2020高考物理新创新大一轮复习新课改省份专用讲义：第十章第62课时　带电粒子在组合场中的运动（题型研究课）

第62课时　带电粒子在组合场中的运动(题型研究课)

命题点一　磁场与磁场的组合

[典例]　如图所示xOy坐标系中，在y轴右侧有一平行于y轴的边界PQ，PQ左侧和右侧存在磁感应强度大小分别为B与的匀强磁场，磁场方向均垂直于xOy平面向里。电荷量为q、质量为m的带正电粒子，以某一速度从坐标系原点O处沿x轴正方向射出，经过时间t＝时恰好到达y轴上的A(0，l)点，不计粒子的重力作用。

(1)求粒子在左、右两侧磁场中做圆周运动的半径大小之比r1∶r2；

(2)求边界PQ与y轴的距离d和粒子从O点射出的速度大小v0；

(3)若相同的粒子以更大的速度从原点O处沿x轴正方向射出，为使粒子能经过A点，粒子的速度大小应为多大？

[解析]　(1)带电粒子在左、右两侧磁场中均做匀速圆周运动，则有qv0B＝，qv0·＝

解得r1∶r2＝1∶2。

(2)粒子射出后经过时间t＝时恰好到达A点，运动情况如图1所示，设图中圆弧DE对应的圆心角为θ，

则粒子从O点运动到A点的时间为

T2＋T1＝

其中T1＝，T2＝

解得θ＝60°

△C1C2C3为等边三角形，根据几何关系得l＝2r1＋(r2－r1)，d＝r1sin θ

解得PQ与y轴的距离d＝l

粒子从O点射出的速度大小v0满足qv0B＝

解得v0＝。

(3)速度更大的粒子，必从y轴高点处转向下方时经过A点，一个周期的运动轨迹如图2，粒子在一个周期内沿y轴方向的位移为

y＝2r1′＋2(r2′－r1′)sin α－2r1′，其中r2′＝2r1′

即y＝2r1′sin α，其中cos α＝，

粒子经过A点的条件是ny＝l，n＝1,2,3，…

且qvB＝m

得v＝ ，n＝1,2,3，…

因v>v0，故n只能取1或2，故粒子的速度大小为

v＝或v＝。

[答案]　(1)1∶2　(2)l　　(3)或

[规律方法]

关注两段圆弧轨迹的衔接点

磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系。

[集训冲关]

1.(2017·全国卷Ⅲ)如图，空间存在方向垂直于纸面(xOy平面)向里的磁场。在x≥0区域，磁感应强度的大小为B0；x<0区域，磁感应强度的大小为λB0(常数λ>1)。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿x轴正向时，求：(不计重力)

(1)粒子运动的时间；

(2)粒子与O点间的距离。

解析：(1)在匀强磁场中，带电粒子做圆周运动。设在x≥0区域，圆周半径为R1；在x＜0区域，圆周半径为R2。由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得

qB0v0＝m①

qλB0v0＝m②

粒子速度方向转过180°时，所需时间t1为

t1＝③

粒子再转过180°时，所需时间t2为

t2＝④

联立①②③④式得，所求时间为

t0＝t1＋t2＝1＋。⑤

(2)由几何关系及①②式得，所求距离为

d0＝2(R1－R2)＝。⑥

答案：(1)　(2)

2.如图所示，M、N、P为很长的平行边界，M、N与M、P间距分别为l1、l2，其间分别有磁感应强度为B1和B2的匀强磁场区域，磁场Ⅰ和Ⅱ方向垂直纸面向里，B1≠B2。有一电荷量为q、质量为m的带正电粒子，以某一初速度垂直边界N及磁场方向射入MN间的磁场区域。不计粒子的重力。求：

(1)要使粒子能穿过磁场Ⅰ进入磁场Ⅱ，粒子的初速度v0至少应为多少；

(2)若粒子进入磁场Ⅰ的初速度v1＝，则粒子第一次穿过磁场Ⅰ所用时间t1是多少；

(3)粒子初速度v为多少时，才可恰好穿过两个磁场区域。

解析：(1)设粒子的初速度为v0时恰好能进入磁场Ⅱ，则进入磁场Ⅱ时速度恰好沿边界M，所以运动半径r＝l1，

由B1qv0＝m，解得v0＝。

(2)粒子在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动，

由B1qv1＝m，解得r1＝2l1，

设粒子在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动(轨迹如图甲)对应的圆心角为α，则有sin α＝＝，所以α＝，

所以粒子第一次穿过磁场Ⅰ所用时间为

t1＝T＝×＝。

(3)设粒子速度为v时，粒子在磁场Ⅱ中的轨迹恰好与边界P相切，轨迹如图乙所示，

由Bqv＝m可得R1＝，R2＝，

由几何关系得sin θ＝＝，

粒子在磁场Ⅱ中运动有R2－R2sin θ＝l2，

解得v＝。

答案：(1)　(2)　(3)

命题点二　电场与磁场的组合

考法1　先电场后磁场　

1．带电粒子先在电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入磁场做圆周运动，如图：

2．带电粒子先在电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做圆周运动，如图：

[例1]　(2018·全国卷Ⅲ)如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l。不计重力影响和离子间的相互作用。求：

(1)磁场的磁感应强度大小；

(2)甲、乙两种离子的比荷之比。

[解析]　(1)设甲种离子所带电荷量为q1、质量为m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有

q1U＝m1v12①

由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有

q1v1B＝m1②

由几何关系知

2R1＝l③

由①②③式得

B＝。④

(2)设乙种离子所带电荷量为q2、质量为m2，射入磁场的速度为v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2。同理有

q2U＝m2v22⑤

q2v2B＝m2⑥

由题给条件有

2R2＝⑦

由①②③⑤⑥⑦式得，甲、乙两种离子的比荷之比为

∶＝1∶4。⑧

[答案]　(1)　(2)1∶4

考法2　先磁场后电场　

[例2]　如图所示，真空中有一以O点为圆心的圆形匀强磁场区域，半径为R＝0.5 m，磁场方向垂直纸面向里。在y>R的区域存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为E＝1.0×105 V/m。在M点有一正粒子以速率v＝1.0×106 m/s沿x轴正方向射入磁场，粒子穿出磁场进入电场，速度减小至0后又返回磁场，最终又从磁场离开。已知粒子的比荷为＝1.0×107 C/kg，粒子重力不计。求：

(1)圆形磁场区域磁感应强度的大小；

(2)沿x轴正方向射入磁场的粒子，从进入磁场到再次穿出磁场所走过的路程。

[解析]　(1)沿x轴正方向射入磁场的粒子在进入电场后，速度减小到0，粒子一定是从如图所示的P点竖直向上射出磁场，逆着电场线运动，所以可得粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝R＝0.5 m，

根据Bqv＝，得B＝，

代入数据得B＝0.2 T。

(2)粒子返回磁场后，经磁场偏转后从N点射出磁场[如(1)中图所示]，MN的长度等于直径，粒子在磁场中的路程为二分之一圆周长，即s1＝πR，

设粒子在电场中运动的路程为s2，

根据动能定理得Eq·＝mv2，得s2＝，

则总路程s＝πR＋，

代入数据得s＝(0.5π＋1)m。

[答案]　(1)0.2 T　(2)(0.5π＋1)m

考法3　先后多个电磁场　

[例3]　如图所示，宽度为L的区域被平均分为区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，其中区域Ⅰ、Ⅲ有匀强磁场，它们的磁感应强度大小相等，方向垂直纸面且相反。长为L、宽为的矩形abcd紧邻磁场下方，与磁场边界对齐，O为dc边中点，P为dc中垂线上一点，OP＝3L。矩形内有匀强电场，电场强度大小为E，方向由a指向O。电荷量为q、质量为m、重力不计的带电粒子由a点静止释放，经电场加速后进入磁场，运动轨迹刚好与区域Ⅲ的右边界相切。求：

(1)该粒子经过O点时的速度大小v0；

(2)匀强磁场的磁感应强度大小B；

(3)若在aO之间距O点x处静止释放该粒子，粒子在磁场区域中共偏转n次到达P点，x应满足的条件及n的可能取值。

[解析]　(1)由题意，根据几何关系可知aO＝L，粒子在电场中从a到O加速，由动能定理得：qEL＝mv02①

解得v0＝ 。②

(2)粒子在磁场区域Ⅲ中的运动轨迹如图，设粒子轨迹半径为R0，

由几何关系可得：

R0－R0cos 60°＝L③

由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得：qv0B＝④

联立②③④式得：B＝ 。⑤

(3)若粒子在磁场中一共经过n次偏转到达P，设粒子轨迹半径为R，

由图中几何关系有：2n＝3L⑥

依题意有0<R≤R0⑦

联立③⑥⑦式得≤n<9，且n取正整数⑧

设粒子在磁场中的运动速率为v，有：qvB＝⑨

在电场中的加速过程，由动能定理得：qEx＝mv2⑩

联立⑤⑥⑨⑩式得：x＝2L，其中n＝2,3,4,5,6,7,8。

[答案]　(1) 　(2)  　 (3)x＝2L，n＝2,3,4,5,6,7,8

[规律方法]

(1)带电粒子在电场中加速，一般应用动能定理，即可求出加速后进入磁场前的速度。

(2)带电粒子进入磁场，在有界磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，再结合几何关系即可求解运动半径、周期等物理量。

(3)在有界磁场中运动时，要根据不同的边界确定临界条件，还要注意多解问题。