2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第3章第5节　三角恒等变换

第五节　三角恒等变换[考纲传真]　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)． 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；(3)tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan 2α＝.1．公式T(α±β)的变形：(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；(2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．公式C2α的变形：(1)sin2α＝(1－cos 2α)；(2)cos2α＝(1＋cos 2α)．3．公式逆用：(1)sin＝cos；(2)sin＝cos；(3)sin＝cos.4．辅助角公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(其中tan α＝)，特别的sin α±cos α＝sin；sin α±cos α＝2sin；sin α±cos α＝2sin.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (    )(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B的大小关系不确定． (    )(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．                            (    )(4)函数y＝3sin x＋4cos x的最大值为7. (    )[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(    )A．－       B.   　C．－   　D.D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D.]3．(教材改编)已知cos α＝－，α是第三象限角，则cos的值为(    )A.          B．－   C.   D．－A　[由cos α＝－，α是第三象限角知sin α＝－，则cos＝coscos α－sinsin α＝×－×＝.故选A.]4．已知sin(α－π)＝，则cos 2α＝________.　[由sin(α－π)＝，得sin α＝－，则cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.]5．(教材改编)－＝________.　[－＝＝＝tan 30°＝. ] 三角函数式的化简1．已知sin＝cos，则tan α＝(    )A．－1        B．0      C.      D．1A　[因为sin＝cos，所以cos α－sin α＝cos α－sin α.所以cos α＝sin α.所以tan α＝＝－1，故选A.]2．计算的值为(    )A．－         B.   C.   D．－B　[＝＝＝＝.]3．已知θ∈，且sin θ－cos θ＝－，则＝(    )A.           B.   C.   D.D　[由sin θ－cos θ＝－得sin＝，因为θ∈，所以0＜－θ＜，所以cos＝.＝＝＝＝2cos＝.]4．已知0＜θ＜π，则＝________.－cos θ　[原式＝＝＝.因为0＜θ＜π，所以0＜＜，所以cos ＞0.所以原式＝－cos θ.][规律方法]1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次． 三角函数式的求值►考法1　给值求值【例1】　(1)(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝(    )A.           B.   C．－   D．－(2)(2019·太原模拟)已知角α是锐角，若sin＝，则cos等于(    )A.   B.C.   D.(3)若α，β是锐角，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则tan(α－β)＝________.(1)B　(2)A　(3)－　[(1)cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选B.(2)由0＜α＜得－＜α－＜又sin＝，∴cos＝＝＝∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，故选A.(3)因为sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝，即2－2cos(α－β)＝，所以cos(α－β)＝，因为α、β是锐角，且sin α－sin β＝－＜0，所以0＜α＜β＜.所以－＜α－β＜0.所以sin(α－β)＝－＝－.所以tan(α－β)＝＝－.]►考法2　给角求值【例2】　(1)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝________.(2)sin 50°(1＋tan 10°)＝________.(1)　(2)1　[(1)由tan(20°＋40°)＝＝得tan 20°＋tan 40°＝(1－tan 20°tan 40°)∴原式＝(1－tan 20°tan 40°)＋tan 20°tan 40°＝.(2)sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°＝sin 50°×＝sin 50°×＝＝＝＝1.]►考法3　给值求角【例3】　(1)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(    )A.   B.C.或   D.或(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．(1)A　(2)－　[(1)∵α∈，∴2α∈.又sin 2α＝＞0，∴2α∈，∴cos 2α＝－且α∈.又β∈，∴β－α∈.∵sin(β－α)＝＞0，∴cos(β－α)＝－且β－α∈，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－×－×＝.∵2α∈，β－α∈，∴α＋β∈，∴α＋β＝，故选A.(2)因为tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝＞0，所以0＜α＜，又因为tan 2α＝＝＝＞0，所以0＜2α＜，所以tan(2α－β)＝＝＝1.因为tan β＝－＜0，所以＜β＜π，－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－.][规律方法]　三角函数求值的三种情况1“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解.2“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.3“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角. (1)若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，则cos＝(    )A.          B．－   　C.   　D．－(2)＝________.(3)(2019·长春模拟)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β值是________．(1)A　(2)　(3)　[(1)由0＜α＜得＜＋α＜，又cos＝，∴sin＝，由－＜β＜0得＜－＜.又cos＝，∴sin＝.∴cos＝cos＝cos＋αcos－＋sinsin＝×＋×＝.(2)原式＝＝＝.(3)∵α，β均为锐角，∴－＜α－β＜.又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.又sin α＝，∴cos α＝，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.∴β＝.]三角恒等变换的综合应用【例4】　(2019·合肥模拟)已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．[解]　(1)由已知得f(x)＝－＝－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)由(1)知f(x)＝sin.∵－≤x≤，∴－≤2x－≤，∴当2x－＝－，即x＝－时，f(x)有最小值，且f＝－，当2x－＝，即x＝时，f(x)有最大值，且f＝.所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.[规律方法]　三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用,解决此类问题可先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y＝Asinωx＋φ＋t或余弦型函数y＝Acosωx＋φ＋t的形式，再利用三角函数的图象与性质求解. (2019·温州模拟)已知函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若－＜α＜0，f(α)＝，求sin 2α的值．[解]　(1)∵函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋＝sin＋，∴函数f(x)的最小正周期为＝π.(2)若－＜α＜0，则2α＋∈，∴f(α)＝sin＋＝，∴sin＝，∴2α＋∈，∴cos＝＝，∴sin 2α＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝. 1．(2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sinx＋＋cos的最大值为(    )A.          B．1   　C.   　D.A　[法一：∵f(x)＝sin＋cos＝＋cos x＋sin x＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x＝sin x＋cos x＝sin，∴当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值.故选A.法二：∵＋＝，∴f(x)＝sin＋cos＝sin＋cos＝sin＋sin＝sin≤.∴f(x)max＝，故选A.]2．(2016·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin 2α＝(    )A.   B.C．－   D．－D　[因为cos＝，所以sin 2α＝cos＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.]3．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(    )A.   B.C.   D．1B　[由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos α＝，sin α＝±，得|tan α|＝.由题意知|tan α|＝，所以|a－b|＝.]4．(2018·全国卷Ⅱ)已知tanα－＝，则tan α＝________.　[法一：因为tan α－＝，所以＝，即＝，解得tan α＝.法二：因为tanα－＝，所以tan α＝tanα－＋＝＝＝.]5．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为________．　[f(x)＝2cos x＋sin x＝，设sin α＝，cos α＝，则f(x)＝sin(x＋α)，∴函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为.]自我感悟：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________