 53°
说明细线AB此时的张力恰好为0，故此时细线AC与竖直方向的夹角为53°.
答案：(1) rad/s (2)53°
第三讲 圆周运动
[小题快练]
1．判断题
(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动．( × )
(2)物体做匀速圆周运动时，其角速度是不变的．( √ )
(3)物体做匀速圆周运动时，其合外力是不变的．( × )
(4)做匀速圆周运动的物体的向心加速度与半径成反比．( × )
(5)做匀速圆周运动的物体的向心力是产生向心加速度的原因．( √ )
(6)比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，比较物体绕圆心转动的快慢，看周期或角速度．( √ )
(7)做匀速圆周运动的物体，当合外力突然减小时，物体将沿切线方向飞出．( × )
(8)摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故．( × )
2．质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是( C )
A．速度的大小和方向都改变
B．匀速圆周运动是匀变速曲线运动
C．当物体所受合力全部用来提供向心力时，物体做匀速圆周运动
D．向心加速度大小不变，方向也不改变
3．如图所示，洗衣机脱水筒在转动时，衣服贴靠在匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来，则衣服( C )
A．受到重力、弹力、静摩擦力和离心力四个力的作用
B．所需的向心力由重力提供
C．所需的向心力由弹力提供
D．转速越快，弹力越大，摩擦力也越大
4．摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车，如图所示．当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜，行走在直线上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样．假设有一超高速摆式列车在水平面内行驶，以360 km/h的速度拐弯，拐弯半径为1 km，则质量为50 kg的乘客，在拐弯过程中所受到的列车给他的作用力为(g取10 m/s2)( C )
A．500 N
B．1 000 N
C．500 N
D．0
考点一 圆周运动中的运动学分析 (自主学习)
1．对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比；
当ω一定时，v与r成正比；
当v一定时，ω与r成反比．
2．对a＝＝ω2r＝ωv的理解
在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比．
3．常见的三种传动方式及特点
(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(2)摩擦传动：如图所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(3)同轴传动：如图甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．
1－1. [链条转动] 如图是自行车传动机构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为( )
A. B．
C. D．
解析：自行车前进的速度等于后轮的线速度，大小齿轮是同一条传送带相连，故线速度相等，故根据公式可得：ω1r1＝ω2r2，解得ω2＝，小齿轮和后轮是同轴转动，所以两者的角速度相等，故线速度v＝r3ω2＝，故D正确.
答案：D
1－2. [皮带传动] (多选)如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝，若在传动过程中，皮带不打滑，则( )
A．A点与C点的角速度大小相等
B．A点与C点的线速度大小相等
C．B点与C点的角速度大小之比为2∶1
D．B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4
解析：处理传动装置类问题时，对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度相等；同轴转动的点，角速度相等．对于本题，显然vA＝vC，ωA＝ωB，B正确；根据vA＝vC及关系式v＝ωR，可得ωARA＝ωCRC，又RC＝，所以ωA＝，A错误；根据ωA＝ωB，ωA＝，可得ωB＝，即B点与C点的角速度大小之比为1∶2，C错误；根据ωB＝及关系式a＝ω2R，可得aB＝，即B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4，D正确．
答案：BD
1－3.[摩擦传动] 如图所示，水平放置的两个用相同材料制成的轮P和Q靠摩擦传动，两轮的半径R∶r ＝2∶1.当主动轮Q匀速转动时，在Q轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在Q轮边缘上，此时Q轮转动的角速度为ω1，木块的向心加速度为a1，若改变转速，把小木块放在P轮边缘也恰能静止，此时Q轮转动的角速度为ω2，木块的向心加速度为a2，则( )
A.＝ B．＝
C.＝ D．＝
解析：根据题述，a1＝ωr，ma1＝μmg；联立解得μg＝ωr.小木块放在P轮边缘也恰能静止，μg＝ωR＝2ωr.又ωpR＝ω2r解得＝，选项A、B错误；ma2＝μmg，所以＝，C正确，D错误．
答案：C
考点二 圆周运动中的动力学分析 (师生共研)
1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
(2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
3．常见的圆周运动分析
图形
受力分析
建坐标系分解力
方程
Ff＝mg
FN＝mω2r
FN＝mg
Ff＝mω2r
Fcos θ＝mg
Fsin θ＝mω2lsin θ
Fcos θ＝mg
Fsin θ＝mω2(d＋lsin θ)
FNcos θ＝mg
FNsin θ＝mω2l
Ffcos θ＋FNsin θ＝mg
Ffsin θ－FNcos θ＝ma
[典例] (多选)(2018·河北省石家庄市高三一模)
如图所示，两个质量均为m的小球A、B套在半径为R的圆环上，圆环可绕竖直方向的直径旋转，两小球随圆环一起转动且相对圆环静止．已知OA与竖直方向的夹角θ＝53° ，OA与OB垂直，小球B与圆环间恰好没有摩擦力，重力加速度为g，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.下列说法正确的是( )
A．圆环旋转角速度的大小为
B．圆环旋转角速度的大小为
C．小球A与圆环间摩擦力的大小为mg
D．小球A与圆环间摩擦力的大小为mg
解析：小球B与圆环间恰好没有摩擦力，由支持力和重力的合力提供向心力，有：mgtan37°＝mω2Rsin37°，解得：ω＝，则A正确，B错误；对小球A受力分析，有：
水平方向：Nsin θ－fcos θ＝mω2Rsin θ
竖直方向：Ncos θ＋fsin θ－mg＝0
联立解得：f＝mg，故C错误，D正确．
答案：AD
[反思总结]
“一、二、三、四”求解圆周运动问题
2－1.[斜面上的圆周运动] (多选)在光滑圆锥形容器中，固定了一根光滑的竖直细杆，细杆与圆锥的中轴线重合，细杆上穿有小环(小环可以自由转动，但不能上下移动)，小环上连接一根轻绳，与一质量为m的光滑小球相连，让小球在圆锥内做水平面上的匀速圆周运动，并与圆锥内壁接触．如图所示，图甲中小环与小球在同一水平面上，图乙中轻绳与竖直轴成θ角．设图甲和图乙中轻绳对小球的拉力分别为FTa和FTb，容器内壁对小球的支持力分别为FNa和FNb，则下列说法中正确的是( )
A．FTa一定为零，FTb一定为零
B．FTa可以为零，FTb可以为零
C．FNa一定不为零，FNb可以为零
D．FNa可以为零，FNb可以为零
答案：BC
2－2.[水平面上的圆周运动] 如图所示，水平转盘上放有一质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；
(2)当角速度为时，绳子对物体拉力的大小．
解析：(1)设拉力恰好为零时转盘转动的角速度为ω0，此时有μmg＝mrω，解得：ω0＝；
(2)因为ω＝ ＜ω0，所以物体所需向心力小于物体与盘间的最大静摩擦力，即物与盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力，此时细绳的拉力仍为0，即FT＝0.
考点三 圆周运动的实例分析 (自主学习)
1．凹形桥与拱形桥模型
2.火车转弯问题
概述
如图所示，火车转弯轨道，外高内低．火车转弯时，设转弯半径为r，若F向＝mgtan θ＝m，车轮与内、外侧轨道无作用力，即v＝
规律
当火车转弯时，若v＞，则火车车轮对外侧轨道有作用力，若v＜，火车车轮对内侧轨道有作用力
3－1.[凹形桥模型] (多选)质量为m的物体沿着半径为r的半球形金属球壳滑到最低点时的速度大小为v，如图所示，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时的( )
A．向心加速度为
B．向心力为m(g＋)
C．对球壳的压力为
D．受到的摩擦力为μm(g＋)
解析：物体滑到半球形金属球壳最低点时，速度大小为v，半径为r，向心加速度为an＝，故A正确；根据牛顿第二定律可知，物体在最低点时的向心力Fn＝m，故B错误；根据牛顿第二定律得FN－mg＝m，得到金属球壳对物体的支持力FN＝m(g＋)，由牛顿第三定律可知，物体对金属球壳的压力大小FN′＝m(g＋)，故C错误；物体在最低点时，受到的摩擦力为Ff＝μFN＝μm(g＋)，故D正确．
答案：AD
3－2.[凹凸形桥模型] (2015·福建卷)如图，在竖直平面内，滑道ABC关于B点对称，且A、B、C三点在同一水平线上．若小滑块第一次由A滑到C，所用的时间为t1，第二次由C滑到A，所用的时间为t2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则( )
A．t1＜t2
B．t1＝t2
C．t1＞t2
D．无法比较t1、t2的大小
答案：A
3－3.[车转弯问题] 汽车沿半径为R的圆形跑道匀速行驶，设跑道的路面是水平的，路面作用于车的摩擦力的最大值是车重的，要使汽车不致冲出圆形跑道， 车速最大
不能超过多少？如图所示是汽车沿圆形跑道行驶时的背影简图，试根据图中车厢的倾侧情况和左右轮胎受挤压后的形变情况判断圆形跑道的圆心位置在左侧还是在右侧？
解析：如果不考虑汽车行驶时所受的阻力，那么汽车在圆形跑道匀速行驶时，轮胎所受的静摩擦力Ff(方向指向圆心)提供向心力．车速越大，所需向心力也越大，则静摩擦力Ff也越大，设车速的最大值为vmax，则Ffmax＝m，即＝m，解得vmax ＝.对车厢进行受力分析可知，其支持力和重力的合力一定指向右侧，即向心力指向右侧，所以跑道的圆心一定在右侧．
答案： 右侧
1．(多选)图中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点．左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r.b点在小轮上，到小轮中心的距离为r.c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上．若在传动过程中，皮带不打滑．则( AC )
A．c点与d点的角速度大小相等
B．a点与b点的角速度大小相等
C．a点与c点的线速度大小相等
D．a点与c点的向心加速度大小相等
2．如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是( B )
A．A球的角速度等于B球的角速度
B．A球的线速度大于B球的线速度
C．A球的运动周期小于B球的运动周期
D．A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力
3．(多选)如图所示，当正方形薄板绕着过其中心O并与板垂直的转动轴转动时，板上A、B两点( AD )
A．角速度之比ωA∶ωB＝1∶1
B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶
C．线速度之比vA∶vB＝∶1
D．线速度之比vA∶vB＝1∶
4. (2019·浙江嘉兴高三选考)如图所示，餐桌上的水平玻璃转盘匀速转动时，其上的物品相对于转盘静止，则( D )
A．物品所受摩擦力与其运动方向相反
B．越靠近圆心的物品摩擦力越小
C．越靠近圆心的物品角速度越小
D．越靠近圆心的物品加速度越小
解析：由于物品有向外甩的趋势，所以物品所受的摩擦力指向圆心提供向心力，故A错误；由摩擦力提供向心力可知，f＝mω2r，由物品的质量大小不知道，所以无法确定摩擦力大小，故B错误；同一转轴转动的物体角速度相同，故C错误；由公式a＝ω2r可知，越靠近圆心的物品加速度越小，D正确．
[A组·基础题]
1．(2019·湖北、山东重点中学联考)关于圆周运动，下列说法中正确的有( C )
A．匀速圆周运动是匀变速运动
B．做圆周运动物体所受的合力始终指向圆心
C．做匀速圆周运动的物体加速度始终指向圆心
D．向心力只改变速度的大小，不改变速度的方向
2. 如图所示是某课外研究小组设计的可以用来测量转盘转速的装置．该装置上方是一与转盘固定在一起有横向均匀刻度的标尺，带孔的小球穿在光滑细杆上与一轻弹簧相连，弹簧的另一端固定在转动轴上，小球可沿杆自由滑动并随转盘在水平面内转动．当转盘不转动时，指针指在O处，当转盘转动的角速度为ω1时，指针指在A处，当转盘转动的角速度为ω2时，指针指在B处，设弹簧均没有超过弹性限度．则ω1与ω2的比值为( B )
A. B．
C. D．
3. (多选)(2018·山东青州三模)如图所示，在绕中心轴转动的圆筒内壁上，有两物体A、B靠在一起随圆筒转动，在圆筒的角速度均匀增大的过程中，两物体相对圆筒始终保持静止，下列说法中正确的是( BC )
A．在此过程中，圆筒对A一定有竖直向上的摩擦力
B．在此过程中，A、B之间可能存在弹力
C．随圆筒的角速度逐渐增大，圆筒对A、B的弹力都逐渐增大
D．随圆筒的角速度逐渐增大，圆筒对B的摩擦力也逐渐增大
解析：在此过程中，A可能只受重力和B对A的支持力，不一定受到圆筒对A的竖直向上的摩擦力，选项A错误，B正确；水平方向，圆筒对AB的弹力充当做圆周运动的向心力，根据F＝mω2r可知，随圆筒的角速度逐渐增大，圆筒对A、B的弹力都逐渐增大，选项C正确；圆筒对B的摩擦力在竖直方向，与水平方向的受力无关，即与圆筒的转速无关，选项D错误．
4. (多选)(2019·江西红色七校联考)如图所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆C和D上，质量为ma的a球置于地面上，质量为mb的b球从水平位置静止释放．当b球摆过的角度为90° 时，a球对地面压力刚好为零，下列结论正确的是( AD )
A．ma∶mb＝3∶1
B．ma∶mb＝2∶1
C．若只将细杆D水平向左移动少许，则当b球摆过的角度为小于90° 的某值时，a球对地面的压力刚好为零
D．若只将细杆D水平向左移动少许，则当b球摆过的角度仍为90° 时，a球对地面的压力刚好为零
解析：由于b球摆动过程中机械能守恒，则有：mbgl＝mbv2，当b球摆过的角度为90° 时，根据牛顿运动定律和向心力公式得：T－mbg＝mb；联立解得：T＝3mbg；据题述a球对地面压力刚好为零，可知此时绳子张力为：T＝mag，解得：ma∶mb＝3∶1，故A正确，B错误．由上述求解过程可以看出 T＝3mbg，细绳的拉力T与球到悬点的距离无关，只要b球摆到最低点，细绳的拉力都是3mbg，a球对地面的压力刚好为零．故C错误，D正确．
5. (多选)铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面间的夹角为θ，弯道处的圆弧半径为R.若质量为m的火车转弯时的速度小于，则( AD )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．铁轨对火车的支持力等于
D．铁轨对火车的支持力小于
6．(多选) 如图所示，在光滑的横杆上穿着两质量分别为m1、m2的小球，小球用细线连接起来，当转台匀速转动时，下列说法正确的是( BD )
A．两小球速率必相等
B．两小球角速度必相等
C．两小球加速度必相等
D．两小球到转轴距离与其质量成反比
7．(多选)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关．还与火车在弯道上的行驶速度v有关．下列说法正确的是( AD )
A．速率v一定时，r越小，要求h越大
B．速率v一定时，r越大，要求h越大
C．半径r一定时，v越小，要求h越大
D．半径r一定时，v越大，要求h越大
[B组·能力题]
8．(2017·江苏卷)如图所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上，物块质量为M，到小环的距离为L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F.小环和物块以速度v向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动．整个过程中，物块在夹子中没有滑动．小环和夹子的质量均不计，重力加速度为g.下列说法正确的是( D )
A．物块向右匀速运动时，绳中的张力等于2F
B．小环碰到钉子P时，绳中的张力大于2F
C．物块上升的最大高度为
D．速度v不能超过
9．(多选) (2019·湖北、山东重点中学联考)游乐园里有一种叫“飞椅”的游乐项目，简化后的示意图如图所示．已知飞椅用钢绳系着，钢绳上端的悬点固定在顶部水平转盘上的圆周上．转盘绕穿过其中心的竖直轴匀速转动．稳定后，每根钢绳(含飞椅及游客)与转轴在同一竖直平面内．图中P、Q两位游客悬于同一个圆周上，P所在钢绳的长度大于Q所在钢绳的长度，钢绳与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2.不计钢绳的重力．下列判断正确的是( BD )
A．P、Q两个飞椅的线速度大小相同
B．无论两个游客的质量分别有多大，θ1一定大于θ2
C．如果两个游客的质量相同，则有θ1等于θ2
D．如果两个游客的质量相同，则Q的向心力一定小于P的向心力
解析：由mgtan θ＝mω2htan θ得，hP＝hQ. (h为钢绳延长线与转轴交点相对游客水平面的高度)，由h＝＋Lcos θ(其中r为圆盘半径)得，L越小则θ越小．则θ1>θ2，与质量无关．由R＝r＋Lsin θ可得，RP>RQ，则vP>vQ；由向心力公式可知F＝ mgtan θ，可知Q的向心力一定小于P的向心力，故选项B、D正确，A、C错误．
10．(多选)(2015·浙江卷)如图所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在O点的半圆，内外半径分别为r和2r.一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A′B′线，有如图所示的①、②、③三条路线，其中路线③是以O′为圆心的半圆，OO′＝r.赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax.选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则( ACD )
A．选择路线①，赛车经过的路程最短
B．选择路线②，赛车的速率最小
C．选择路线③，赛车所用时间最短
D．①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等
11. 游乐园的小型“摩天轮”上对称站着质量均为m的8位同学，如图所示，“摩天轮”在竖直平面内逆时针匀速转动，若某时刻转到顶点a上的甲同学让一小重物做自由落体运动，并立即通知下面的同学接住，结果重物掉落时正处在c处(如图)的乙同学恰好在第一次到达最低点b处接到，已知“摩天轮”半径为R，重力加速度为g，(不计人和吊篮的大小及重物的质量)．求：
(1)接住前重物下落运动的时间t；
(2)人和吊篮随“摩天轮”运动的线速度大小v；
(3)乙同学在最低点处对地板的压力FN.
解析：(1)由2R＝gt2，解得t＝2.
(2)v＝，s＝
联立解得：v＝π.
(3)由牛顿第二定律，F－mg＝m
解得F＝(1＋)mg
由牛顿第三定律可知，乙同学在最低点处对地板的压力大小为F′＝(1＋)mg，方向竖直向下．
答案：(1)2 (2)π (3)(1＋)mg，方向竖直向下
12．如图所示，装置BO′O可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ＝37°.已知小球的质量m＝1 kg，细线AC长l＝1 m，B点距C点的水平和竖直距离相等．(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝，cos 37°＝)
(1)若装置匀速转动的角速度为ω1时，细线AB上的张力为0而细线AC与竖直方向的夹角仍为37°，求角速度ω1的大小；
(2)若装置匀速转动的角速度ω2＝ rad/s，求细线AC与竖直方向的夹角．
解析：(1)当细线AB上的张力为0时，小球的重力和细线AC张力的合力提供小球圆周运动的向心力，有
mgtan 37°＝mωlsin 37°
解得ω1＝＝ rad/s.
(2)当ω2＝ rad/s时，小球应该向左上方摆起，假设
细线AB上的张力仍然为0，则mgtan θ′＝mωlsin θ′
解得cos θ′＝，
θ′＝53°
因为B点距C点的水平和竖直距离相等，所以，当θ′＝53°时，细线AB恰好竖直，且＝＝tan 53°
说明细线AB此时的张力恰好为0，故此时细线AC与竖直方向的夹角为53°.
答案：(1) rad/s (2)53°
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