2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：第2章第11节　导数与函数的单调性


第十一节　导数与函数的单调性
[考纲传真]　了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．

函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若f ′(x)＞0，则f(x)在这个区间上是增加的；
(2)若f ′(x)＜0，则f(x)在这个区间上是减少的；
(3)若f ′(x)＝0，则f(x)在这个区间上是常数函数．

1．在某区间内f ′(x)>0(f ′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)，且f ′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数f(x)在区间(a，b)上递增，那么在区间(a，b)上一定有f ′(x)>0． (　　)
(2)如果函数在某个区间内恒有f ′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性． (　　)
(3)f ′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件． (　　)
(4)若函数f(x)在区间(a，b)上满足f ′(x)≤0，则函数f(x)在区间(a，b)上是减函数． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为(　　)
A．(0,4)　　　　　 B．(0,2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，0)
A　[f ′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f ′(x)<0，得0 ∴递减区间为(0,4)．]
3．(教材改编)如图所示是函数f(x)的导函数f ′(x)的图像，则下列判断中正确的是(　　)

A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数
B．函数f(x)在区间(1,3)上是减函数
C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数
D．函数f(x)在区间(3,4)上是增函数
A　[当x∈(－3,0)时，f ′(x)＜0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．]
4．(教材改编)函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　)
A．先增后减 B．先减后增
C．增函数 D．减函数
D　[f ′(x)＝－sin x－1，又x∈(0，π)，所以f ′(x)＜0，因此f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.]
5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
(－∞，3]　[f ′(x)＝3x2－a，由题意知f ′(x)≥0，即a≤3x2对x∈[1，＋∞)恒成立．
又当x∈[1，＋∞)时，3x2≥3，所以a≤3.]



不含参数的函数的单调性

1．函数y＝x2－ln x的递减区间为(　　)
A．(－1,1)　　　　 B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
B　[函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，
y′＝x－＝＝，
令y′＜0，得0＜x＜1，
所以递减区间为(0,1)，故选B．]
2．已知函数f(x)＝xln x，则f(x)(　　)
A．在(0，＋∞)上递增 B．在(0，＋∞)上递减
C．在上递增 D．在上递减
D　[因为函数f(x)＝xln x，定义域为(0，＋∞)，
所以f ′(x)＝ln x＋1(x＞0)，
当f ′(x)＞0时，解得x＞，
即函数的递增区间为；
当f ′(x)＜0时，解得0＜x＜，
即函数的递减区间为，故选D.]
3．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的递增区间是________．
和　[f ′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，
令f ′(x)＝xcos x＞0，
则其在区间(－π，π)上的解集为和，
即f(x)的递增区间为和.]
[规律方法]　求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f ′(x)；
(3)在定义域内解不等式f ′(x)＞0，得递增区间；
(4)在定义域内解不等式f ′(x)＜0，得递减区间．
易错警示：(1)求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错．
(2)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数f(x)＝x3，f ′(x)＝3x2≥0(x＝0时，f ′(x)＝0)，但f(x)＝x3在R上是增函数．


含参数的函数的单调性

【例1】　讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性．
[解]　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝＋2ax＝.
①当a≥1时，f ′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上递增；
②当a≤0时，f ′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上递减；
③当0＜a＜1时，令f ′(x)＝0，解得x＝，则当x∈时，f ′(x)＜0；当x∈时，f ′(x)＞0，故f(x)在上递减，在上递增．
[规律方法]　解决含参数的函数单调性问题应注意两点
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
(1)已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．
[解]　f ′(x)＝x2＋2x＋a开口向上，Δ＝4－4a＝4(1－a)．
①当1－a≤0，即a≥1时，f ′(x)≥0恒成立，
f(x)在R上递增．
②当1－a＞0，即a＜1时，令f ′(x)＝0，
解得x1＝－1－，x2＝－1＋，令f ′(x)＞0，解得x＜－1－或x＞－1＋；
令f ′(x)＜0，解得－1－＜x＜－1＋，
所以f(x)的递增区间为(－∞，－1－)和(－1＋，＋∞)；
f(x)的递减区间为(－1－，－1＋)．
综上所述：当a≥1时，f(x)在R上递增；
当a＜1时，f(x)的递增区间为(－∞，－1－)和(－1＋，＋∞)，
f(x)的递减区间为(－1－，－1＋)．
(2)已知函数f(x)＝ex(ax2－2x＋2)(a＞0)．求f(x)的区间．
[解]　由题意得
f ′(x)＝ex[ax2＋(2a－2)x](a＞0)，
令f ′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
①当0＜a＜1时，f(x)的递增区间为(－∞，0)和，递减区间为；
②当a＝1时，f(x)在(－∞，＋∞)内递增；
③当a＞1时，f(x)的递增区间为和(0，＋∞)，递减区间为.


函数单调性的应用

►考法1　比较大小
【例2】　(2019·莆田模拟)设函数f ′(x)是定义在(0,2π)上的函数f(x)的导函数，f(x)＝f(2π－x)，当0＜x＜π时，若f(x)sin x－f ′(x)cos x＜0，a＝f ，b＝0，c＝－f ，则(　　)
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．c＜b＜a D．c＜a＜b
A　[由f(x)＝f(2π－x)，得函数f(x)的图像关于直线x＝π对称，令g(x)＝f(x)cos x，则g′(x)＝f ′(x)cos x－f(x)·sin x＞0，
所以当0＜x＜π时，g(x)在(0，π)内递增，
所以g＜g＜g＝g，即a＜b＜c，故选A．]
►考法2　根据函数的单调性求参数
【例3】　(1)(2017·江苏高考)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
　[因为f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－
＝－x3＋2x－ex＋＝－f(x)，
所以f(x)＝x3－2x＋ex－是奇函数．
因为f(a－1)＋f(2a2)≤0，
所以f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(1－a)．
因为f ′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2＝3x2≥0，
所以f(x)在R上递增，
所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，
所以－1≤a≤.]
(2)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．
①若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
②若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上递减，求a的取值范围．
[解]　①h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在递减区间，
所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2＜0有解，
即a＞－有解．
设G(x)＝－，所以只要a＞G(x)min即可．
而G(x)＝－1，
所以G(x)min＝－1，所以a＞－1，即a的取值范围为(－1，＋∞)．
②由h(x)在[1,4]上递减得，
当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立．
所以a≥G(x)max，而G(x)＝－1，
因为x∈[1,4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－，即a的取值范围是.
[规律方法]　根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f ′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．
(1)已知函数y＝f(x)对任意的x∈满足f ′(x)cos x＋f(x)sin x＞0(其中f ′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　)
A．f ＜f B．f ＜f
C．f(0)＞2f D．f(0)＞f
(2)已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是减函数，则a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
(1)A　(2)C　[(1)令g(x)＝，则g′(x)＝＞0，
即g(x)在区间上是增函数，则有g＜g，即＜，
即2f ＜f .
即f ＜f ，故选A．
(2)f ′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由题意知当x∈[－1,1]时，f ′(x)≤0恒成立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立．
令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，
则有
即
解得a≥，故选C．]

1．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上递增，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,1]　 B．
C． D．
C　[取a＝－1，则f(x)＝x－sin 2x－sin x，f ′(x)＝1－cos 2x－cos x，但f ′(0)＝1－－1＝－＜0，不具备在(－∞，＋∞)递增的条件，故排除A，B，D.故选C．]
2．(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝aex－ln x－1.
设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间．
[解]　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝aex－.
由题设知，f ′(2)＝0，所以a＝.
从而f(x)＝ex－ln x－1，f ′(x)＝ex－.
当0 当x>2时，f ′(x)>0.
所以f(x)在(0,2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的．
3．(2017·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.讨论f(x)的单调性．
[解]　函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f ′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．
①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上递增．
②若a＞0，则由f ′(x)＝0得x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f ′(x)＜0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f ′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，ln a)上递减，
在(ln a，＋∞)上递增．
③若a<0，则由f ′(x)＝0得x＝ln.
当x∈时，f ′(x)＜0；
当x∈时，f ′(x)＞0.
故f(x)在上递减，
在上递增．
综上所述，若a＝0时，f(x)在(－∞，＋∞)上递增．
若a＞0时，f(x)在(－∞，ln a)上递减，在(ln a，＋∞)上递增．
若a＜0时，f(x)在上递减，在上递增．