2020届高考数学一轮复习新课改省份专用学案：第七章第五节空间向量及其运算和空间位置关系

第五节　空间向量及其运算和空间位置关系突破点一　空间向量及其运算1．空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念空间向量在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量相等向量方向相同且模相等的向量共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量(2)空间向量中的有关定理共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝λb共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c2.两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．空间向量的运算及其坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　　)(2)|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件．(　　)(3)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　)(4)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　)(5)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　　)(6)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)×二、填空题1．如图，已知空间四边形ABCD，则＋＋等于________．答案：2．已知i，j，k为标准正交基底，a＝i＋2j＋3k，则a在i方向上的投影为________．答案：13．若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线，则p＝________，q＝________.答案：3　24．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________.答案：7 考法一　空间向量的线性运算　[例1]　已知四边形ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O.Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值：(1)＝＋x＋y；(2)＝x＋y＋.[解]　(1)如图，∵＝－＝－(＋)＝－－，∴x＝y＝－.(2)∵＋＝2，∴＝2－.又∵＋＝2，∴＝2－.从而有＝2－(2－)＝2－2＋.∴x＝2，y＝－2.[方法技巧]用已知向量表示某一向量的3个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．　　考法二　共线、共面向量定理的应用　[例2]　已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.[证明]　(1)如图，连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理知：E，F，G，H四点共面．(2)因为＝－＝－＝(－)＝，因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.[方法技巧]1．证明空间三点P，A，B共线的方法(1)＝λ(λ∈R)；(2)对空间任一点O，＝＋t (t∈R)；(3)对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法(1)＝x＋y；(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)；(4) ∥ (或∥或∥)．　　考法三　空间向量数量积的应用　[例3]　如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点．若正方体的棱长为1.求cos〈，〉．[解]　∵||＝＝＝＝||，∴·＝||||cos〈，〉＝cos〈，〉．又∵＝＋，＝＋，∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝||||＝1×＝.∴cos〈，〉＝.[方法技巧]　　空间向量数量积的3个应用求夹角设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角求长度运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题  1.已知三棱锥O­ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于(　　)A.(b＋c－a)　　　　　 B.(a＋b＋c)C.(a－b＋c)   D.(c－a－b)解析：选D　＝＋＋＝＋＋＝(－)＋＋＝－－＋＝(c－a－b)．2.O为空间任意一点，若＝＋＋， 则A，B，C，P四点(　　)A．一定不共面   B．一定共面C．不一定共面   D．无法判断解析：选B　因为＝＋＋，且＋＋＝1.所以P，A，B，C 四点共面．3.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且  ∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为________．解析：设＝a，＝b，＝c，由已知条件，得〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴⊥，∴cos〈，〉＝0.答案：0突破点二　利用空间向量证明平行与垂直1．两个重要向量直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量 2．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则线线平行l∥m⇔a＝kb(k∈R)线面平行l∥α⇔a⊥n1⇔a·n1＝0面面平行α∥β⇔n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R)线线垂直l⊥m⇔a·b＝0线面垂直l⊥α⇔a∥n1⇔a＝kn1(k∈R)面面垂直α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．(　　)(2)已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是n0=±.(　　)(3)两条不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行．(　　)(4)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β.(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×二、填空题1．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.答案：－14　62．若平面α的一个法向量为n1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为n2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.答案：－33．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－3,0，－6)，则l与α的位置关系是________．答案：l⊥α 考法一　向量法证明平行与垂直关系　[例1]　如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.(1)证明：PA∥平面EDB；(2)证明：PB⊥平面EFD.证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设DC＝a.(1)连接AC交BD于G，连接EG.依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E.∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心．故点G的坐标为，且＝(a,0，－a)，＝，∴＝2，∴PA∥EG.又∵EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB.(2)依题意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)，＝，故·＝0＋－＝0，∴PB⊥DE，又∵EF⊥PB，且EF∩DE＝E，∴PB⊥平面EFD.[方法技巧]1．利用空间向量证明平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题2.利用空间向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示[提醒]　运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外．[针对训练]已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.证明：建立空间直角坐标系如图，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则即得令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n，又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(2)∵＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量，由得得令z2＝2，得y2＝－1，所以n2 ＝(0，－1,2)，因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.考法二　向量法解决垂直、平行关系中的探索性问题[例2]　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．[解]　依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则A1(0,0,1)，B(1,0,0)，B1(1,0,1)，E，＝(－1,0,1)，＝.设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由得所以x＝z，y＝z.取z＝2，得n＝(2,1,2)．设棱C1D1上存在点F(t,1,1)(0≤t≤1)满足条件，又因为B1(1,0,1)，所以＝(t－1,1,0)．而B1F⊄平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE⇔·n＝0⇔(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t－1)＋1＝0⇔t＝⇔F为C1D1的中点．这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.[方法技巧]向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路(1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示．(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．　　 [针对训练]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，则在线段CC1上是否存在一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE？证明你的结论．解：存在点P，当点P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.证明如下：如图，以D点为原点，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，P(0,1，a)(0≤a≤1)，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，E，C1(0,1,1)，∴＝(0,1,0)，＝(－1,1，a－1)，＝，＝(0,1,1)．设平面A1B1P的一个法向量n1＝(x1，y1，z1)，则∴令z1＝1，则x1＝a－1，∴n1＝(a－1,0,1)．设平面C1DE的一个法向量n2＝(x2，y2，z2)，则∴令y2＝1，得x2＝－2，z2＝－1，∴n2＝(－2,1，－1)．若平面A1B1P⊥平面C1DE，则n1·n2＝0，∴－2(a－1)－1＝0，解得a＝.∴当P为C1C的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.