2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第四章第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tan α＝.2．诱导公式组序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos_α余弦cos α－cos αcos α－cos_αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan_α  口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限 [小题体验]1．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝______.答案：－2．若sin θcos θ＝，则tan θ＋的值为________．答案：21．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．[小题纠偏]1．(2019·盐城期中)已知tan(π－α)＝，α是第四象限角，则sin α＝________.解析：因为tan(π－α)＝，所以tan α＝－，因为sin2 α＋cos2α＝1，α是第四象限角，所以sin α＝－.答案：－2．化简：＝________.解析：原式＝＝|sin 2－cos 2|，因为sin 2＞0，cos 2＜0，所以原式＝sin 2－cos 2.答案：sin 2－cos 2 　[题组练透]1．(2019·启东调研)sin·cos·tan的值是________．解析：原式＝sin·cos·tan＝－sin··＝－××(－)＝－.答案：－2．(2018·镇江中学测试)求值：sin ＋cos＝________.解析：sin ＋cos＝sin＋cos＝sin＋cos ＝sin ＋  cos ＝.答案：3．已知tan＝，则tan＝________.解析：tan＝tan＝tan＝－tan＝－.答案：－4．(易错题)设f(α)＝，则f＝________.解析：因为f(α)＝＝＝＝，所以f＝＝＝＝.答案：[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．　[典例引领]1．(2019·昆山一模)已知α∈，tan α＝3，则sin2α＋2sin αcos α＝________.解析：∵α∈，tan α＝3，∴sin2α＋2sin αcos α＝＝＝＝.答案：2．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两个根，则m＝________.解析：由题意得sin θ＋cos θ＝－，sin θ·cos θ＝，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ，所以＝1＋，解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，解得m≤0或m≥4，所以m＝1－.答案：1－[由题悟法]同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ表达式中需要利用“1”转化和积转换利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ [即时应用]1．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α＝________.解析：法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝＝ ＝，所以tan α＝＝＝－.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－，所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tan α＝＝－.答案：－2．(2019·苏州调研)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ的值为________．解析：∵sin θ＋cos θ＝，   ①两边平方，得1＋2sin θcos θ＝，∴2sin θcos θ＝－，又θ∈(0，π)，∴sin θ＞0，cos θ＜0，∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，∴sin θ－cos θ＝，    ②由①②得sin θ＝，cos θ＝－.∴tan θ＝－.答案：－　 [锁定考向]同角三角函数关系与诱导公式一般不单独考查，常相结合命题，主要考查三角函数值的计算．常见的命题角度有：(1)由同角关系求值；(2)由角的三角函数值求值；(3)由角的关系式求值．[题点全练]角度一：由同角关系求值1．(2018·玄武高中检测)已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则＝________.解析：由已知得sin α＝－.因为α是第三象限角，所以cos α＝－＝－.所以原式＝＝＝.答案：角度二：由角的三角函数值求值2．(2018·启东调研)如图，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴的正半轴的交点，A点的坐标为，∠AOB＝90°.(1)求cos∠COA；(2)求tan∠COB.解：(1)因为A点的坐标为，根据三角函数的定义可得cos∠COA＝.(2)因为∠AOB＝90°，sin∠COA＝，所以cos∠COB＝cos(∠COA＋90°)＝－sin∠COA＝－.又点B在第二象限，所以sin∠COB＝＝，故tan∠COB＝＝－.角度三：由角的关系式求值3．(2019·滨海模拟)已知角θ的终边与单位圆x2＋y2＝1在第四象限交于点P，且点P的坐标为.(1)求tan θ的值；(2)求的值．解：(1)由θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P，得2＋y2＝1，y＜0，解得y＝－.∴tan θ＝＝－.(2)∵tan θ＝－，∴＝＝＝＝2－.[通法在握]求值问题的一般解题步骤(1)将已知条件或所求式子利用诱导公式进行化简；(2)从已知条件中结合三角函数关系得出需要的结论；(3)代入化简后的所求式子，得出最后的结论．[演练冲关](2019·镇江中学测试)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，.求下列各式的值：(1)sin α－cos α；(2)sin2－cos2.解：(1)由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，得sin α＋cos α＝.①将①式两边平方，得1＋2sin αcos α＝.所以2sin αcos α＝－.又＜α＜π，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin α－cos α＞0，所以(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝＋＝，所以sin α－cos α＝.(2)sin2－cos2＝cos2α－sin2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝×＝.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若α∈，sin α＝－，则cos(－α)＝________.解析：因为α∈，sin α＝－，所以cos α＝，即cos(－α)＝.答案：2．(2019·镇江调研)已知α是第二象限角，cos＝，则tan α＝________.解析：∵α是第二象限角，cos＝sin α＝，∴cos α＝－＝－，则tan α＝＝－.答案：－3．(2018·江苏百校联盟)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos＝________.解析：由题意可得tan α＝2，所以cos＝－sin 2α＝＝＝－.答案：－4．(2018·扬州期末)若点P(3cos θ，sin θ)在直线l：x＋y＝0上，则tan θ＝________.解析：∵点P(3cos θ，sin θ)在直线l：x＋y＝0上，即3cos θ＋sin θ＝0，∴sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝＝－3.答案：－35．如果sin(π＋A)＝，那么cos的值是________．解析：因为sin(π＋A)＝，所以－sin A＝.所以cos＝－sin A＝.答案：6．若sin θ＋cos θ＝，则tan θ＋＝________.解析：由sin θ＋cos θ＝，得1＋2sin θcos θ＝，即sin θcos θ＝－，则tan θ＋＝＋＝＝－.答案：－二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·启东中学高三检测)已知α∈，tan(α－π)＝－，则sin α＋cos α的值是________．解析：已知tan(α－π)＝tan α＝－，又α∈，所以sin α＝，cos α＝－，所以sin α＋cos α＝－.答案：－2．已知sin＝，则cos＝________.解析：因为cos＝sin＝sin＝－sin＝－.答案：－3．(2018·如东中学调研)若f(x)＝sin＋1，且f(2 018)＝2，则f(2 019)＝________.解析：因为f(2 018)＝sin＋1＝sin(1 009π＋α)＋1＝－sin α＋1＝2，所以  sin α＝－1，cos α＝0.所以f(2 019)＝sin＋1＝sin＋1＝－cos α＋1＝1.答案：14．(2019·苏州调研)当θ为第二象限角，且sin＝时，＝________.解析：因为sin＝，所以cos＝，所以在第一象限，且cos ＜sin，所以＝＝－1.答案：－15．计算：＝________.解析：原式＝＝＝＝.答案：6．已知sin(3π－α)＝－2sin，则sin αcos α＝______.解析：因为sin(3π－α)＝－2sin，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，所以sin αcos α＝＝＝＝－.答案：－7．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α ＝________.解析：原式＝cos α＋sin α ＝cos α·＋sin α·，因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以原式＝＋＝－1＋1＝0.答案：08．(2019·淮安调研)若tan α＋＝，α∈，则的值为________．解析：∵tan α＋＝，α∈，∴tan α＝2或tan α＝(舍去)，∴＝＝＝＝.答案：9．(2019·如东模拟)(1)化简：；(2)已知cos＝a，求cos＋sin的值．解：(1)原式＝ ＝1.(2)∵cos＝a，∴cos＋sin＝－cos＋sin＝－a＋cos＝－a＋a＝0.10．已知－＜α＜0，且函数f(α)＝cos－sin α·－1.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝，求sin αcos α和sin α－cos α的值．解：(1)f(α)＝sin α－sin α·－1＝sin α＋sin α·－1＝sin α＋cos α.(2)法一：由f(α)＝sin α＋cos α＝，平方可得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，即2sin αcos α＝－.所以sin αcos α＝－.因为2＝1－2sin αcos α＝，又－＜α＜0，所以sin α＜0，cos α＞0，所以sin α－cos α＜0，所以sin α－cos α＝－.法二：联立方程解得或因为－＜α＜0，所以所以sin αcos α＝－，sin α－cos α＝－.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·淮安高三期中)已知sin α＝cos ，0＜α＜π，则α的取值集合为________．解析：由sin α＝cos，得cos＝cos ，因为0＜α＜π，所以－＜－α＜，所以－α＝±，所以α＝或，所以α的取值集合为.答案：2．(2019·通州模拟)如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ－cos2θ的值是________．解析：由图可知，每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cos θ－sin θ，∵小正方形的面积是，∴(cos θ－sin θ)2＝，又θ为直角三角形中较小的锐角，∴cos θ＞sin θ，∴cos θ－sin θ＝.又(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝，∴2sin θcos θ＝.∴(cos θ＋sin θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，∴cos θ＋sin θ＝.∴sin2θ－cos2θ＝(sin θ－cos θ)(cos θ＋sin θ)＝－×＝－.答案：－3．已知f(x)＝(n∈Z)．(1)化简f(x)的表达式；(2)求f＋f的值．解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，f(x)＝＝＝＝sin2x；当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，f(x)＝＝＝＝＝sin2x，综上得f(x)＝sin2x.(2)由(1)得f＋f＝sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝sin2＋cos2＝1.