2020版新设计一轮复习数学（文）江苏专版讲义：第二章第四节函数的图象

第四节函数的图象


1．描点法作图
其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)．
(2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)．
(3)描点，连线．
2．图象变换
(1)平移变换
①y＝f(x)的图象y＝f(x－a)的图象；
②y＝f(x)的图象y＝f(x)＋b的图象．
(2)对称变换
①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象
y＝logax(a＞0且a≠1)的图象．
(3)伸缩变换
①y＝f(x)的图象

②y＝f(x)的图象
y＝af(x)的图象．
(4)翻转变换
①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．
[小题体验]
1．f(x)的图象如图所示，则f(x)＝________.

答案：f(x)＝
2．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝________.
解析：与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，所以f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
答案：e－x－1
3．(2018·扬州期末)若函数y＝f(x)的图象经过点(1,2)，则函数y＝f(－x)＋1的图象必经过的点的坐标是________．
解析：把函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，再向上平移1个单位，可得函数y＝f(－x)＋1的图象．
把函数y＝f(x)的图象上的点(1,2)关于y轴对称，再向上平移1个单位，可得点(－1,3)，
故函数y＝f(－x)＋1的图象必定经过的点的坐标是(－1,3)．
答案：(－1,3)


1．函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位，其中是把x变成x－.
2．明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．如函数y＝f(|x|)的图象属于自身对称，而y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称是两个函数．
[小题纠偏]
1．函数y＝5x与函数y＝－的图象关于________对称．
答案：原点
2．把函数y＝f(2x)的图象向右平移________个单位得到函数y＝f(2x－3)的图象．
答案：

　
[题组练透]
分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；
(2)y＝2x＋2；
(3)y＝x2－2|x|－1.
解：(1)y＝图象如图1.
(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图2.
　
(3)y＝图象如图3.
[谨记通法]
作函数图象的3种常用方法

　
[典例引领]
1．若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝________.

解析：由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，
所以f(x)＝故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.
答案：－1
2．(2019·启东检测)若函数f(x)＝|ax＋b|(a＞0，a≠1，b∈R)的图象如图所示，则a＋b的取值范围是________．
解析：由图可得，函数f(x)的零点为，
即＋b＝0.
由图可得，当x＞时，函数f(x)为增函数，故a＞1，
所以a＋b＝a－＝2－∈(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
[由题悟法]
识图3种常用的方法

[即时应用]
1．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的值域为________．
解析：由图象易知f(x)的值域为(－∞，－1]∪(1,3)．
答案：(－∞，－1]∪(1,3)

2．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f＝________.
解析：由图象知f(3)＝1，所以＝1，所以f＝f(1)＝2.
答案：2
　
[锁定考向]
函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．
常见的命题角度有：
(1)研究函数的性质；
(2)求参数的值或范围；
(3)研究不等式；
(4)确定方程根(零点)的个数．(详见本章第八节考点二)

[题点全练]
角度一：研究函数的性质
1．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；
(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．
解：f(x)＝
作出函数f(x)的图象如图所示．

(1)由图知函数f(x)的单调递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]和[2,3]．
(2)由图象可知，若y＝f(x)与y＝m图象有四个不同的交点，则0＜m＜1，
所以集合M＝{m|0＜m＜1}．
角度二：求参数的值或范围
2．(2019·苏州实验中学测试)定义min{a，b}＝已知函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4，若动直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，则实数m的取值范围为________．
解析：设g(x)＝min{x，x2－4x＋4}，则f(x)＝g(x)＋4，故把g(x)的图象向上平移4个单位长度，可得f(x)的图象，函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4的图象如图所示，由直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，可得m的取值范围为(4,5)．
答案：(4,5)
角度三：研究不等式
3．(2018·启东中学测试)如图所示，函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，则不等式f(x)＞f(－x)－2x的解集是________．

解析：由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)＞－x，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，]．
答案：(－1,0)∪(1，]
4．若不等式(x－1)2＜logax(a＞0，且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需函数y＝(x－1)2在(1,2)上的图象在y＝logax的图象的下方即可．
当0＜a＜1时，显然不成立；当a＞1时，如图，要使x∈(1,2)时，y＝(x－1)2的图象在y＝logax的图象的下方，只需(2－1)2≤loga2，即loga2≥1，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围是(1,2]．
答案：(1,2]
[通法在握]
函数图象应用的常见题型与求解策略
(1)研究函数性质：
①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．
②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．
(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．
(3)研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
[演练冲关]
1．已知函数f(x)＝若f(3－a2)＜f(2a)，则实数a的取值范围是________．
解析：如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R上单调递减，因为f(3－a2)＜f(2a)，所以3－a2＞2a，解得－3＜a＜1.

答案：(－3,1)
2．(2019·扬州中学高三调研)已知函数f(x)＝的图象上关于y轴对称的点恰有9对，则实数a的取值范围是________．
解析：若x＞0，则－x＜0，
∵x＜0时，f(x)＝sin－1，
∴f(－x)＝sin－1＝－sin－1，
则若f(x)＝sin－1，x＜0关于y轴对称，
则f(－x)＝－sin－1＝f(x)，
设g(x)＝－sin－1，x＞0，
作出函数g(x)的大致图象如图所示．

要满足题意，则须使g(x)＝－sin－1，x＞0与f(x)＝logax，x＞0的图象恰有9个交点，
则0＜a＜1，且满足f(17)＞g(17)＝－2，f(21)＜g(21)＝－2，
即－2＜loga17，loga21＜－2，
解得＜a＜.
答案：

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．已知函数f(x)＝x2＋1，若0＜x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为________．
解析：作出函数图象(图略)，知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x1)＜f(x2)．
答案：f(x2)＞f(x1)
2．(2018·常州一中期末)将函数y＝ex的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为________．
解析：将函数y＝ex的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，可得y＝e2x，再向右平移2个单位，可得y＝e2(x－2)＝e2x－4.
答案：y＝e2x－4
3．(2018·前黄中学月考)设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，在区间(－∞，0)是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为________．
解析：y＝f(x＋1)向右平移1个单位得到y＝f(x)的图象，由已知可得f(x)的图象的对称轴为x＝1，过定点(2,0)，且函数在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，则f(x)的大致图象如图所示．

不等式(x－1)f(x)≤0可化为或由图可知符合条件的解集为(－∞，0]∪(1,2]．
答案：(－∞，0]∪(1,2]
4．使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是________．
解析：在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1,0)．

答案：(－1,0)
5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意a＝|x|＋x
令y＝|x|＋x＝图象如图所示，
故要使a＝|x|＋x只有一解，则a＞0.
答案：(0，＋∞)
6．设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．
解析：函数f(x)的图象如图所示，令t＝f(a)，则f(t)≤2，由图象知t≥－2，所以f(a)≥－2，当a＜0时，由a2＋a≥－2，即a2＋a＋2≥0恒成立，当a≥0时，由－a2≥－2，得0≤a≤，故a≤.

答案：(－∞， ]
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知f(x)＝x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为________．
解析：设g(x)上的任意一点A(x，y)，则该点关于直线x＝1的对称点为B(2－x，y)，而该点在f(x)的图象上．所以y＝2－x＝3x－2，即g(x)＝3x－2.
答案：g(x)＝3x－2
2．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________．
解析：当－1≤x≤0时，设解析式为f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则解得
∴当－1≤x≤0时，f(x)＝x＋1.
当x＞0时，设解析式为f(x)＝a(x－2)2－1(a＞0)，
∵图象过点(4,0)，
∴0＝a(4－2)2－1，∴a＝，
∴当x＞0时，f(x)＝(x－2)2－1＝x2－x.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝
答案：f(x)＝
3．(2019·江阴中学检测)方程x2－|x|＋a＝1有四个不同的实数解，则a的取值范围是________．
解析：方程解的个数可转化为函数y＝x2－|x|的图象与直线y＝1－a交点的个数，作出两函数的图象如图，易知－＜1－a＜0，所以1＜a＜.
答案：


4．(2019·启东中学期中)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式≤0的解集为________．
解析：不等式≤0，等价于或
由图象可知：当1＜x≤5时，由f(x)≤0，解得2≤x≤5.
当0≤x＜1时，由f(x)≥0，解得0≤x＜1，
因为f(x)为奇函数，当－2＜x＜0时，由f(x)≥0，此时无解，
当－5≤x≤－2时，由f(x)≥0，解得－5≤x≤－2，
故不等式的解集为[－5，－2]∪[0,1)∪[2,5]．
答案：[－5，－2]∪[0,1)∪[2,5]
5．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为________．
解析：x≤0时，f(x)＝2－x－1，
0＜x≤1时，－1＜x－1≤0，
f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.
故x＞0时，f(x)是周期函数，
如图所示．

若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，
则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，
故a＜1，即a的取值范围是(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
6．(2019·镇江中学测试)已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是________．
解析：作出函数f(x)的图象如图所示，

不妨设a＜b＜c，则b＋c＝2×12＝24，a∈(1,10)，则a＋b＋c＝24＋a∈(25,34)．
答案：(25,34)
7．(2019·徐州调研)设函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，若直线y＝kx＋k(k＞0)与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，则k的取值范围是________．
解析：∵函数f(x)＝
∴作出函数f(x)的图象如图所示．

∵y＝kx＋k＝k(x＋1)，故该直线的图象一定过点(－1,0)，
若y＝kx＋k与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，则f(x)＝kx＋k有三个不同的根，
∵k＞0，∴当y＝kx＋k过点(2,1)时，k＝，当y＝kx＋k过点(3,1)时，k＝，
要使f(x)＝kx＋k有三个不同的根，则实数k的取值范围是.
答案：
8．(2019·金陵中学月考)已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域均为[－π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集是________．
解析：f(x)·g(x)＜0⇒f(x)与g(x)在同一区间内符号相反，
由图可知，当x∈[0，π]时，两者异号的区间为.
又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴当x∈[－π，0)时，两者异号的区间为，
∴f(x)·g(x)＜0的解集是∪.
答案：∪
9．(2018·盐城一中测试)已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)根据图象写出不等式f(x)＞0的解集；
(5)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有三个不相等的实根}．
解：(1)因为f(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4.

(2)因为f(x)＝x|4－x|＝
即f(x)＝
所以函数f(x)的图象如图所示．
由图象知函数f(x)有两个零点．
(3)从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为[2,4]．
(4)从图象上观察可知：不等式f(x)＞0的解集为{x|0＜x＜4或x＞4}．
(5)由图象可知若y＝f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，则0＜m＜4，
所以集合M＝{m|0＜m＜4}．
10．已知函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m＞0在R上恒成立，求m的取值范围．
解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，
G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．
由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；
当0＜m＜2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解．
(2)令f(x)＝t(t＞0)，H(t)＝t2＋t，
因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，
所以H(t)＞H(0)＝0.
因此要使t2＋t＞m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，
即所求m的取值范围为(－∞，0]．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确命题的个数为________．
解析：因为函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，所以函数f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函数；
由y＝lg x
y＝lg(x＋1)

y＝lg(|x|＋1)y＝lg(|x－2|＋1)，如图，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0.所以①②正确．
答案：2
2．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．
解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，
即2－y＝－x－＋2，所以y＝f(x)＝x＋(x≠0)．
(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，
g′(x)＝1－.
因为g(x)在(0,2]上为减函数，
所以1－≤0在(0,2]上恒成立，
即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，
所以a＋1≥4，即a≥3，
故实数a的取值范围是[3，＋∞)．

命题点一　函数的概念及其表示
1．(2018·江苏高考)函数f(x)＝的定义域为________．
解析：由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2，所以函数f(x)＝的定义域为{x|x≥2}．
答案：{x|x≥2}
2．(2016·江苏高考)函数y＝的定义域是________．
解析：要使函数有意义，需3－2x－x2≥0，即x2＋2x－3≤0，得(x－1)(x＋3)≤0，即－3≤x≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．
答案：[－3,1]
3．(2016·浙江高考)设函数f(x)＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，
x∈R，则实数a＝____，b＝________.
解析：因为f(x)＝x3＋3x2＋1，
所以f(a)＝a3＋3a2＋1，
所以f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2
＝(x－b)(x2－2ax＋a2)
＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b
＝x3＋3x2－a3－3a2.
由此可得
因为a≠0，所以由②得a＝－2b，代入①式得b＝1，a＝－2.
答案：－2　1
4．(2018·全国卷Ⅰ改编)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是________．
解析：法一：①当即x≤－1时，
f(x＋1)＜f(2x)，即为2－(x＋1)＜2－2x，
即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1＜x≤0时，
f(x＋1)＜f(2x)，即为1＜2－2x，解得x＜0.
因此不等式的解集为(－1,0)．
④当即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0)．
法二：∵f(x)＝
∴函数f(x)的图象如图所示．
结合图象知，要使f(x＋1)＜f(2x)，
则需或
∴x＜0.
答案：(－∞，0)
命题点二　函数的基本性质
1.(2016·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，则f(5a)的值是________．
解析：因为函数f(x)的周期为2，结合在[－1,1)上f(x)的解析式，得
f＝f＝f＝－＋a，
f＝f＝f＝＝.
由f＝f，得－＋a＝，解得a＝.
所以f(5a)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－1＋＝－.
答案：－
2．(2013·江苏高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为________．
解析：由于f(x)为R上的奇函数，所以当x＝0时，f(0)＝0；
当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝x2＋4x＝－f(x)，
即f(x)＝－x2－4x，所以f(x)＝
由f(x)＞x，可得或
解得x＞5或－5＜x＜0，
所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．
答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
3．(2018·全国卷Ⅱ改编)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________.
解析：法一：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数得f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
法二：由题意可设f(x)＝2sin，作出f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x)的一个周期为4，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
答案：2
4．(2017·全国卷Ⅱ改编)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是________．
解析：由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是 (－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．
答案：(4，＋∞)
5．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.
解析：由已知得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，
又函数f(x)是奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝12.
答案：12
6．(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈ [－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以f(x＋6)＝f(x)，
所以f(x)的周期为6，
因为919＝153×6＋1，所以f(919)＝f(1)．
又f(x)为偶函数，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.
答案：6
命题点三　函数的图象
1.(2016·全国卷Ⅱ改编)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝________.
解析：因为f(－x)＝2－f(x)，所以f(－x)＋f(x)＝2.因为＝0，＝1，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称．函数y＝＝1＋，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y＝与y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以i＝0，i＝2×＝m，所以(xi＋yi)＝m.
答案：m
2．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________.
解析：因为f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，
所以4＝a×(－1)3－2×(－1)，
解得a＝－2.
答案：－2