2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：第2章第7节　函数的图像


第七节　函数的图像
[考纲传真]　会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．

1．利用描点法画函数图像的流程

2．利用图像变换法作函数的图像
(1)平移变换


(2)伸缩变换
①y＝f(x)的图像
y＝f(ax)的图像；
②y＝f(x)的图像
y＝af(x)的图像．
(3)对称变换
①y＝f(x)的图像y＝－f(x)的图像；
②y＝f(x)的图像y＝f(－x)的图像；
③y＝f(x)的图像y＝－f(－x)的图像；
④y＝ax(a＞0，且a≠1)的图像y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像．
(4)翻转变换
①y＝f(x)的图像y＝|f(x)|的图像；
②y＝f(x)的图像y＝f(|x|)的图像．

1．一个函数图像的对称关系
(1)函数f(x)满足关系f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)的图像关于直线x＝对称；特别地，当f(a＋x)＝f(a－x)时，函数f(x)的图像关于直线x＝a对称．
(2)函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则f(x)的图像关于点对称．
2．两个函数图像的对称关系
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图像关于直线x＝a对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图像关于点(a，b)中心对称．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(1－x)的图像，可由y＝f(－x)的图像向左平移1个单位得到． (　　)
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于原点对称． (　　)
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图像与y＝|f(x)|的图像相同． (　　)
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝1对称． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．(教材改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图像表示，则如图所示的四个函数图像中，甲、乙的图像应该是(　　)

①　　　　　②　　　　　③　　　　　④
A．甲是图①，乙是图②　　 B．甲是图①，乙是图④
C．甲是图③，乙是图② D．甲是图③，乙是图④
B　[设甲骑车速度为V甲骑，甲跑步速度为V甲跑，乙骑车速度为V乙骑，乙跑步速度为V乙跑，依题意V甲骑＞V乙骑＞V乙跑＞V甲跑，故选B．]
3．已知a＞0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图像可能是(　　)

A　　　　B　　　　　C　　　　　D
B　[y＝loga(－x)与y＝logax的图像关于y轴对称，故选B．]
4．函数y＝log(1－x)的大致图像是(　　)

A　　　　B　　　　　C　　　　　　D
D　[把函数y＝logx的图像对称到y轴左侧得到y＝log (－x)的图像，再把所得图像向右平移1个单位，得到y＝log (1－x)的图像，故选D.]
5．函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
D　[依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x向左平移1个单位的结果，
∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.]



作函数的图像

【例1】　作出下列函数的图像：
(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.
[解]　(1)先作出y＝的图像，保留y＝图像中x≥0的部分，再作出y＝的图像中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图像，如图①实线部分．

①　　　　　②
(2)将函数y＝log2x的图像向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图像，如图②.
(3)∵y＝＝2＋，故函数图像可由y＝图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.

③　　　　　　④
(4)∵y＝且函数为偶函数，先作出[0，＋∞)上的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，得图像如图④.
[规律方法]　函数图像的三种画法
(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图像的关键点直接作出．
(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图像．
(3)图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图像变换作出．
易错警示：(1)画函数的图像一定要注意定义域．
(2)利用图像变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．


识图与辨图


【例2】　(1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图像大致为(　　)

(2)如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图像大致为(　　)

　　 　 A　　　　B　　　　　C　　　　D
(1)B　(2)D　[(1)因为f(－x)＝＝－＝－f(x)(x≠0)，所以f(x)是定义域上的奇函数，所以函数f(x)的图像关于原点(0,0)中心对称，排除选项A；因为f(1)＝e－>2，所以排除选项C，D，选B．
(2)如图所示，点P的轨迹是分别以A，B，C，D为圆心，半径为的4个圆，以及线段EF，GH，RQ，SJ部分．

则G围成的面积为矩形的面积减去4个圆的面积，即
y＝x(4－x)－π×＝4x－x2－＝－(x－2)2＋4－(1≤x≤3)，且当x＝2时，y＝4－∈(3,4)，故选D.]
[规律方法]　识别函数图像的方法技巧
(1)由解析式确定函数图像
①从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置．
②从函数的单调性，判断图像的变化趋势．
③从函数的奇偶性，判断图像的对称性．
④从函数的周期性，判断图像的循环往复．
⑤从函数的特殊点，排除不合要求的图像．
⑥从函数的极值点判断函数图像的拐点．
(2)由实际情景探究函数图像
关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．
(1)(2019·武汉模拟)函数f(x)＝的大致图像是(　　)

(2)如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图像大致是(　　)

　 　A　　 　B　　 　C　　　　D
(1)C　(2)C　[(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，排除A．
又f(－1)＝＝＞0，排除B．
当x→＋∞时，f(x)→0，故选C．
(2)当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图像呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C．]


函数图像的应用

►考法1　研究函数的性质
【例3】　已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)

C　[将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，得f(x)＝画出函数f(x)的图像，如图，观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上是减少的．]
►考法2　求不等式解集
【例4】　函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上递增，f(3)＝0，若x·[f(x)－f(－x)]＜0，则x的取值范围为________．
(－3,0)∪(0,3)　[函数f(x)的图像大致如图所示．

因为f(x)为奇函数，且x·[f(x)－f(－x)]＜0，
所以2x·f(x)＜0.
由图可知，不等式的解集为(－3,0)∪(0,3)．]
[规律方法]　1.利用函数图像研究性质的方法
(1)根据已知或作出的函数图像，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．
(2)从图像的对称性，分析函数的奇偶性．
(3)从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
(4)从图像与x轴的交点情况，分析函数的零点等．
2．利用函数的图像研究不等式思路
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
3．利用函数图像研究方程根的策略
构造函数，转化为两熟悉函数图像的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图像，数形结合求解．
(1)如图，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)

A．{x|－1＜x≤0}　　　 B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}
(2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
(1)C　(2)[－1，＋∞)　[(1)作出函数y＝log2(x＋1)的图像，如图所示：

其中函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图像的交点为D(1,1)，由图像可知f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}，故选C．
(2)如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，∴a≥－1.
]


函数图像对称性的应用


【例5】　(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A．－50 B．0
C．2 D．50

(2)(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图像与函数y＝ln x的图像关于直线x＝1对称的是(　　)
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
(1)C　(2)B　[(1)由f(x)是奇函数知f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)，则f(x＋2)＝－f(x)．从而f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以当x＝1时，f(2)＝f(0)＝0；当x＝2时，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2；当x＝3时，f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.综上，可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故选C．
(2)设所求函数图像上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图像上，所以y＝ln(2－x)．故选B．]
[规律方法]　函数图像对称性的常见结论
(1)关于点(a,0)对称
①若两个函数f(x)与g(x)的图像关于(a,0)对称，则有f(x)＝－g(2a－x)．
②函数y＝f(x)的图像关于(a,0)对称，则有f(x)＝－f(2a－x)．
(2)关于直线x＝a对称
①函数f(x)的图像关于直线x＝a对称，则有f(a＋x)＝f(a－x)或f(2a－x)＝f(x)
②若两个函数f(x)与g(x)的图像关于直线x＝a对称，则有g(x)＝f(2a－x)
③偶函数f(x)的图像关于直线x＝a对称，则函数f(x)是周期为2a的周期函数
④奇函数g(x)的图像关于直线x＝a对称，则函数g(x)是周期为4a的周期函数．
(1)直线y＝k(x＋3)＋5(k≠0)与曲线y＝的两个交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＋y1＋y2等于(　　)
A．2　　 B．4　　　　C．6　　 D．8
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)．则f(2 019)＝(　　)
A．－3 B．0
C．1 D．3
(1)B　(2)B　[(1)因为y＝＝＋5，其图像关于点(－3,5)对称．又直线y＝k(x＋3)＋5过点(－3,5)，如图所示．所以A，B关于点(－3,5)对称，所以x1＋x2＝2×(－3)＝－6，y1＋y2＝2×5＝10.所以x1＋x2＋y1＋y2＝4.

(2)由题意知f(3－x)＝f(x)＝－f(－x)，则f(x＋3)＝－f(x)，从而f(x＋6)＝f(x)．即函数f(x)是周期为6的周期函数，所以f(2 019)＝f(3)＝f(0)＝0，故选B．]


1．(2017·全国卷Ⅰ)函数y＝的部分图像大致为(　　)

C　[令f(x)＝，
∵f(1)＝＞0，f(π)＝＝0，
∴排除选项A，D.
由1－cos x≠0得x≠2kπ(k∈Z)，
故函数f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，其图像关于原点对称，∴排除选项B．
故选C．]
2．(2017·全国卷Ⅲ)函数y＝1＋x＋的部分图像大致为(　　)

D　[当x→＋∞时，→0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋→＋∞，故排除选项B．
当0＜x＜时，y＝1＋x＋＞0，故排除选项A，C．
故选D.]

3．(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图像大致为(　　)

D　[∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，∴其图像关于y轴对称．又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B．设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C．故选D.]
4．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图像的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝(　　)
A．0　　 B．m　　　　C．2m　　 D．4m
B　[∵f(x)＝f(2－x)，∴函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．
又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图像关于直线x＝1对称，∴两函数图像的交点关于直线x＝1对称．
当m为偶数时，i＝2×＝m；
当m为奇数时，i＝2×＋1＝m.故选B．]