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    2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案:第2章第11节 导数与函数的单调性
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    2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案:第2章第11节 导数与函数的单调性

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    第十一节 导数与函数的单调性
    [考纲传真] 了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).


    函数的导数与单调性的关系
    函数y=f(x)在某个区间内可导,则
    (1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增;
    (2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内单调递减;
    (3)若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是常数函数.

    1.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.
    2.可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是:对∀x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0),且f′(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒为零.
    [基础自测]
    1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么在区间(a,b)上一定有f′(x)>0. ( )
    (2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)=0,则函数f(x)在此区间上没有单调性. ( )
    (3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件. ( )
    (4)若函数f(x)在区间(a,b)上满足f′(x)≤0,则函数f(x)在区间(a,b)上是减函数. ( )
    [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
    2.f(x)=x3-6x2的单调递减区间为( )
    A.(0,4) B.(0,2)
    C.(4,+∞) D.(-∞,0)
    A [f′(x)=3x2-12x=3x(x-4),由f′(x)<0,得0 ∴递减区间为(0,4).]
    3.(教材改编)如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象,则下列判断中正确的是( )

    A.函数f(x)在区间(-3,0)上是减函数
    B.函数f(x)在区间(1,3)上是减函数
    C.函数f(x)在区间(0,2)上是减函数
    D.函数f(x)在区间(3,4)上是增函数
    A [当x∈(-3,0)时,f′(x)<0,则f(x)在(-3,0)上是减函数.其他判断均不正确.]
    4.(教材改编)函数f(x)=cos x-x在(0,π)上的单调性是( )
    A.先增后减 B.先减后增
    C.增函数 D.减函数
    D [f′(x)=-sin x-1,又x∈(0,π),所以f′(x)<0,因此f(x)在(0,π)上是减函数,故选D.]
    5.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是________.
    (-∞,3] [f′(x)=3x2-a,由题意知f′(x)≥0,即a≤3x2对x∈[1,+∞)恒成立.
    又当x∈[1,+∞)时,3x2≥3,所以a≤3.]



    不含参数的函数的单调性
    1.函数y=x2-ln x的单调递减区间为( )
    A.(-1,1) B.(0,1)
    C.(1,+∞) D.(0,+∞)
    B [函数y=x2-ln x的定义域为(0,+∞),
    y′=x-==,
    令y′<0,得0<x<1,
    所以单调递减区间为(0,1),故选B.]
    2.已知函数f(x)=xln x,则f(x)( )
    A.在(0,+∞)上递增 B.在(0,+∞)上递减
    C.在上递增 D.在上递减
    D [因为函数f(x)=xln x,定义域为(0,+∞),
    所以f′(x)=ln x+1(x>0),
    当f′(x)>0时,解得x>,
    即函数的单调递增区间为;
    当f′(x)<0时,解得0<x<,
    即函数的单调递减区间为,故选D.]
    3.已知定义在区间(-π,π)上的函数f(x)=xsin x+cos x,则f(x)的单调递增区间是________.
    和 [f′(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,
    令f′(x)=xcos x>0,
    则其在区间(-π,π)上的解集为
    和,
    即f(x)的单调递增区间为
    和.]
    [规律方法] 求函数单调区间的步骤
    (1)确定函数f(x)的定义域;
    (2)求f′(x)
    ,(3)在定义域内解不等式f′(x)>0,得单调递增区间;
    (4)在定义域内解不等式f′(x)<0,得单调递减区间.
    易错警示:(1)求函数的单调区间时,一定要先确定函数的定义域,否则极易出错.
    (2)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如函数f(x)=x3,f′(x)=3x2≥0(x=0时,f′(x)=0),但f(x)=x3在R上是增函数.


    含参数的函数的单调性
    【例1】 讨论函数f(x)=(a-1)ln x+ax2+1的单调性.
    [解] f(x)的定义域为(0,+∞),
    f′(x)=+2ax=.
    ①当a≥1时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;
    ②当a≤0时,f′(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减;
    ③当0<a<1时,令f′(x)=0,解得x=,则当x∈时,f′(x)<0;当x∈时,f′(x)>0,故f(x)在上单调递减,在上单调递增.
    [规律方法] 解决含参数的函数单调性问题应注意两点
    (1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
    (2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.
    (1)已知函数f(x)=x3+x2+ax+1(a∈R),求函数f(x)的单调区间.
    [解] f′(x)=x2+2x+a开口向上,Δ=4-4a=4(1-a).
    ①当1-a≤0,即a≥1时,f′(x)≥0恒成立,
    f(x)在R上单调递增.
    ②当1-a>0,即a<1时,令f′(x)=0,
    解得x1=-1-,x2=-1+,令f′(x)>0,解得x<-1-或x>-1+;
    令f′(x)<0,解得-1-<x<-1+,
    所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞);
    f(x)的单调递减区间为(-1-,-1+).
    综上所述:当a≥1时,f(x)在R上单调递增;
    当a<1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞),
    f(x)的单调递减区间为(-1-,-1+).
    (2)已知函数f(x)=ex(ax2-2x+2)(a>0).求f(x)的单调区间.
    [解] 由题意得
    f′(x)=ex[ax2+(2a-2)x](a>0),
    令f′(x)=0,解得x1=0,x2=.
    ①当0<a<1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和,单调递减区间为;
    ②当a=1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增;
    ③当a>1时,f(x)的单调递增区间为和(0,+∞),单调递减区间为.

    函数单调性的应用
    ►考法1 比较大小
    【例2】 (2019·莆田模拟)设函数f′(x)是定义在(0,2π)上的函数f(x)的导函数,f(x)=f(2π-x),当0<x<π时,若f(x)sin x-f′(x)cos x<0,a=f,b=0,c=-f,则( )
    A.a<b<c B.b<c<a
    C.c<b<a D.c<a<b
    A [由f(x)=f(2π-x),得函数f(x)的图象关于直线x=π对称,令g(x)=f(x)cos x,则g′(x)=f′(x)cos x-f(x)·sin x>0,
    所以当0<x<π时,g(x)在(0,π)内递增,
    所以g<g<g=g,即a<b<c,故选A.]
    ►考法2 根据函数的单调性求参数
    【例3】 (1)(2017·江苏高考)已知函数f(x)=x3-2x+ex-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是________.
     [因为f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x-
    =-x3+2x-ex+=-f(x),
    所以f(x)=x3-2x+ex-是奇函数.
    因为f(a-1)+f(2a2)≤0,
    所以f(2a2)≤-f(a-1),即f(2a2)≤f(1-a).
    因为f′(x)=3x2-2+ex+e-x≥3x2-2+2=3x2≥0,
    所以f(x)在R上单调递增,
    所以2a2≤1-a,即2a2+a-1≤0,
    所以-1≤a≤.]
    (2)已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x(a≠0).
    ①若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
    ②若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围.
    [解] (1)h(x)=ln x-ax2-2x,x∈(0,+∞),所以h′(x)=-ax-2,由于h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,
    所以当x∈(0,+∞)时,-ax-2<0有解,
    即a>-有解.
    设G(x)=-,所以只要a>G(x)min即可.
    而G(x)=-1,
    所以G(x)min=-1,所以a>-1,
    即a的取值范围为(-1,+∞).
    (2)由h(x)在[1,4]上单调递减得,
    当x∈[1,4]时,h′(x)=-ax-2≤0恒成立,
    即a≥-恒成立.
    所以a≥G(x)max,而G(x)=-1,
    因为x∈[1,4],所以∈,
    所以G(x)max=-(此时x=4),
    所以a≥-,即a的取值范围是.
    [规律方法] 根据函数单调性求参数的一般思路
    (1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
    (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上,f′(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.,(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.
    (1)已知函数y=f(x)对任意的x∈满足f′(x)cos x+f(x)sin x>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是( )
    A.f<f
    B.f<f
    C.f(0)>2f
    D.f(0)>f
    (2)已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在[-1,1]上是减函数,则a的取值范围是( )
    A. B.
    C. D.
    (1)A (2)C [(1)令g(x)=,则g′(x)=>0,
    即g(x)在区间上是增函数,则有g<g,即<,
    即2f<f.
    即f<f,故选A.
    (2)f′(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=[x2+(2-2a)x-2a]ex,由题意知当x∈[-1,1]时,f′(x)≤0恒成立,即x2+(2-2a)x-2a≤0恒成立.
    令g(x)=x2+(2-2a)x-2a,则有

    解得a≥,故选C.]


    1.(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是( )
    A.[-1,1] B.
    C. D.
    C [取a=-1,则f(x)=x-sin 2x-sin x,f′(x)=1-cos 2x-cos x,但f′(0)=1--1=-<0,不具备在(-∞,+∞)单调递增的条件,故排除A,B,D.故选C.]
    2.(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)=aex-ln x-1.
    设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间.
    [解] f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=aex-.
    由题设知,f′(2)=0,所以a=.
    从而f(x)=ex-ln x-1,f′(x)=ex-.
    当0 当x>2时,f′(x)>0.
    所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.
    3.(2017·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.讨论f(x)的单调性.
    [解] 函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),
    f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).
    ①若a=0,则f(x)=e2x在(-∞,+∞)上单调递增.
    ②若a>0,则由f′(x)=0得x=ln a.
    当x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0;
    当x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0.
    故f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,
    在(ln a,+∞)上单调递增.
    ③若a<0,则由f′(x)=0得x=ln.
    当x∈时,f′(x)<0;
    当x∈时,f′(x)>0.
    故f(x)在上单调递减,
    在上单调递增.
    综上所述,若a=0时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
    若a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
    若a<0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增.
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