2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：选修4－5第1节 绝对值不等式
展开选修4－5 不等式选讲
第一节 绝对值不等式
[考纲传真] 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.
1．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法：
不等式 | a>0 | a＝0 | a<0 |
|x|<a | {x|－a＜x＜a} | ∅ | ∅ |
|x|>a | {x|x＞a或x＜－a} | {x∈R|x≠0} | R |
(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解；
②利用零点分段法求解；
③构造函数，利用函数的图像求解．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和． ( )
(2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|等号成立的条件是ab≤0． ( )
(3)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0． ( )
(4)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．设a，b为满足ab＜0的实数，那么( )
A．|a＋b|＞|a－b| B．|a＋b|＜|a－b|
C．|a－b|＜||a|－|b|| D．|a－b|＜|a|＋|b|
B [∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|.]
3．不等式1<|x＋1|<3的解集为( )
A．(0,2) B．(－2,0)∪(2,4)
C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)
D [原不等式等价于1<x＋1<3或－3<x＋1<－1，
∴0<x<2或－4<x<－2，
∴原不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)，故选D．]
4．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．10
A [由|x－4|＋|x－6|的几何意义可知|x－4|＋|x－6|≥2，故选A．]
5．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
[－2,4] [利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3，所以a的取值范围为－2≤a≤4.]
绝对值不等式的解法 |
1．解不等式x＋|2x＋3|≥2.
[解] 原不等式可化为或
解得x≤－5或x≥－.
综上，原不等式的解集是.
2．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)在图中画出y＝f(x)的图像；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集．
[解] (1)由题意得f(x)＝
故y＝f(x)的图像如图所示．
(2)由f(x)的函数表达式及图像可知，
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.
故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}，
f(x)＜－1的解集为.
所以|f(x)|＞1的解集为x或1＜x＜3或x＞5.
[规律方法] 1.本题利用分段函数的图形的几何直观性，求解不等式，体现了数形结合的思想．
2．解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集．此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解．
绝对值三角不等式的应用 |
【例1】 (1)若对于实数x，y有|1－x|≤2，|y＋1|≤1，求|2x＋3y＋1|的最大值．
[解] 因为|2x＋3y＋1|＝|2(x－1)＋3(y＋1)|≤2|x－1|＋3|y＋1|≤7，
所以|2x＋3y＋1|的最大值为7.
(2)若a≥2，x∈R，求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.
[证明] 因为|x－1＋a|＋|x－a|≥|(x－1＋a)－(x－a)|＝|2a－1|，
又a≥2，故|2a－1|≥3，
所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3成立．
[规律方法] 利用绝对值三角不等式求最值(或证明)
(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件是要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．
对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．
(2)该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．
已知实数x，y满足：|x＋y|＜，|2x－y|＜.求证：|y|＜.
[证明] 因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，
由题设知|x＋y|＜，|2x－y|＜，
从而3|y|＜＋＝，所以|y|＜.
绝对值不等式的综合应用 |
【例2】 已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.
所以f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，
所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．
当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞)．
[规律方法] 设函数f(x)中含有绝对值，则
(1)f(x)＞a有解⇔f(x)max＞a.
(2)f(x)＞a恒成立⇔f(x)min＞a.
(3)f(x)＞a恰在(c，b)上成立⇔c，b是方程f(x)＝a的解．
(2019·郑州第二次质量预测)已知函数f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x|＋a.
(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；
(2)若存在x∈R，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝0时，由f(x)≥g(x)，得|2x＋1|≥|x|.
两边平方整理，得3x2＋4x＋1≥0，
解得x≤－1或x≥－.
所以原不等式的解集为(－∞，－1]∪.
(2)由f(x)≤g(x)，得a≥|2x＋1|－|x|.
令h(x)＝|2x＋1|－|x|，
则h(x)＝
由分段函数图像可知
h(x)min＝h＝－，
从而所求实数a的取值范围为.
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝
故不等式f(x)＞1的解集为.
(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|＞x成立等价于当x∈(0,1)时，|ax－1|＜1成立．
若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax－1|≥1；
若a＞0，|ax－1|＜1的解集为0＜x＜，所以≥1，故0＜a≤2.综上，a的取值范围为(0,2]．
2．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝1时，f(x)＝
可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．
(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
