2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第十六章选修4第12课　特征值与特征向量

第12课__特征值与特征向量____  1. 掌握二阶矩阵特征值与特征向量的意义．2. 会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形)．3. 会用二阶矩阵的特征值、特征向量解决简单的问题.     1. 阅读：选修42第66～73页. 2. 解悟：①从几何观点分析，特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一直线上，当λ>0时，方向不变；当λ<0时，方向相反；当λ＝0时，特征向量就被变换成零向量．②对于一个二阶矩阵A，不是对任意的一个非零向量a都存在一个实数λ使Aα＝λα.③若向量α是属于λ的特征向量，则kα(k≠0)也是属于λ的特征向量，即特征向量不唯一，但均为共线向量．④若特征多项式f(λ)＝0无解，则矩阵无特征值．3. 践习：在教材空白处，完成第 73页习题第1、3题. 　基础诊断　1. 求矩阵M＝的特征值和特征向量．      2. 已知二阶矩阵A有特征值λ1＝1及对应的一个特征向量e1＝和特征值λ2＝2及对应的一个特征向量e2＝，试求矩阵A.       　范例导航　考向运用特征值与特征向量的定义　　例1　已知x，y∈R，向量a＝是矩阵A＝的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．       已知矩阵M＝有特征值λ1＝4及其对应的一个特征向量α1＝.(1) 求矩阵M；(2) 求曲线5x2＋8xy＋4y2＝1在矩阵M对应的变换作用下的新曲线方程．      考向多次变换求法　　例2　给定矩阵M＝及向量α＝.(1) 求M的特征值及对应的特征向量；(2) 确定实数a，b使向量α可表示为α＝ae1＋be2；(3) 利用(2)中表达式间接计算M3α，Mnα.           已知向量e1＝是二阶矩阵M＝的属于特征值λ1＝2的一个特征向量．(1) 求矩阵M；(2) 求α＝，求M10α.      　自测反馈　1. 已知二阶矩阵M的特征值λ＝1及对应的一个特征向量e＝，且M＝，求矩阵M.        2. 已知M＝，α＝，试计算M20α.        1. 运用定义求特征值与特征向量时，不同的特征值对应的特征向量不相等；矩阵的特征向量是在矩阵变换下的不变量．2. 变换的几何意义：只改变特征向量的长度不改变方向．3. 你还有哪些体悟，写下来：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第12课　特征值与特征向量　基础诊断　1. 解析：矩阵M的特征值λ满足方程f(λ)＝＝(λ＋1)(λ－3)－(－2)×＝0，即λ2－2λ－8＝0，解得矩阵M的两个特征值为λ1＝4，λ2＝－2.将λ1＝4代入二元一次方程组得矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为.将λ2＝－2代入二元一次方程组得矩阵M的属于特征值－2的一个特征向量为.综上所述，λ1＝4，λ2＝－2，属于特征值λ1＝4的一个特征向量为，属于特征值λ2＝－2的一个特征向量为.2. 解析：设矩阵A＝，a，b，c，d∈R.因为e1＝是矩阵A的属于λ1＝1的特征向量，则＝.①因为e2＝是矩阵A的属于λ2＝2的特征向量，则＝.②根据①②，则有解得所以A＝.　范例导航　例1　解析：由已知得Aα＝－2α，即＝＝，则即所以矩阵A＝，所以矩阵A的特征多项式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)，令f(λ)＝0，解得A的特征值为λ1＝－2，λ2＝1，所以矩阵A＝，它的另一个特征值为1.解析：(1) 由已知得＝4，则＝，即解得所以M＝.(2) 设曲线5x2＋8xy＋4y2＝1上的任意一点P(x，y)，点P在矩阵M对应的变换作用下得到点P′(x′，y′)，则＝，即解得代入5x2＋8xy＋4y2＝1，得x′2＋y′2＝2，即曲线5x2＋8xy＋4y2＝1在矩阵M对应的变换作用下得到的新曲线的方程是x2＋y2＝2.例2　解析：(1) 矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ＋4)(λ－7)，令f(λ)＝0，解得矩阵A的特征值为λ1＝－4，λ2＝7.当λ1＝－4时，设对应的特征向量为，则它满足方程组则可取e1＝为λ1＝4的一个特征向量．同理可得λ2＝7的一个特征向量为e2＝.综上所述，M的特征值为λ1＝－4，λ2＝7.λ1＝－4对应的一个特征向量为e1＝，λ2＝7对应的一个特征向量为e2＝.(2) 由a＝ae1＋be2得解得故当a＝－1，b＝3时，向量α可表示为α＝－e1＋3e2.(3) M3α＝－λe1＋3λe2＝64＋1 029＝.　Mnα＝－λe1＋3λe2＝－(－4)n＋3×7n＝＋＝.　解析：(1) 由题意得＝2，即解得故矩阵M＝.(2) 由(1)可知M＝，则求出其另一个特征值为1，其对应的一个特征向量为e2＝.又α＝，令α＝me1＋ne2，可解得m＝1，n＝1，即α＝e1＋e2，故M10α＝M10e1＋M10e2＝210＋110＝＝.　自测反馈　1. 解析：设M＝，则由＝，再由＝，易得a＝2，b＝1，c＝0，d＝1，故M＝.2. 解析：令矩阵M的特征多项式f(λ)＝(λ－1)2－4＝0，得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为和，而α＝＋2，所以M20α＝320＋2×(－1)20＝.