2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：第3章第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式[考纲传真]　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tan α＝.2．诱导公式组序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos_α余弦cos α－cos αcos α－cos_αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan_αcot α－cot α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变符号看象限同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.(2)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)．(3)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)．(4)sin α＝tan αcos α.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　)(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α等于(　　)A．－　  B．－　　　C．　　　D．B　[∵sin α＝，α是第二象限角，∴cos α＝－＝－.]3．sin 750°＝________.　[sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝.]4．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝________.－　[因为sin＝cos α＝，α∈，所以sin α＝＝，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－.]5．(教材改编)已知tan α＝2，则的值为________．　[＝＝＝.] 同角三角函数关系的应用 1．若α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为(　　)A．　 B．C．－ D．－C　[由tan α＝－，得sin α＝－cos α，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cos α＜0，∴cos α＝－，sin α＝，故sin α＋cos α＝－.]2．(2019·合肥模拟)已知tan α＝－，则sin α(sin α－cos α)＝(　　)A．　　　B．　　　C．　　　D．A　[sin α(sin α－cos α)＝sin2α－sin αcos α＝＝，将tan α＝－代入，得原式＝＝，故选A．]3．已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为(　　)A．－ B．  C．－ D．B　[∵＜α＜，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α，∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，∴cos α－sin α＝，故选B．]4．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为(　　)A．   B．－  C．   D．－B　[因为(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，则(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin θ·cos θ＝1－2sin θcos θ＝.又因为θ∈，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－，故选B．][规律方法]　同角三角函数关系式及变形公式的应用方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 诱导公式的应用 【例1】　(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________.(2)已知cos＝a，则cos＋sin＝________.(3)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．(1)　(2)0　(3){2，－2}　[(1)原式＝－sin 1 200°cos 1290°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)＝－sin 120°cos 210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)＝sin 60°cos 30°＝×＝.(2)cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin＝cos＝a∴cos＋sin＝－a＋a＝0.(3)当k为偶数时，A＝＋＝2；k为奇数时，A＝－＝－2，因此A的值构成的集合为{2，－2} .][规律方法]　1.诱导公式用法的一般思路(1)化负为正，化大为小，化到锐角为止．(2)角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．2．常见的互余和互补的角(1)常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．(2)常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．3．三角函数式化简的方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简． (1)已知α∈，且cos α＝－，则＝(　　)A． B．－C． D．－(2)已知sin＝，则cos＝________.(1)C　(2)　[(1)＝＝＝，又α∈，cos α＝－，则sin α＝，从而＝＝，故选C．(2)因为＋＝.所以cos＝cos＝sin＝.] 同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用【例2】　(1)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.(2)已知cos＝2sin，则的值为________．(1)－　(2)　[(1)由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos＞0，所以cos＝＝.sin＝sin＝cos＝，cos＝cos＝sin＝.∴tan＝－tan＝－.(2)∵cos＝2sin，∴－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝.＝＝＝cos2α－＝.][规律方法]　化简三角函数式的基本思路和要求(1)基本思路①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结构要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． (1)(2019·唐山模拟)已知sin＝，那么tan α的值为(　　)A．－   B．－  C．±   D．±(2)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝________.(1)C　(2)　[sin＝sin＝cos α＝，则sin α＝±，所以tan α＝＝±，故选C．(2)因为f(α)＝＝＝＝，所以f＝＝＝＝.]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)A．－　  B．－　　　C．　　　D．A　[∵sin α－cos α＝，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝，∴sin 2α＝－.故选A．]2．(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ＝－，则cos 2θ＝(　　)A．－   B．－    C．    D．D　[∵cos 2θ＝＝又∵tan θ＝－，∴cos 2θ＝＝.]3．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)A．   B．  C．1   D．A　[因为tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.故选A．]