2020高考数学（理）新创新大一轮复习通用版讲义：第二章第五节对数与对数函数

第五节　对数与对数函数
[考纲要求]
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．了解对数在简化运算中的作用．
2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象．
3．体会对数函数是一类重要的函数模型．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1)．　　　
突破点一　对数的运算


1．对数的概念、性质及运算
概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝_N_
运算法则
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
2.重要公式
(1)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)；
(2)logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　)
(2)log2x2＝2log2x.(　　)
(3)存在这样的M，N使得log2(MN)＝log2M·log2N.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
二、填空题
1．已知log62＝p，log65＝q，则lg 5＝________(用p，q表示)．
解析：lg 5＝＝＝.
答案：
2．计算：2＋lg 8＋lg 25＋＝________.
解析：原式＝＋3(lg 2＋lg 5)＋＝5.
答案：5
3．已知4a＝2，lg x＝a，则x＝________.
解析：∵4a＝22a＝2，∴a＝.
∴lg x＝，∴x＝.
答案：
4．log225·log34·log59＝________.
解析：原式＝··＝··＝8.
答案：8


计算下列各式的值：
(1)log535＋2log－log5－log514；
(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.
解：(1)原式＝log535＋log550－log514＋2log2
＝log5＋log2＝log553－1＝2.
(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2×32)]÷log64
＝÷log622
＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62
＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.

解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.

1．计算：÷100＝________.
解析：原式＝lg×100＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
答案：－20
2．计算：lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2)2＋lg ＋lg 0.06＝________.
解析：原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2＋lg ＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2＝ 3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝1.
答案：1
3．(2019·宁波期末)已知4a＝5b＝10，则＋＝________.
解析：∵4a＝5b＝10，∴a＝log410，＝lg 4，b＝log510，＝lg 5，∴＋＝lg 4＋2lg 5＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2.
答案：2
突破点二　对数函数的图象及应用


1．对数函数的图象
函数
y＝logax，a>1
y＝logax,0log2 018＝，c＝log2 019b>c.故选A.
[答案]　A
[方法技巧]　　　对数函数值大小比较的方法
单调性法
在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底
中间量过渡法
寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”
图象法
根据图象观察得出大小关系
考法三　与对数有关的不等式问题　
[例3]　设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
[解析]　由题意得或
解得a＞1或－1＜a＜0.故选C.
[答案]　C
[方法技巧]
简单对数不等式问题的求解策略
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0－且x≠0，故选B.
2.设a＝log50.5，b＝log20.3，c＝log0.32，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．b