2020版新设计一轮复习数学（文）江苏专版讲义：第四章第四节函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及其应用

第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用



1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
(A＞0，ω＞0)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2．五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
－＋

－

ωx＋φ




2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0

3．由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种方法

[小题体验]
1．函数y＝Asin的振幅为3，周期为π，则A＋ω＝________.
答案：5
2．用五点法作函数y＝sin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是______、______、______、______、______.
答案：　　　　
3．将函数f(x)＝2sin 2x的图象上每一点向右平移个单位长度，得函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.
答案：2sin

1．函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．
2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．
3．由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|.
[小题纠偏]
1．(2019·连云港调研)若将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，则所得到的图象的函数解析式为________．
解析：将函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数解析式为y＝sin＝sin.
答案：y＝sin
2．要得到函数y＝sin 2x的图象，只需把函数y＝sin的图象向右平移______个单位长度．
答案：

　
[典例引领]
某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x





Asin(ωx＋φ)
0
5

－5
0

(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．
(3)作出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象．
解：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，
数据补全如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x





Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0

且函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
则g(x)＝5sin.
因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，
所以令＋－θ＝，
解得θ＝－，k∈Z.
由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
(3)由数据作出的图象如图所示：

[由题悟法]
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种作法
五点法
设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象
图象变换法
由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”

[提醒]　平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
[即时应用]
1．(2018·苏州高三暑假测试)将函数y＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，若函数y＝f(x)的图象过原点，则φ＝________.
解析：由题意可得f(x)＝sin＝sin，因为函数y＝f(x)的图象过原点，所以sin＝0，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，又因为0＜φ＜π，所以φ＝.
答案：
2．(2019·南京、盐城一模)将函数y＝3sin的图象向右平移φ个单位长度后，所得函数为偶函数，则φ＝________.
解析：将函数y＝3sin的图象向右平移φ个单位长度后，所得函数为y＝3sin＝3sin.因为所得的函数为偶函数，所以－2φ＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝－－(k∈Z)，因为0＜φ＜，所以k＝－1，得φ＝.
答案：
　
[典例引领]
1．(2018·南京高三年级学情调研)若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f(－π)的值为________．
解析：由题图可得A＝2，＝，则T＝＝3π，所以ω＝，由最高点的相位可知＋φ＝2kπ＋，k∈Z，得φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|＜π，所以φ＝－.所以f(x)＝2sin，所以f(－π)＝－1.
答案：－1
2．(2019·南师附中检测)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
的部分图象如图所示，则f(0)＝________.
解析：由图象可知，A＝1，由·＝－，得ω＝1.
再根据五点法作图可得 1×＋φ＝，∴φ＝，
故f(x)＝sin，∴f(0)＝sin＝.
答案：
[由题悟法]
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)中参数的方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；
(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；
(3)求φ：常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：
第一点
图象上升时与x轴的交点
ωx＋φ＝0
第二点
图象的“峰点”　　　　　
ωx＋φ＝
第三点
图象下降时与x轴的交点
ωx＋φ＝π
第四点
图象的“谷点”　　　　　
ωx＋φ＝
第五点

ωx＋φ＝2π

[即时应用]
1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________.

解析：由题图知A＝1，＝－＝，所以T＝π＝，得ω＝2，又f＝sin＝0，所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)或φ＝＋2kπ(k∈Z)(舍去，因为f(0)＜0)，所以f(x)＝sin，故f＝sin＝.
答案：
2．(2018·宿迁、泰州调研)设函数y＝sin(0＜x＜π)，当且仅当x＝时，y取得最大值，则正数ω的值为______．
解析：因为0＜x＜π，ω＞0，所以ωx＋∈，
又函数当且仅当x＝时取得最大值，
所以解得ω＝2.
答案：2
　对应学生用书P47

[典例引领]
已知函数f(x)＝2sin2＋cos 2x.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈上有两个不同的解，求实数m的取值范围．
解：(1)由f(x)＝2sin2＋cos 2x
＝1－cos＋cos 2x
＝1＋sin 2x＋cos 2x
＝1＋2sin，
则由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由f(x)－m＝2，得f(x)＝m＋2，
当x∈时，2x＋∈，

因为f(0)＝1＋2sin＝1＋，函数f(x)的最大值为1＋2＝3，
所以要使方程f(x)－m＝2在x∈上有两个不同的解，则f(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的解，即函数f(x)和y＝m＋2在x∈上有两个不同的交点，即1＋≤m＋2＜3，
即－1≤m＜1.
所以实数m的取值范围为[－1,1)．

[由题悟法]
1．三角函数的图象和性质的综合应用问题的求解思路
先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
2．三角函数的零点、不等式问题的求解思路
(1)把函数表达式转化为正弦型函数形式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)；
(2)画出长度为一个周期的区间上的函数图象；
(3)利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题．
[即时应用]
(2019·苏州调研)已知函数f(x)＝－sin＋＋b(a＞0，b＞0)的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
解：(1)因为f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为，
所以f(x)的周期为，所以＝，
所以a＝2，此时f(x)＝－sin＋＋b.
又因为f(x)的图象与x轴相切，
所以＝，b＞0，所以b＝－.
(2)由(1)可得f(x)＝－sin＋，
因为x∈，所以4x＋∈，
所以当4x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值为；当4x＋＝，即x＝时，f(x)有最小值为0.
　对应学生用书P47

[典例引领]
(2018·苏北四市调研)如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
解：(1)如图所示建立直角坐标系，
设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
OP每秒钟内所转过的角为＝.
所以OP在时间t(s)内所转过的角为t.
由题意可知水轮逆时针转动，得z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.
故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.
(2)令z＝4sin＋2＝6，得sin＝1，
令t－＝，得t＝4，
故点P第一次到达最高点大约需要4 s.
[由题悟法]
三角函数模型在实际应用中体现的2个方面
(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
[即时应用]
1．(2019·苏北四市调研)如图，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮作匀速转动，每12分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低处，则点P距地面的高度h(m)与时间t(分钟)的函数解析式为________________．

解析：作出如图所示的平面直角坐标系，由已知，可设函数解析式为h＝50－40cos(ωt＋φ)，
∵摩天轮作匀速转动，每12分钟转一圈，∴＝12，ω＝.
∵摩天轮上点P的起始位置在最低处，
∴当t＝0时，h＝50－40cos φ＝10，解得φ＝0.
∴所求函数解析式为h＝50－40cost.
答案：h＝50－40cost
2．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)，则实验室这一天的最大温差为________℃.
解析：因为f(t)＝10－2＝10－2sin，
又0≤t＜24，所以≤t＋＜，
所以－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
答案：4


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1．y＝2sin的初相为________．
答案：－
2．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为________．
解析：最小正周期为T＝＝4π.
答案：4π
3．(2018·苏州高三期中调研)函数y＝sin(2x＋φ)图象的一条对称轴是x＝，则φ＝________.
解析：当x＝时，函数y＝sin(2x＋φ)取得最值，所以＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z，又0＜φ＜，所以φ＝.
答案：
4．已知函数f(x)＝sin，x＝为f(x)的图象的一条对称轴，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象，则g(x)的解析式为________．
解析：∵x＝为f(x)的图象的一条对称轴，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.
又|φ|＜，∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)＝sin＝sin的图象．
答案：g(x)＝sin
5．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f＝________.
解析：由题意可知该函数的周期为，
所以＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x.
所以f＝tan ＝.
答案：
6．(2018·启东中学检测)在函数y＝－2sin的图象与x轴的交点中，离原点最近的交点坐标是________．
解析：当y＝0时，sin＝0，所以4x＋＝kπ，k∈Z，所以x＝π－，k∈Z，
取k＝0，则x＝－，取k＝1，则x＝，所以离原点最近的交点坐标.
答案：
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1．振动量y＝sin(ωx＋φ)的频率为，则ω＝________.
解析：因为y＝sin(ωx＋φ)的频率为，所以其周期T＝，所以ω＝＝3π.
答案：3π
2．(2018·南通一模)在平面直角坐标系xOy中，将函数y＝sin的图象向右平移φ个单位长度．若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________．
解析：将函数y＝sin的图象向右平移φ个单位长度，
得到函数y＝sin的图象．
∵平移后得到的图象经过坐标原点，且0＜φ＜，
∴－2φ＋＝0，解得φ＝.
答案：
3.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.
解析：由图可知，＝－＝，
则T＝π，ω＝2，
又因为＝，所以f(x)的图象过点，
即sin＝1，得φ＝，
所以f(x)＝sin.
而x1＋x2＝－＋＝，
所以f(x1＋x2)＝f＝sin＝sin ＝.
答案：
4．(2019·启东中学检测)将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ＜0)的图象向左平移个单位长度，得到偶函数g(x)的图象，则φ的最大值是________．
解析：将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ＜0)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin
＝2sin的图象．
∵g(x)是偶函数，
∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，
∴φ＝－＋kπ，k∈Z.
又φ＜0，∴φ的最大值是－.
答案：－
5.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.

解析：由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，取k＝0，则φ＝，所以f(x)＝－sinx，所以f(1)＝－.
答案：－
6．若函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为，则f＝________.
解析：由f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为，得ω＝4.
所以f＝sin＝0.
答案：0
7．已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，若x∈，则f(x)的值域是________．
解析：f(x)＝3sin＝3cos＝3cos，易知ω＝2，
则f(x)＝3sin，
因为x∈，所以－≤2x－≤，
所以－≤f(x)≤3.
答案：
8．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f＞f(π)，则f(x)的单调递增区间是________．
解析：因为f(x)≤对x∈R恒成立，即＝＝1，所以φ＝kπ＋(k∈Z)．因为f＞f(π)，所以sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)，即sin φ＜0，所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，所以f(x)＝sin，所以由三角函数的单调性知2x－∈(k∈Z)，
解得x∈(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
9．(2019·连云港调研)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为π，点P为其图象上一个最高点．
(1)求f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)图象上所有点都向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间上的值域．
解：(1)因为函数f(x)的最小正周期为π，
所以＝π，解得ω＝2.
又点P为其图象上一个最高点，
所以A＝2，sin＝1，
又－＜φ＜，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin.
(2)由题意得g(x)＝f
＝2sin＝2sin，
当x∈时，2x＋∈，
所以sin∈，2sin∈(－1,2]，
故g(x)在区间上的值域为(－1,2]．
10．已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－(ω＞0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.
(1)求f(x)的表达式；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
解：(1)f(x)＝sin 2ωx＋(2cos2ωx－1)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，
由题意知，最小正周期T＝2×＝，
T＝＝＝，所以ω＝2，
所以f(x)＝sin.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝sin的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，所以g(x)＝sin.
令2x－＝t，若0≤x≤，则－≤t≤.

因为g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，即函数y＝sin t与y＝－k在区间上有且只有一个交点，作出函数y＝sin t的图象如图所示．
由正弦函数的图象可知－≤－k＜或－k＝1.
所以－＜k≤或k＝－1.
所以实数k的取值范围为∪{－1}．
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1．已知函数f(x)＝2sin－1在区间[a，b](a，b∈R，且a＜b)上至少含有10个零点，在所有满足条件的[a，b]中，b－a的最小值为________．
解析：要使b－a最小，则f(x)在区间[a，b]上零点个数恰好是10，由函数f(x)的图象可知，一个周期内只有2个零点，且两个零点之间的最小间隔为，所以满足条件的b－a的最小值为＋4π＝.
答案：
2.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).
则下列叙述正确的是________．
①R＝6，ω＝，φ＝－；
②当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6；
③当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减；
④当t＝20时，|PA|＝6.
解析：①由点A(3，－3)，可得R＝6，由旋转一周用时60秒，可得T＝＝60，
则ω＝，由点A(3，－3)，可得∠AOx＝，则φ＝－，故①正确；
②由①知，f(t)＝6sin，当t∈[35,55]时，t－∈，即当t－＝时，点P(0，－6)，点P到x轴的距离的最大值为6，故②正确；
③当t∈[10,25]时，t－∈，由正弦函数的单调性可知，函数y＝f(t)在[10,25]上有增有减，故③错误；
④f(t)＝6sin，当t＝20时，水车旋转了三分之一周期，则∠AOP＝，
所以|PA|＝6，故④正确．
答案：①②④
3.(2019·如皋中学模拟)如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈(0，π))，x∈[－4,0]的图象，图象的最高点为B(－1,2)．边界的中间部分为长1 km的直线段CD，且CD∥EF.游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧.
(1)求曲线段FGBC的函数表达式；
(2)曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF的最近距离为1 km，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO的长；
(3)如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE＝θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．
解：(1)由已知条件，得A＝2，
∵＝3，∴T＝＝12，∴ω＝.
又∵当x＝－1时，有y＝2sin＝2，φ∈(0，π)，
∴φ＝.∴曲线段FGBC的解析式为
y＝2sin，x∈[－4,0]．
(2)由y＝2sin＝1，
得x＋＝＋2kπ(k∈Z)或x＋＝＋2kπ(k∈Z)，
解得x＝12k－3或x＝12k＋1(k∈Z)，
又x∈[－4,0]，∴x＝－3，∴G(－3,1)，
∴OG＝.∴景观路GO长为 km.
(3)如图，易知OC＝，CD＝1，∴OD＝2，∠COD＝，
作PP1⊥x轴于P1点，在Rt△OPP1中，PP1＝OPsin θ＝2sin θ，
在△OMP中，＝，
∴OM＝＝·sin＝2cos θ－sin θ.
故S平行四边形OMPQ＝OM·PP1＝·2sin θ＝4sin θcos θ－sin2 θ＝2sin 2θ＋cos 2θ－＝sin－，θ∈.
当2θ＋＝，即θ＝时，平行四边形OMPQ面积的最大值为.






命题点一　同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则sin β＝________.
解析：法一：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P1(2，1)，其关于y轴的对称点(－2，1)在角β的终边上，此时sin β＝；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P2(－2，1)，其关于y轴的对称点(2，1)在角β的终边上，此时sin β＝.
综上可得sin β＝.
法二：令角α与角β均在区间(0，π)内，故角α与角β互补，得sin β＝sin α＝.
法三：由已知可得，sin β＝sin(2kπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝(k∈Z)．
答案：
2．(2016·全国卷Ⅲ改编)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝________.
解析：因为tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.
答案：
3．(2014·江苏高考)已知α∈，sin α＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
解：(1)因为α∈，sin α＝，
所以cos α＝－＝－.
故sin＝sin cos α＋cos sin α
＝×＋×＝－.
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，
所以cos＝coscos 2α＋sinsin 2α
＝×＋×
＝－.
4．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
解：(1)由角α的终边过点P，
得sin α＝－.
所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P，
得cos α＝－.
由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α，
得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.

命题点二　三角函数的图象与性质
1.(2018·江苏高考)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
解析：由题意得f＝sin＝±1，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ－，k∈Z.
∵φ∈，
∴φ＝－.
答案：－
2．(2016·江苏高考)定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x 的图象的交点个数是________．
解析：法一：函数y＝sin 2x的最小正周期为＝π，y＝cos x的最小正周期为2π，在同一坐标系内画出两个函数在[0,3π]上的图象，如图所示．

通过观察图象可知，在区间[0,3π]上两个函数图象的交点个数是7.
法二：联立两曲线方程，得两曲线交点个数即为方程组解的个数，也就是方程sin 2x＝cos x解的个数．方程可化为2sin xcos x＝cos x，即cos x(2sin x－1)＝0，
所以cos x＝0或sin x＝.
①当cos x＝0时，x＝kπ＋，k∈Z，因为x∈[0,3π]，所以x＝，，，共3个；
②当sin x＝时，因为x∈[0,3π]，所以x＝，，，，共4个．
综上，方程组在[0,3π]上有7个解，故两曲线在[0,3π]上有7个交点．
答案：7
3．(2016·全国卷Ⅱ改编)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为____________．
解析：将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin ＝2sin的图象．由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．
答案：x＝＋(k∈Z)
4．(2016·全国卷Ⅱ改编)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数解析式为______________．

解析：由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，又|φ|＜，所以φ＝－，故y＝2sin.
答案：y＝2sin
5．(2018·北京高考)设函数f(x)＝cos(ω＞0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
解析：∵f(x)≤f对任意的实数x都成立，
∴当x＝时，f(x)取得最大值，
即f＝cos＝1，
∴ω－＝2kπ，k∈Z，
∴ω＝8k＋，k∈Z.
∵ω＞0，∴当k＝0时，ω取得最小值.
答案：
6．(2017·北京高考)已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
解：(1)f(x)＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)证明：因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.
所以sin≥sin＝－.
所以当x∈时，f(x)≥－.