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    2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案:第8章第7节 抛物线

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    2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案:第8章第7节 抛物线

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    第七节 抛物线
    [考纲传真] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.

    1.抛物线的概念
    平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
    2.抛物线的标准方程与几何性质
    标准方程
    y2=2px
    (p>0)
    y2=-2px
    (p>0)
    x2=2py
    (p>0)
    x2=-2py
    (p>0)
    p的几何意义:焦点F到准线l的距离
    图形




    顶点坐标
    O(0,0)
    对称轴
    x轴
    y轴
    焦点坐标
    F
    F
    F
    F
    离心率
    e=1
    准线方程
    x=-
    x=
    y=-
    y=
    范围
    x≥0,y∈R
    x≤0,y∈R
    y≥0,x∈R
    y≤0,x∈R
    开口方向
    向右
    向左
    向上
    向下

    与抛物线有关的结论
    (1)抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F的距离|PF|=x0+,也称为抛物线的焦半径.
    (2)y2=ax(a≠0)的焦点坐标为,准线方程为x=-.
    (3)设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,
    若A(x1,y1),B(x2,y2),则①x1x2=,y1y2=-p2.
    ②弦长|AB|=x1+x2+p=(α为弦AB的倾斜角).
    ③以弦AB为直径的圆与准线相切.
    ④通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦.
    [基础自测]
    1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. ( )
    (2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是,准线方程是x=-. ( )
    (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形. ( )
    (4)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切. ( )
    [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
    2.抛物线y=x2的准线方程是( )
    A.y=-1 B.y=-2
    C.x=-1 D.x=-2
    A [∵y=x2,∴x2=4y,∴准线方程为y=-1.]
    3.(教材改编)若抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( )
    A.  B.  C.  D.0
    B [M到准线的距离等于M到焦点的距离,又准线方程为y=-,设M(x,y),则y+=1,∴y=.]
    4.(教材改编)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于( )
    A.9 B.8 C.7 D.6
    B [抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.]
    5.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(-2,-4),则该抛物线的标准方程为________.
    y2=-8x或x2=-y [设抛物线方程为y2=2px(p≠0)或x2=2py(p≠0).将P(-2,-4)代入,分别得方程为y2=-8x或x2=-y.]


    抛物线的定义与应用
    【例1】 设P是抛物线y2=4x上的一个动点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为________.
    4 [如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|.则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.]

    [拓展探究] (1)若将本例中的B点坐标改为(3,4),试求|PB|+|PF|的最小值.
    (2)若将本例中的条件改为:已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+5=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,求d1+d2的最小值.
    [解](1)由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部.
    ∵|PB|+|PF|的最小值即为B,F两点间的距离,F(1,0),
    ∴|PB|+|PF|≥|BF|==2,
    即|PB|+|PF|的最小值为2.
    (2)由题意知,抛物线的焦点为F(1,0).
    点P到y轴的距离d1=|PF|-1,
    所以d1+d2=d2+|PF|-1.
    易知d2+|PF|的最小值为点F到直线l的距离,
    故d2+|PF|的最小值为=3,
    所以d1+d2的最小值为3-1.
    [规律方法] 与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.
    (1)已知P是抛物线y2=4x上的一个动点,Q是圆(x-3)2+(y-1)2=1上的一个动点,N(1,0)是一个定点,则|PQ|+|PN|的最小值为( )
    A.3 B.4 C.5 D.+1
    (2)动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为________.
    (1)A (2)y2=4x [(1)由抛物线方程y2=4x,可得抛物线的焦点F(1,0),又N(1,0),所以N与F重合.过圆(x-3)2+(y-1)2=1的圆心M作抛物线准线的垂线MH,交圆于Q,交抛物线于P,则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|-1=3.

    (2)设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x.]

    抛物线的标准方程与几何性质
    【例2】 (1)点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是( )
    A.x2=y B.x2=y或x2=-y
    C.x2=-y D.x2=12y或x2=-36y
    (2)(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )
    A.2 B.4 C.6 D.8
    (3)如图所示,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )

    A.y2=x B.y2=9x
    C.y2=x D.y2=3x
    (1)D (2)B (3)D [(1)将y=ax2化为x2=y.当a>0时,准线y=-,则3+=6,∴a=.当a0,即m>-1时,x1,2=2±2.
    从而|AB|=|x1-x2|=4.
    由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.
    所以直线AB的方程为y=x+7.
    ►考法2 与抛物线弦长或中点有关的问题
    【例4】 已知抛物线C:x2=2py(p>0),过焦点F的直线交C于A,B两点,D是抛物线的准线l与y轴的交点.
    (1)若AB∥l,且△ABD的面积为1,求抛物线的方程;
    (2)设M为AB的中点,过M作l的垂线,垂足为N.证明:直线AN与抛物线相切.
    [解] (1)∵AB∥l,∴|FD|=p,|AB|=2p.
    ∴S△ABD=p2,∴p=1,故抛物线C的方程为x2=2y.
    (2)设直线AB的方程为y=kx+,
    由得x2-2kpx-p2=0,∴x1+x2=2kp,x1x2=-p2.
    其中A,B.∴M,N.
    ∴kAN=====.
    又x2=2py,∴y′=.∴抛物线x2=2py在点A处的切线斜率k=.
    ∴直线AN与抛物线相切.
    [规律方法] 解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法
    (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.
    (2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=|x1|+|x2|+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
    (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.
    已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C与直线l1:y=-x的一个交点的横坐标为8.
    (1)求抛物线C的方程;
    (2)不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线交于不同的两点A,B,若线段AB的中点为P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面积.
    [解] (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8,-8),
    ∴(-8)2=2p×8,
    ∴2p=8,
    ∴抛物线方程为y2=8x.
    (2)直线l2与l1垂直,故可设直线l2:x=y+m,A(x1,y1),B(x2,y2),且直线l2与x轴的交点为M.
    由得y2-8y-8m=0,Δ=64+32m>0,∴m>-2.
    y1+y2=8,y1y2=-8m,∴x1x2==m2.
    由题意可知OA⊥OB,即x1x2+y1y2=m2-8m=0,
    ∴m=8或m=0(舍),∴直线l2:x=y+8,M(8,0).
    故S△FAB=S△FMB+S△FMA=·|FM|·|y1-y2|
    =3=24.

    1.(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·=( )
    A.5 B.6 C.7 D.8
    D [法一:过点(-2,0)且斜率为的直线的方程为y=(x+2),由得x2-5x+4=0,解得x=1或x=4,所以或不妨设M(1,2),N(4,4),易知F(1,0),所以=(0,2),=(3,4),所以·=8.故选D.
    法二:过点(-2,0)且斜率为的直线的方程为y=(x+2),由得x2-5x+4=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1>0,y2>0,根据根与系数的关系,得x1+x2=5,x1x2=4.易知F(1,0),所以=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),所以·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=4-5+1+8=8.故选D.]
    2.(2016·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( )
    A. B.1 C. D.2
    D [∵y2=4x,∴F(1,0).
    又∵曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,∴P(1,2).
    将点P(1,2)的坐标代入y=(k>0)得k=2.故选D.]
    3.(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=________.
    2 [法一:由题意知抛物线的焦点为(1,0),则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y=k(x-1)(k≠0),由消去y得k2(x-1)2=4x,即k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1.由消去x得y2=4,即y2-y-4=0,则y1+y2=,y1y2=-4.由∠AMB=90°,得·=(x1+1,y1-1)·(x2+1,y2-1)=x1x2+x1+x2+1+y1y2-(y1+y2)+1=0,将x1+x2=,x1x2=1与y1+y2=,y1y2=-4代入,得k=2.
    法二:设抛物线的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),则
    所以y-y=4(x1-x2),则k==.取AB的中点M′(x0,y0),分别过点A,B作准线x=-1的垂线,垂足分别为A′,B′,又∠AMB=90°,点M在准线x=-1上,所以|MM′|=|AB|=(|AF|+|BF|)=(|AA′|+|BB′|).又M′为AB的中点,所以MM′平行于x轴,且y0=1,所以y1+y2=2,所以k=2.]
    4.(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=________.
    6 [如图,不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线交x轴于点A,过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,∴PM∥OF.

    由题意知,F(2,0),|FO|=|AO|=2.
    ∵点M为FN的中点,PM∥OF,
    ∴|MP|=|FO|=1.
    又|BP|=|AO|=2,
    ∴|MB|=|MP|+|BP|=3.
    由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.]
    自我感悟:______________________________________________________
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