2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：第5章第2节　等差数列及其前n项和


第二节　等差数列及其前n项和
[考纲传真]　1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．


1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}和{a2n＋1}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(7)等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝n2＋n.

1．等差数列前n项和的最值
在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，即所有正项之和最大，若a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，即所有负项之和最小．
2．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则有＝.
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列也是等差数列．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2． (　　)
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的． (　　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数． (　　)
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2．(教材改编)等差数列11,8,5，…，中－49是它的第几项(　　)
A．第19项　　　 B．第20项
C．第21项 D．第22项
C　[由题意知an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14，令－3n＋14＝－49得n＝21，故选C．]
3．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于(　　)
A．－1　　 B．0 C．1　　　　D．6
B　[a2，a4，a6成等差数列，则a6＝0，故选B．]
4．小于20的所有正奇数的和为________．
100　[小于20的正奇数组成首项为1，末项为19的等差数列，共有10项，因此它们的和S10＝＝100.]
5．(教材改编)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.
－1　[由S2＝S6得a3＋a4＋a5＋a6＝0，即a4＋a5＝0，又a4＝1，则a5＝－1.]



等差数列基本量的运算

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a18＝54，S19＝437，则a2 018的值是(　　)
A．4 039　 B．4 038　　　C．2 019　　　D．2 038
A　[设等差数列{an}的公差为d，由题意可知
解得
所以a2 018＝5＋2017×2＝4 039，故选A．]
2．(2019·武汉模拟)已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于(　　)
A．－1 B．－2 C．－3 D．－4
C　[由题意知
解得故选C．]
3．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女子最后一天织布的尺数为(　　)
A．18 B．20 C．21 D．25
C　[用an表示第n天织布的尺数，由题意知，
数列{an}是首项为5，项数为30的等差数列．
所以＝390，
即＝390，解得a30＝21，故选C．]
4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________.
－72　[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由已知，得
解得
∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.]
[规律方法]　等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．


等差数列的判定与证明

【例1】　已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
[解]　(1)证明：因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝(n∈N*)，
所以bn＋1－bn＝－
＝－
＝－＝1.
又b1＝＝－.
所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)知bn＝n－，
则an＝1＋＝1＋.
设f(x)＝1＋，
则f(x)在区间和上为减函数．
所以当n＝3时，an取得最小值－1，
当n＝4时，an取得最大值3.
[拓展探究]　本例中，若将条件变为a1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式．
[解]　由已知可得
＝＋1，
即－＝1，又a1＝，
∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，
∴＝＋(n－1)·1＝n－，
∴an＝n2－n.
[规律方法]　等差数列的四个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．
(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．
(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．
(2019·贵州模拟)已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．
[解]　(1)由已知，得a2－2a1＝4，
则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.
由2a3－3a2＝12，
得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，得
＝2，即－＝2，
所以数列是首项为＝1，公差d＝2的等差数列．
则＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.


等差数列性质的应用


►考法1　等差数列项的性质的应用
【例2】　(1)(2019·长沙模拟)数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，则a3＋a4＋a5等于(　　)
A．9　　 B．10　　　　C．11　　　　D．12
(2)(2019·银川模拟)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　　)
A．8 B．12 C．6 D．4
(1)D　(2)A　[(1)数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，则数列{an}是等差数列，利用等差数列的性质可知，a3＋a4＋a5＝a2＋a4＋a6＝12.
(2)由a3＋a6＋a10＋a13＝32得4a8＝32，即a8＝8.
又d≠0，所以等差数列{an}是单调数列，由am＝8，知m＝8，故选A．]
►考法2　等差数列前n项和的性质
【例3】　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A．63 B．45 C．36 D．27
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 014，－＝6，则S2 019＝________.
(1)B　(2)8 076　[(1)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．
即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，即a7＋a8＋a9＝45，故选B．
(2)由等差数列的性质可得也为等差数列．
设其公差为d，则－＝6d＝6，∴d＝1.
故＝＋2 018d＝－2 014＋2 018＝4，
∴S2 019＝8 076.]
[规律方法]　应用等差数列的性质应注意两点
(1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m、n、p、q、k∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ak是常用的性质．
(2)掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．
(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.
(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝10，S2m－1＝110，则m＝________.
(3)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则＝________.
(1)60　(2)6　(3)　[(1)由题意知，S10，S20－S10，S30－S20成等差数列．
则2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
即40＝10＋(S30－30)，解得S30＝60.
(2)S2m－1＝＝＝110，解得m＝6.
(3)＝＝＝
＝＝＝.]


等差数列的前n项和及其最值

【例4】　(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
C　[(1)法一：由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7＞0，a8＜0，故n＝7时，Sn最大．
法二：由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大．
法三：根据a1＝13，S3＝S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图像的对称性，可得只有当n＝＝7时，Sn取得最大值．]
(2)已知等差数列{an}的前三项和为－3，前三项的积为8.
①求等差数列{an}的通项公式；
②若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和Tn.
[解]　①设等差数列{an}的公差为d，
则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.
由题意得
解得或
所以由等差数列通项公式可得，an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.
故an＝－3n＋5或an＝3n－7.
②当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；
当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．
故|an|＝|3n－7|＝
记数列{3n－7}的前n项和为Sn，
则Sn＝＝n2－n.
当n≤2时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－n2＋n，
当n≥3时，Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋an)＝Sn－2S2＝n2－n＋10，
综上知：Tn＝
[规律方法]　求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
(1)在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是(　　)
A．21 B．20 C．19 D．18
(2)设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
(1)B　(2)130　[(1)因为a1＋a3＋a5＝3a3＝105，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，所以a3＝35，a4＝33，所以d＝－2，a1＝39.由an＝a1＋(n－1)d＝39－2(n－1)＝41－2n≥0，解得n≤，所以当n＝20时Sn达到最大值，故选B．
(2)由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，所以n≤5时，an≤0，当n＞5时，an＞0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＋(a6＋…＋a15)＝S15－2S5＝130.]


1．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A．1　　 B．2　　　　C．4　　　　D．8
C　[设{an}的公差为d，则由
得解得d＝4.
故选C．]
2．(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　)
A． B． C．10 D．12
B　[∵公差为1，
∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.
∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，
∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.故选B．]
3．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)
A．5 B．7 C．9 D．11
A　[a1＋a3＋a5＝3a3＝3⇒a3＝1，S5＝＝5a3＝5.]

4．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
[解]　(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.