2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：第3章第4节 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及三角函数模型的简单应用
展开第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用
[考纲传真] 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
1．函数y＝Asin (ωx＋φ)中各量的物理意义
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动 | ||||
振幅 | 周期 | 频率 | 相位 | 初相 |
A | T＝ | f ＝＝ | ωx＋φ | φ |
2.五点法作图
ωx＋φ | 0 | π | 2π | ||
x | － | ||||
y＝Asin(ωx＋φ) | 0 | A | 0 | －A | 0 |
3.三角函数图像变换的两种方法(ω＞0)
先平移后伸缩 先伸缩后平移
⇓ ⇓
1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换中，应向左平移个单位长度，而非φ个单位长度．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin的图像是由y＝sin的图像向右平移个单位长度得到的． ( )
(2)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致． ( )
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为． ( )
(4)把y＝sin x的图像上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图像对应的函数解析式为y＝sinx． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．(教材改编)y＝2sin，x∈[0，＋∞)的振幅、频率和初相分别为( )
A．2，，－ B．2，，－
C．2，，－ D．2，，－
A [振幅为2，频率为＝，初相为－，故选A．]
3．为了得到函数y＝2sin的图像，可以将函数y＝2sin 2x的图像( )
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
A [y＝2sin＝2sin，故选A．]
4．函数y＝sin在区间上的简图是( )
A [当x＝－时，y＝sin＝－sinπ＋＝sin＝＞0，排除B、D．
当x＝时，y＝sin＝sin 0＝0，故排除C，故选A．]
5．用五点法作函数y＝sin在一个周期内的图像时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.
；；；； [令x－分别等于0，，π，，2π可得x的值分别为，，，，，则需确定的五个点为，，，，.]
五点法作图及图像变换 |
【例1】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
D [因为y＝sin＝cos＝cos，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos，故选D．]
(2)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的最小正周期为π.
①求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像；
②函数y＝f(x)的图像可由函数y＝sin x的图像经过怎样的变换得到？
[解] ①由题意知f(x)＝sin，因为T＝π，所以＝π，即ω＝2，
故f(x)＝sin.
列表如下：
2x＋ | π | 2π | ||||
x | 0 | π | ||||
f(x) | 1 | 0 | －1 | 0 |
y＝f(x)在[0，π]上的图像如图所示．
②将y＝sin x的图像上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图像，再将y＝sinx＋的图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数f(x)＝sin(x∈R)的图像．
[规律方法] 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像的两种作法
(1)变换法作图像的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω确定平移单位．
(2)用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，描点得出图像．如果在限定的区间内作图像，还应注意端点的确定．
(1)把函数y＝sin x的图像上所有点的横坐标都缩小为原来的，纵坐标保持不变，再把图像向右平移个单位长度，则所得图像的解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
(2)(2019·宝鸡模拟)为了得到函数y＝sin的图像，只需把函数y＝cos的图像( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
(1)A (2)A [(1)把函数y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到y＝sin 2x的图像，再把y＝sin 2x的图像向右平移个单位长度，得到y＝sin，即y＝sin的图像，故选A．
(2)y＝cos＝sin＝sin2x－，故要得到函数y＝sin的图像，只需要平移－＝个单位长度，又＞0，所以应向左平移，故选A．]
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 |
【例2】 (1)(2019·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝( )
A． B． C． D．1
(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，x∈R，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________.
(1)C (2)2sin＋1 [(1)由题图知，＝，即T＝π，则ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，因为点在函数f(x)的图像上，所以sin＝0，即＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin，因为x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，所以＝，所以x1＋x2＝，所以f(x1＋x2)＝sin＝.
(2)由题图可知，函数的最大值为A＋B＝3，最小值为－A＋B＝－1，解得A＝2，B＝1.函数的最小正周期为T＝2×＝π，
由＝π，解得ω＝2.
由f ＝2sin＋1＝－1，
得sin＝－1，故φ－＝2kπ－(k∈Z)，
解得φ＝2kπ－(k∈Z)，
又因为|φ|＜π，所以φ＝－.
所以f(x)＝2sin＋1.]
[规律方法] 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，
则A＝，b＝.
(2)求ω：确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.
(3)求φ：常用的方法有：
①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图像与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”(即图像的“峰点)时ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z；
“最小值点”(即图像的“谷点”)时ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图像如图所示，f ＝－，则f ＝( )
A．－ B．－
C． D．
(2)(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f ＝2，f ＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
(1)A (2)A [(1)由题图知＝－＝，
所以T＝，即ω＝3，
当x＝时，y＝0，
即3×＋φ＝2kπ－，k∈Z，
所以φ＝2kπ－，k∈Z，
即k＝1时，φ＝－，
所以f(x)＝Acos.
即Acos＝－，得A＝，
所以f(x)＝cos，
故f ＝cos＝－.
(2)∵f ＝2，f ＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
∴f(x)的最小正周期为4＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.
∴2sin＝2，
得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.
故选A．]
三角函数模型的简单应用 |
【例3】 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
[解] (1)因为f(t)＝10－2
＝10－2sin，
又0≤t＜24，
所以≤t＋＜，－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)＞11时实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin＞11，
即sin＜－.
又0≤t＜24，因此＜t＋＜，即10＜t＜18.
故在10时至18时实验室需要降温．
[规律方法] 解决三角函数实际应用题的三个注意点：
(1)准确理解题意，将实际问题数学化．
(2)“ωx＋φ”整体处理．
(3)活用函数图像性质，数形结合．
(1)(2019·黄山模拟)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
(2)据市场调查，某种商品一年内每年出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA＞0，ω＞0，|φ|＜的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为________元．
(1)C (2)6 000 [(1)根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.
(2)作出函数简图如图：
三角函数模型为：y＝Asin(ωx＋φ)＋B，
由题意知：A＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，
∴ω＝＝.
将点(3,9 000)代入y＝2000sin＋7000得cos φ＝1，
∴φ＝2kπ，k∈Z，又|φ|＜，则φ＝0.
故f(x)＝2 000sinx＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．
∴f(7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000.
故7月份的出厂价格为6 000元．]
1．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin2x＋的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
D [函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图像向右平移个周期即个单位长度，所得图像对应的函数为y＝2sin2x－＋＝2sin，故选D．]
2．(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
A [由图像知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图像的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.故选A．]
3．(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的递减区间为( )
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
D [由图像知，周期T＝2＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，得2k－<x<2k＋，k∈Z，
∴f(x)的递减区间为，k∈Z.故选D．]
4．(2016·全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－cos x的图像可由函数y＝2sin x的图像至少向右平移________个单位长度得到．
[∵y＝sin x－cos x＝2sin，∴函数y＝sin x－cos x的图像可由函数y＝2sin x的图像向右平移个单位长度得到．]
