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    2020高考数学(文)新创新大一轮复习通用版讲义:第二章第四节 指数与指数函数

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    2020高考数学(文)新创新大一轮复习通用版讲义:第二章第四节 指数与指数函数

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    第四节 指数与指数函数
    [考纲要求]
    1.了解指数函数模型的实际背景.
    2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
    3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,3,10,,的指数函数的图象.
    4.体会指数函数是一类重要的函数模型.   
    突破点一 指数幂的运算


    1.根式
    (1)根式的概念
    若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*.式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
    (2)a的n次方根的表示
    xn=a⇒
    2.有理数指数幂
    幂的有关概念
    正分数指数幂:a=(a>0,m,n∈N*,且n>1)
    负分数指数幂:a==(a>0,m,n∈N*,且n>1)
    0的正分数指数幂等于_0_,0的负分数指数幂无意义
    有理数指数幂的性质
    aras=ar+s(a>0,r,s∈Q)
    (ar)s=ars(a>0,r,s∈Q)
    (ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q)

    一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)
    (1)=-a.(  )
    (2)(-a)=(-a)=.(  )
    (3)()n=a.(  )
    答案:(1)× (2)× (3)√
    二、填空题
    1.计算:π0+2-2×=________.
    答案:
    2.设a>0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是________.
    解析:====a2·a=a=a.
    答案:a
    3.若=,则实数a的取值范围为________.
    解析:=|2a-1|,=1-2a.
    因为|2a-1|=1-2a.
    故2a-1≤0,所以a≤.
    答案:

    指数幂的运算规律
    (1)有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算.
    (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
    (3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数.
    (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.
    [典例] (1)(a>0)的值是(  )
    A.1          B.a
    C.a D.a
    (2)0+2-2·-(0.01)0.5=________.
    [解析] (1)==a=a.故选D.
    (2)原式=1+×-=1+×-=1+-=.
    [答案] (1)D (2)
    [方法技巧]
    化简指数幂常用的技巧
    (1)-p=p(ab≠0);
    (2)a=m,a=(a)n(式子有意义);
    (3)1的代换,如1=a-1a,1=aa等;
    (4) 乘法公式的常见变形,如(a+b)(a-b)=a-b,(a±b)2=a±2ab+b,(a±b)(a∓ab+b)=a±b.  
    [针对训练]
    1.化简(a>0,b>0)的结果是(  )
    A.a B.ab
    C.a2b D.
    解析:选D 原式==a·b=.
    2.(2019·江西百校联盟联考)已知14a=7b=4c=2,则-+=________.
    解析:由题设可得2=14,2=7,2=4,
    则2==2,
    ∴2=2×4=23,
    ∴-+=3.
    答案:3
    3.若x>0,则(2x+3)(2x-3)-4x (x-x)=________.
    解析:因为x>0,所以原式=(2x)2-(3)2-4x·x+4x·x=4x-3-4x+4x=4x-33-4x+4x0=-27+4=-23.
    答案:-23
    突破点二 指数函数的图象及应用


    1.指数函数的图象
    函数
    y=ax(a>0,且a≠1)
    0 a>1
    图象


    图象特征
    在x轴上方,过定点(0,1)
    当x逐渐增大时,图象逐渐下降
    当x逐渐增大时,图象逐渐上升
    2.画指数函数图象的三个关键点
    画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),.
    3.指数函数的图象与底数大小的比较

    如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
    由此我们可得到以下规律:在y轴右(左)侧图象越高(低),其底数越大.

    一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)
    (1)y=2x-1是指数函数.(  )
    (2)y=ax+1的图象恒过定点(-1,1).(  )
    (3)要得到y=3x+2的图象只需将y=3x的图象向左平移2个单位即可.(  )
    答案:(1)× (2)√ (3)√
    二、填空题
    1.函数y=ax-3+3(a>0,且a≠1)的图象过定点________.
    解析:因为指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1),所以在函数y=ax-3+3中,令x-3=0,得x=3,此时y=1+3=4,即函数y=ax-3+3的图象过定点(3,4).
    答案:(3,4)
    2.函数y=2x+1的图象是________(填序号).


    解析:由y=2x的图象向左平移1个单位可得y=2x+1的图象.答案:①
    3.已知函数y=x的图象与指数函数y=ax的图象关于y轴对称,则实数a的值是________.
    解析:由两函数的图象关于y轴对称,可知与a互为倒数,即=1,解得a=4.
    答案:4


    考法一 与指数函数有关的图象辨析 
    [例1] (2019·河北武邑中学调研)函数y=e-|x-1|的大致图象是(  )

    [解析] 因为-|x-1|≤0,所以0 [答案] B
    考法二 指数函数图象的应用 
    一些指数方程、不等式问题,往往利用相应指数型函数的图象数形结合求解.
    [例2] (2019·西安八校联考)设函数f(x)=则满足f(x)+f(x-1)>1的x的取值范围是________.
    [解析] 画出函数f(x)的大致图象如图所示,易知函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
    又x>x-1,且x-(x-1)=1,f(0)=1,
    所以要使f(x)+f(x-1)>1成立,
    结合函数f(x)的图象知只需x-1>-1,
    解得x>0.故所求x的取值范围是(0,+∞).
    [答案] (0,+∞)

    有关指数函数图象问题的解题思路
    (1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除.
    (2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
    (3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.

    1.函数f(x)=1-e|x|的图象大致是(  )

    解析:选A 由f(x)=1-e|x|是偶函数,其图象关于y轴对称,排除B、D.又e|x|≥1,所以f(x)的值域为(-∞,0],排除C.
    2.函数y=ax-b(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则ab的取值范围为(  )
    A.(1,+∞)        B.(0,+∞)
    C.(0,1) D.无法确定
    解析:选C 因为函数y=ax-b的图象经过第二、三、四象限,所以函数y=ax-b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上.令x=0,则y=a0-b=1-b,由题意得解得故ab∈(0,1),故选C.
    3.若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是________.
    解析:曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示,由图可知:如果|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1].

    答案:[-1,1]
    突破点三 指数函数的性质及应用


    指数函数的性质
    函数
    y=ax(a>0,且a≠1)
    0 a>1
    性质
    定义域
    R
    值域
    (0,+∞)
    单调性
    在R上是减函数
    在R上是增函数
    函数值变化规律
    当x=0时,y=1

    当x<0时,y>1;
    当x>0时,0 当x<0时,0 当x>0时,y>1
    [提醒] 应用指数函数性质时应注意的两点
    (1)指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意分a>1与0 (2)对可化为a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0(≤0)的指数方程或不等式,常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的取值范围.

    一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)
    (1)指数函数y=ax(a>0,且a≠1),当x>0时,y>1.(  )
    (2)若指数函数y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值为2,则a为.(  )
    (3)若am>an(a>0,且a≠1),则m>n.(  )
    答案:(1)× (2)√ (3)×
    二、填空题
    1.函数y=1-x的单调递增区间为________.
    答案:(-∞,+∞)
    2.若-1 解析:因为-11,0.2x>1,又因为0.5x<0.2x,所以b 答案:b 3.函数y=3x2-2x的值域为________.
    解析:设u=x2-2x,则y=3u,u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,所以y=3u≥3-1=,所以函数y=3x2-2x的值域是.
    答案:


    考法一 比较指数式大小或解不等式 
    [例1] (1)已知f(x)=2x-2-x,a=,b=,c=log2,则f(a),f(b),f(c)的大小关系为(  )
    A.f(b) C.f(c) (2)设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是(  )
    A.(-∞,-3) B.(1,+∞)
    C.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
    [解析] (1)易知f(x)=2x-2-x在R上为增函数,又a==>=b>0,c=log2<0,则a>b>c,所以f(c) (2)当a<0时,不等式f(a)<1可化为a-7<1,即a<8,即a<-3,
    因为0<<1,所以a>-3,此时-3 当a≥0时,不等式f(a)<1可化为<1,
    所以0≤a<1.
    故a的取值范围是(-3,1).
    [答案] (1)B (2)C
    [方法技巧]
    有关指数不等关系的常见题型及求解思路
    (1)比较大小问题:常化为同底或同指,利用指数函数的单调性,图象或1,0等中间量进行比较.
    (2)简单的指数方程或不等式的求解问题:解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.  
    考法二 与指数函数有关的函数最值问题 
    [例2] (2019·昆明第一中学月考)已知集合A={x|(2-x)(2+x)>0},则函数f(x)=4x-2x+1-3(x∈A)的最小值为(  )
    A.4          B.2
    C.-2 D.-4
    [解析] 由题知集合A={x|-2 [答案] D
    [方法技巧]
    形如y=a2x+b·ax+c(a>0,且a≠1)型函数最值问题多用换元法,即令t=ax转化为y=t2+bt+c的最值问题,注意根据指数函数求t的范围.  
    考法三 与指数函数有关的函数单调性问题 
    [例3] (1)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(  )
    A.(-∞,2] B.[2,+∞)
    C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
    (2)若函数f(x)=ax(ax-3a2-1)(a>0,且a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是(  )
    A. B.
    C.(1, ] D.
    [解析] (1)由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=|2x-4|.
    由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,
    所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减,故选B.
    (2)令t=ax(t>0),则原函数转化为y=t2-(3a2+1)t,其图象的对称轴为直线t=.
    若a>1,则t=ax≥1,由于原函数在区间[0,+∞)上是增函数,
    则≤1,解得-≤a≤,与a>1矛盾;
    若0 则≥1,解得a≥或a≤-,所以实数a的取值范围是.故选B.
    [答案] (1)B (2)B
    [方法技巧]
    与指数函数有关的复合函数的单调性,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成,要注意数形结合思想的运用. 

    1.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则a,b,c的大小关系是(  )
    A.a>b>c B.b>a>c
    C.c>b>a D.c>a>b
    解析:选D a=0.80.7>0.80.9=b,a=0.80.7<0.80=1,∴b1.20=1,∴c>a>b.
    2.函数y=的值域是(  )
    A.[0,+∞) B.[0,4]
    C.[0,4) D.(0,4)
    解析:选C 函数y=中,因为16-2x≥0,所以2x≤16.因为2x∈(0,16],所以16-2x∈[0,16).故y=∈[0,4).故选C.
    3.函数f(x)=的单调递增区间是(  )
    A. B.
    C. D.
    解析:选D 令x-x2≥0,得0≤x≤1,所以函数f(x)的定义域为[0,1],因为y=t是减函数,所以函数f(x)的增区间就是函数y=-x2+x在[0,1]上的减区间,故选D.
    4.已知函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是___________________________________________________________.
    解析:∵|x+1|≥0,函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),∴a>1.由于函数f(x)=a|x+1|在(-1,+∞)上是增函数,且它的图象关于直线x=-1对称,则函数在(-∞,-1)上是减函数,故f(1)=f(-3),f(-4)>f(1).
    答案:f(-4)>f(1)
    [课时跟踪检测]
    [A级 基础题——基稳才能楼高]
    1.(2019·郑州一中开学考试)函数y=ln(2x-1)的定义域是(  )
    A.[0,+∞)        B.[1,+∞)
    C.(0,+∞) D.(1,+∞)
    解析:选C 由2x-1>0,得x>0,所以函数的定义域为(0,+∞).
    2.(2019·菏泽联考)函数y=2x-x2的值域为(  )
    A. B.
    C. D.(0,2]
    解析:选A 设t=2x-x2,则t≤1,所以y=t,t≤1,所以y∈,故选A.
    3.化简4a·b÷的结果为(  )
    A.- B.-
    C.- D.-6ab
    解析:选C 原式=-6ab=-6ab-1=-.
    4.(2019·贵阳监测)已知函数f(x)=4+2ax-1的图象恒过定点P,则点P的坐标是(  )
    A.(1,6) B.(1,5)
    C.(0,5) D.(5,0)
    解析:选A 由于函数y=ax的图象过定点(0,1),当x=1时,f(x)=4+2=6,故函数f(x)=4+2ax-1的图象恒过定点P(1,6).
    5.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则a,b,c的大小关系是(  )
    A.a>b>c B.a>c>b
    C.c>a>b D.b>c>a
    解析:选A 由0.2<0.6,0.4<1,并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6,即b>c;因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.综上,a>b>c.
    [B级 保分题——准做快做达标]
    1.(2019·衡水中学模拟)已知ab=-5,则a+b 的值是(  )
    A.2          B.0
    C.-2 D.±2
    解析:选B 由题意知ab<0,a +b =a +b =a +b =a+b=0.故选B.
    2.已知a=21.2,b=-0.2,c=2log52,则a,b,c的大小关系为(  )
    A.b C.c 解析:选C ∵b=-0.2=20.2<21.2=a,∴a>b>1.又∵c=2log52=log54<1,∴c 3.函数y=的值域为(  )
    A.(0,1) B.(1,+∞)
    C.(2,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)
    解析:选D 由题≠0,得y=≠1,又y>0,所以值域为(0,1)∪(1,+∞),故选D.
    4.(2019·山西省45校第一次联考)函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=(a-1)x2-2x-1在同一个坐标系内的图象可能是(  )

    解析:选C 两个函数分别为指数函数和二次函数,其中二次函数过点(0,-1),故排除A、D;二次函数的对称轴为直线x=,当01时,指数函数递增,>0,B不符合题意,选C.
    5.(2019·河南六市一模)设x>0,且1 A.0 C.1 解析:选C ∵10,∴b>1,∵bx1,∵x>0,∴>1⇒a>b,∴1 6.已知函数f(x)=则函数f(x)是(  )
    A.偶函数,在[0,+∞)单调递增
    B.偶函数,在[0,+∞)单调递减
    C.奇函数,且单调递增
    D.奇函数,且单调递减
    解析:选C 易知f(0)=0,当x>0时,f(x)=1-2-x,-f(x)=2-x-1,此时-x<0,则f(-x)=2-x-1=-f(x);当x<0时,f(x)=2x-1,-f(x)=1-2x,此时-x>0,则f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).即函数f(x)是奇函数,且单调递增,故选C.
    7.(2019·衡阳三中月考)当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是(  )
    A.(-2,1) B.(-4,3)
    C.(-3,4) D.(-1,2)
    解析:选D ∵(m2-m)·4x-2x<0在(-∞,-1]上恒成立.∴(m2-m)<在x∈(-∞,-1]上恒成立.∵y=在(-∞,-1]上单调递减,∴当x∈(-∞,-1]时,y=≥2,∴m2-m<2,∴-1 8.(2019·中山一中摸底)化简:(2·)(-6·)÷(-3·)=________.
    解析:(2·)(-6·)÷(-3·)=÷=4a·b=4a1·b0=4a.
    答案:4a
    9.(2019·烟台海阳一中期中)已知函数f(x)=2|x-2|-1在区间[0,m]上的值域为[0,3],则实数m的取值范围为________.
    解析:函数f(x)=2|x-2|-1的对称轴为直线x=2,且在(-∞,2]上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.由于函数f(x)=2|x-2|-1在区间[0,m]上的值域为[0,3]且函数关于直线x=2对称,f(0)=f(4)=3,f(2)=0,所以结合图象可知m∈[2,4].
    答案:[2,4]
    10.(2019·湖南八校联考)对于给定的函数f(x)=ax-a-x(x∈R,a>0,且a≠1),下面给出五个命题,其中真命题是________(填序号).
    ①函数f(x)的图象关于原点对称;
    ②函数f(x)在R上不具有单调性;
    ③函数f(|x|)的图象关于y轴对称;
    ④当0 ⑤当a>1时,函数f(|x|)的最大值是0.
    解析:∵f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,f(x)的图象关于原点对称,①是真命题;当a>1时,f(x)在R上为增函数,当01时,f(|x|)在(-∞,0)上为减函数,在[0,+∞)上为增函数,∴当x=0时,y=f(|x|)的最小值为0,⑤是假命题.综上,真命题是①③④.
    答案:①③④
    11.已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.
    (1)当a=1时,求函数f(x)在x∈[-3,0]上的值域;
    (2)若关于x的方程f(x)=0有解,求a的取值范围.
    解:(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1=2(2x)2-2x-1,
    令t=2x,x∈[-3,0],则t∈.
    故y=2t2-t-1=22-,t∈,
    故值域为.
    (2)设2x=m>0,关于x的方程2a(2x)2-2x-1=0有解,
    等价于方程2am2-m-1=0在(0,+∞)上有解,
    记g(m)=2am2-m-1,
    当a=0时,解为m=-1<0,不成立.
    当a<0时,开口向下,对称轴m=<0,过点(0,-1),不成立.
    当a>0时,开口向上,对称轴m=>0,过点(0,-1),必有一个根为正,综上得a>0.
    故a的取值范围为(0,+∞).
    12.(2019·上海松江期末)已知函数f(x)=a|x+b|(a>0,且a≠1,b∈R).
    (1)若f(x)为偶函数,求b的值;
    (2)若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,试求a,b应满足的条件.
    解:(1)∵f(x)为偶函数,
    ∴对任意的x∈R,都有f(-x)=f(x).
    即a|x+b|=a|-x+b|,|x+b|=|-x+b|,
    解得b=0.
    (2)记h(x)=|x+b|=
    ①当a>1时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,
    即h(x)在区间[2,+∞)上是增函数,
    ∴-b≤2,即b≥-2.
    ②当0 ∴f(x)在区间[2,+∞)上是增函数时,a,b应满足的条件为a>1且b≥-2.
    [C级 难度题——适情自主选做]
    1.(2019·绵阳第一次诊断)已知0b;②a>b;③loga>logb.则其中正确的结论个数是(  )
    A.3个 B.2个
    C.1个 D.0个
    解析:选B 对于①,函数y=x为减函数,所以a>b.又函数y=xb为增函数,所以b>b,因此a>b,故①正确;对于②,函数y=x为增函数,所以alogb.又logb>logb,因此loga>logb,故③正确.综上可得①③正确.故选B.
    2.已知函数f(x)=x-4+,x∈(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a|x+b|的图象为(  )

    解析:选A 因为x∈(0,4),所以x+1>1,
    所以f(x)=x-4+=x+1+-5≥2 -5=1,
    当且仅当x=2时取等号,此时函数有最小值1,
    所以a=2,b=1,
    此时g(x)=2|x+1|=
    此函数图象可以看作由函数y=的图象向左平移1个单位得到.
    结合指数函数的图象及选项可知A正确.故选A.
    3.已知a>0,且a≠1,若函数y=|ax-2|与y=3a的图象有两个交点,则实数a的取值范围是________.
    解析:①当0
    ②当a>1时,作出函数y=|ax-2|的图象如图(2),若直线y=3a与函数y=|ax-2|(a>1)的图象有两个交点,则由图象可知0<3a<2,此时无解.
    所以实数a的取值范围是.
    答案:


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