2020高考数学新创新大一轮复习新课改省份专用讲义：第二章第二节　第3课时　深化提能——函数性质的综合应用

第3课时　深化提能——函数性质的综合应用

函数性质的综合一直是高考命题的重点和热点，难度中等，常出现“多而小”的命题思路，即考点多，但每个难度都不大，常通过各性质的协调统一来解决问题．函数新定义下的性质问题最近几年也是高考命题的热点内容，多通过新定义的背景考查函数性质应用．

　　函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．

考法一　单调性与奇偶性相结合　

[例1]　(2019·湖南祁阳模拟)已知偶函数fx＋，当x∈时，f(x)＝x＋   sin x，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则(　　)

A．a<b<c　　　　　　　 B．b<c<a

C．c<b<a  D．c<a<b

[解析]　∵当x∈时，y＝sin x单调递增，y＝x也为增函数，∴函数f(x)＝x＋sin x也为增函数．∵函数f为偶函数，∴f＝f，f(x)的图象关于x＝对称，∴f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，∵0<π－3<1<π－2<，∴f(π－3)<f(1)<f(π－2)，即c<a<b，故选D.

[答案]　D

考法二　奇偶性与周期性相结合　

[例2]　已知函数y＝f(x)，满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(11)＝(　　)

A.  B.

C．π  D.

[解析]　由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(－x＋2)＝f(x－2)，故f(x)＝f(x＋4)，∴T＝4，则F(11)＝f(11)＋f(－11)＝2f(11)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝.故选B.

[答案]　B

考法三　单调性、奇偶性与周期性的综合　

[例3]　定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝log(1－x)，则f(x)在区间内是(　　)

A．减函数且f(x)>0  B．减函数且f(x)<0

C．增函数且f(x)>0  D．增函数且f(x)<0

[解析]　当x∈时，由f(x)＝log(1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)在区间上也单调递增，且f(x)<0.由f＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数f(x)单调递增且f(x)<0.

[答案]　D

对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．

1.下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是(　　)

A．y＝x2  B．y＝2|x|

C．y＝log2  D．y＝cos x

解析：选C　A选项，y＝x2是偶函数，在(－∞，0)上单调递减，不合题意；B选项，y＝2|x|是偶函数，在(－∞，0)上单调递减，不合题意；C选项，y＝log2是偶函数，在        (－∞，0)上单调递增，符合题意；D选项，y＝cos x是偶函数，在(－∞，0)上不具有单调性，不合题意．故选C.

2.设e是自然对数的底数，函数f(x)是周期为4的奇函数，且当0<x<2时，f(x)＝－ln x，则e的值为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选D　因为函数以4为周期，所以f＝f－4＝f＝－f＝ln，所以e＝e＝.故选D.

3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上单调递减，则f(x)在[1,3]上是(　　)

A．增函数  B．减函数

C．先增后减的函数  D．先减后增的函数

解析：选D　根据题意，∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2.又∵f(x)在定义域R上是偶函数，在[－1,0]上是减函数，∴函数f(x)在[0,1]上是增函数，∴函数f(x)在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，∴f(x)在[1,3]上是先减后增的函数，故选D.

所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现过或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．

[典例]　(2019·洛阳统考)若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美    函数”：

(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；

(2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.

①f(x)＝sin x；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x；④f(x)＝ln(＋x)．

以上四个函数中，“优美函数”的个数是(　　)

A．0　　　　　　　　　 B．1

C．2  D．3

[解析]　由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的减函数．

对于①，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；

对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；

对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”；

对于④，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.

[答案]　B

[方法技巧]

深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系是解题的关键．如果函数的某一性质(一般是等式、不等式)对某些数值恒成立，那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式，进而解决问题．　　

 [针对训练]

1．在实数集R上定义一种运算“★”，对于任意给定的a，b∈R，a★b为唯一确定的实数，且具有下列三条性质：

(1)a★b＝b★a；(2)a★0＝a；(3)(a★b)★c＝c★(ab)＋(a★c)＋(c★b)－2c.

关于函数f(x)＝x★，有如下说法：

①函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3；

②函数f(x)为偶函数；

③函数f(x)为奇函数；

④函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；

⑤函数f(x)不是周期函数．

其中正确说法的个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选C　对于新运算“★”的性质(3)，令c＝0，则(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋(0★b)＝ab＋a＋b，即a★b＝ab＋a＋b，∴f(x)＝x★＝1＋x＋.当x>0时，f(x)＝1＋x＋≥1＋2 ＝3，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，∴函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3，故①正确；函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝1＋1＋1＝3，f(－1)＝1－1－1＝－1，∴f(－1)≠－f(1)且f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)为非奇非偶函数，故②③错误；根据函数的单调性，知函数f(x)＝1＋x＋的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故④正确；由④知，函数f(x)＝1＋x＋不是周期函数，故⑤正确．综上所述，正确说法的个数为3，故选C.

2．如果定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x1≠x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)≥x1f(x2)＋x2f(x1)，则称f(x)为“H函数”，给出下列函数：

①y＝－x3＋x＋1；②y＝3x－2(sin x－cos x)；③y＝1－ex；④f(x)＝     ⑤y＝.

其中是“H函数”的是________．(写出所有满足条件的函数的序号)

解析：因为x1f(x1)＋x2f(x2)≥x1f(x2)＋x2f(x1)，所以f(x1)(x1－x2)－f(x2)(x1－x2)≥0，即[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)≥0，分析可得，若函数f(x)为“H函数”，则函数f(x)为增函数或常数函数．对于①，y＝－x3＋x＋1，则y′＝－3x2＋1，所以y＝－x3＋x＋1既不是R上的增函数也不是常函数，故其不是“H函数”；对于②，y＝3x－2(sin x－cos x)，则y′＝3－2(cos x＋sin x)＝3－2sinx＋>0，所以y＝3x－2(sin x－cos x)是R上的增函数，故其是“H函数”；对于③，y＝1－ex是R上的减函数，故其不是“H函数”；对于④，f(x)＝当x<1时，是常数函数，当x≥1时，是增函数，且当x＝1时，ln x＝0，故其是“H函数”；对于⑤，y＝，当x≠0时，y＝，不是R上的增函数也不是常数函数，故其不是“H函数”．所以满足条件的函数的序号是②④.

答案：②④