2020版高考新创新一轮复习数学（理）通用版讲义：第四章第四节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用

第四节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
[考纲要求]
1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．
2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．　　
突破点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象


1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
振幅
周期
频率
相位
初相
(A>0，ω>0)
A
T＝
f＝＝

φ

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
－

－

ωx＋φ




2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法


一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．(　　)
(2)将y＝3sin 2x的图象左移个单位后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)
答案：(1)×　(2)×
二、填空题
1．函数y＝sin的振幅为__________，周期为________，初相为________．
答案：　　
2．将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是________．
答案：y＝1＋cos 2x
3．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,00)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：
(1)A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；
(2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；
(3)φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．
[例1]　(2019·大庆实验中学期初)已知函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象(　　)
A．可由函数g(x)＝cos 2x的图象向左平移个单位长度得到
B．可由函数g(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度得到
C．可由函数g(x)＝cos 2x的图象向左平移个单位长度得到
D．可由函数g(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度得到
[解析]　由已知得，ω＝＝2，则f(x)＝cos的图象可由函数g(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度得到，故选D.
[答案]　D
[例2]　(2019·景德镇测试)已知函数f(x)＝4cos x·sin＋a的最大值为2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．
[解]　(1)f(x)＝4cos xsin＋a
＝4cos x·＋a
＝sin 2x＋2cos2x＋a
＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a
＝2sin＋1＋a，
∵f(x)的最大值为2，
∴a＝－1，最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin，列表：
x
0




π
2x＋


π

2π

f(x)＝2sin
1
2
0
－2
0
1
画图如下：

[方法技巧]　三角函数图象变换的两个要点
常规方法
主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x，如果x的系数不是1，则需把x的系数提取后再确定平移的单位长度和方向
方程思想
可以把判断的两函数变为同名的函数，且x的系数变为一致，通过列方程求解，如y＝sin 2x变为y＝sin2x＋，可设平移φ个单位长度，即由2(x＋φ)＝2x＋解得φ＝，向左平移，若φ＜0说明向右平移|φ|个单位长度
考法二　由图象求函数y＝Asin(ωx＋)的解析式　
[例3]　(1)(2018·怀仁期末联考)若函数f(x)＝sin(ωx－φ)的部分图象如图所示，则ω和φ的值是(　　)

A．ω＝1，φ＝　　　　 B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－
(2)(2019·武邑中学调研)已知函数f(x)＝Asinx＋φ，y＝f(x)的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，作PR⊥x轴于点R，点R的坐标为(1,0)．若∠PRQ＝，则f(0)＝(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)由图象可知，函数的周期为4－＝4π，所以ω＝＝，将代入y＝sin，又|φ|≤，得φ＝－，故选D.
(2)过点Q作QH⊥x轴于点H.设P(1，A)，Q(a，－A)．由函数图象得2|a－1|＝＝6，即|a－1|＝3.因为∠PRQ＝，所以∠HRQ＝，则tan∠QRH＝＝，解得A＝.又P(1，)是图象的最高点，所以×1＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又因为00)的步骤和方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；
(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；
(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．　　

1.将函数f(x)＝cos 2x－sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数F(x)的图象，则下列说法中正确的是(　　)
A．F(x)是奇函数，最小值是－2
B．F(x)是偶函数，最小值是－2
C．F(x)是奇函数，最小值是－
D．F(x)是偶函数，最小值是－
解析：选C　f(x)＝cos 2x－sin 2x＝cos，则F(x)＝cos＝ cos＝－sin 2x，故选C.
2.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为6π，将其图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝sin ωx的图象，则φ等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题意得＝6π，∴ω＝.∴f(x)＝sin.将其图象向右平移 个单位长度后得到的
函数图象的解析式为g(x)＝sin＝sin＝sin x，∴φ－＝2kπ(k∈Z)．解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，∵|φ|0，ω>0，|φ|0，－