2020版数学（理）人教A版新设计大一轮讲义：第六章第2节平面向量基本定理及坐标表示

 第2节　平面向量基本定理及坐标表示
考试要求　1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

知 识 梳 理
1.平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
[微点提醒]
1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，则x1＝x2且y1＝y2.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(　　)
(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.(　　)
(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　)
解析　(1)共线向量不可以作为基底.
(2)同一向量在不同基底下的表示不相同.
(4)若b＝(0，0)，则＝无意义.
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2.(必修4P118A2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)
A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D.e1＝(2，－3)，e2＝
解析　两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.
答案　B
3.(必修4P99例8改编)设P是线段P1P2上的一点，若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为(　　)
A.(2，2) B.(3，－1)
C.(2，2)或(3，－1) D.(2，2)或(3，1)
解析　由题意得＝且＝(3，－3).
设P(x，y)，则(x－1，y－3)＝(1，－1)，
∴x＝2，y＝2，则点P(2，2).
答案　A

4.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A.(－7，－4) B.(7，4)
C.(－1，4) D.(1，4)
解析　根据题意得＝(3，1)，∴＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A.
答案　A
5.(2017·山东卷)已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________.
解析　∵a∥b，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3.
答案　－3
6.(2019·苏州月考)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________.
解析　设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得
答案　(1，5)

考点一　平面向量基本定理及其应用
【例1】 (1)(2019·衡水中学调研)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若＝2，＝3，＝λ－μ(λ，μ∈R)，则μ－λ＝(　　)
A.－ B.1 C. D.－3
(2)(2019·北京海淀区调研)在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且＝＋.延长AD交BC于E，若＝λ＋μ，则λ－μ的值是________.
解析　(1)＝λ－μ＝λ－μ(＋)
＝(λ－μ)－μ＝2(λ－μ)－3μ.
因为E，M，F三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，
即2λ－5μ＝1，∴μ－λ＝－.
(2)设＝x，∵＝＋，
∴＝＋.
由于E，B，C三点共线，∴＋＝1，x＝.
根据平面向量基本定理，得λ＝，μ＝.
因此λ－μ＝－＝－＝－.
答案　(1)A　(2)－
规律方法　1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
【训练1】 (1)(2019·济南质检)在△ABC中，＝，若P是直线BN上的一点，且满足＝m＋，则实数m的值为(　　)
A.－4 B.－1 C.1 D.4
(2)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝＋，则＝________.
解析　(1)根据题意设＝n(n∈R)，则＝＋＝＋n＝＋n(－)＝＋n＝(1－n)＋.
又＝m＋，∴解得
(2)因为＝＋，所以－＝－＋＝(－)，
所以＝，所以＝.
答案　(1)B　(2)
考点二　平面向量的坐标运算
【例2】 (1)设A(0，1)，B(1，3)，C(－1，5)，D(0，－1)，则＋等于(　　)
A.－2 B.2 C.－3 D.3
(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4
解析　(1)由题意得＝(1，2)，＝(－1，4)，＝(0，－2)，所以＋＝(0，6)＝－3(0，－2)＝－3.
(2)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，

则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，
∴a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3)，
∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，
则解得λ＝－2，μ＝－，
∴，＝＝4.
答案　(1)C　(2)D
规律方法　1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.
2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.
【训练2】 (1)已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，||＝2||，则向量的坐标是________.
(2)(2019·天津和平区一模)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　)

A. B. C.2 D.
解析　(1)由点C是线段AB上一点，||＝2||，得＝－2.
设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2).
则解得
所以向量的坐标是(4，7).
(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).

不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，
∴＝(－2，2)，＝(－2，1)，＝(1，2)，
∵＝λ＋μ，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
∴解得则λ＋μ＝.
答案　(1)(4，7)　(2)B
考点三　平面向量共线的坐标表示　多维探究
角度1　利用向量共线求向量或点的坐标
【例3－1】 (一题多解)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.
解析　法一　由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4，4λ).
又＝－＝(－2，6)，
由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，
所以＝＝(3，3)，
所以点P的坐标为(3，3).
法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3，3).
答案　(3，3)
角度2　利用向量共线求参数
【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
(2)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－3b共线，则＝________.
解析　(1)由题意得2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以4λ－2＝0，即λ＝.
(2)由≠，所以a与b不共线，
又a－3b＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0.
那么当ma＋nb与a－3b共线时，
有＝，即得＝－.
答案　(1)　(2)－
规律方法　1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
【训练3】 (1)(2019·北师大附中检测)已知向量a＝(1，1)，点A(3，0)，点B为直线y＝2x上的一个动点，若∥a，则点B的坐标为________.
(2)设向量＝(1，－2)，＝(2m，－1)，＝(－2n，0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为(　　)
A.－3 B.－2 C.2 D.3
解析　(1)由题意设B(x，2x)，则＝(x－3，2x)，
∵∥a，∴x－3－2x＝0，解得x＝－3，∴B(－3，－6).
(2)由题意易知，∥，其中＝－＝(2m－1，1)，＝－＝(－2n－1，2)，
所以(2m－1)×2＝1×(－2n－1)，得：2m＋1＋2n＝1.
2m＋1＋2n≥2，所以2m＋n＋1≤2－2，即m＋n≤－3.
答案　(1)(－3，－6)　(2)A

[思维升华]
1.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
2.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.
3.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式.
[易错防范]
1.注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2－x2y1＝0.
2.要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息.

基础巩固题组
(建议用时：35分钟)
一、选择题
1.向量a，b满足a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，则b为(　　)
A.(－3，4) B.(3，4)
C.(3，－4) D.(－3，－4)
解析　由a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，
得2b＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)，
∴b＝(－6，8)＝(－3，4).
答案　A
2.已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与同方向的单位向量是(　　)
A. B.
C. D.
解析　＝－＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，
∴与同方向的单位向量为＝.
答案　A
3.已知向量a＝(2，1)，b＝(3，4)，c＝(1，m)，若实数λ满足a＋b＝λc，则λ＋m等于(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
解析　由平面向量的坐标运算法则可得a＋b＝(5，5)，
λc＝(λ，λm)，据此有
解得λ＝5，m＝1，∴λ＋m＝6.
答案　B
4.已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　　)
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析　由题意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件.
答案　A
5.已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则＝(　　)
A.－ B. C.－2 D.2
解析　因为a∥b，所以a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则得＝－2.
答案　C
6.已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若＝＋λ(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为(　　)
A. B.－ C. D.－
解析　设P(x，y)，则由＝＋λ，
得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ).
所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.
又点P在直线x－2y＝0上，
故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.
答案　B
7.(2019·河北豫水中学质检)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝(　　)
A. B. C.3 D.2
解析　如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，

因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0).
＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，
所以＝.
答案　A
8.在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则＝(　　)
A.a－b B.a＋b
C.－a＋b D.－a－b
解析　设＝λ，＝μ.而＝＋＝－b＋λ＝－b＋λ，
＝μ＝μ.

因此，μ＝－b＋λ.由于a，b不共线，因此由平面向量的基本定理，得解之得λ＝，μ＝.故＝λ＝λ＝a＋b.
答案　B
二、填空题
9.(2019·安徽江南十校联考)已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2，5)，c＝(m，3)，且(a＋c)∥(a－b)，则m＝________.
解析　a＝(1，m)，b＝(2，5)，c＝(m，3)，
∴a＋c＝(m＋1，m＋3)，a－b＝(－1，m－5)，
又(a＋c)∥(a－b)，
∴(m＋1)(m－5)＋m＋3＝0，即m2－3m－2＝0，
解之得m＝.
答案　
10.已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝|BP|，则点P的坐标为________.
解析　设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上，
则＝，得(x－2，y－3)＝(x－4，y＋3)，
即解得
所以点P的坐标为(8，－15).
答案　(8，－15)
11.已知A(1，1)，B(3，－1)，C(a，b)，若A，B，C三点共线，则a，b的关系式为________.
解析　由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∵A，B，C三点共线，∴∥.
∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
答案　a＋b＝2
12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝________.
解析　因为p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
所以a2＋b2－c2＝ab，所以＝，
由余弦定理知，cos C＝，又因为0 答案　
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13.如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)

A. B. C. D.
解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋×＝＋.
因为＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，则λ＋μ＝＋＝.
答案　A
14.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　)

A.1 B. C. D.2
解析　因为点C在以O为圆心的圆弧上，
所以||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2，
∴x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.
又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，
故x＋y的最大值为.
答案　B
15.已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则的值为________.
解析　∵·＝0，∴⊥，
以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，
＝(1，0)，＝(0，)，＝m＋n＝(m，n).
∵tan 30°＝＝，
∴m＝3n，即＝3.
答案　3
16.在△ABC中，点D满足＝，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝(λ－1)2＋μ2的最小值是________.
解析　因为＝，所以＝＋.
又＝λ＋μ，点E在线段AD上移动，
所以∥，则＝，即λ＝μ.
所以t＝(λ－1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝2＋.
当λ＝时，t的最小值是.
答案　
新高考创新预测
17.(多填题)直角△ABC中，AB＝AC＝2，D为AB边上的点，且＝2，则·＝________；若＝x＋y，则xy＝________.
解析　以A为原点，分别以，的方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(0，2)，D，则＝，＝(0，－2)，＝(2，－2)，则·＝·(0，－2)＝×0＋(－2)×(－2)＝4.由＝x＋y＝x(0，－2)＋y(2，－2)＝(2y，－2x－2y)＝得解得则xy＝.
答案　4