2020版数学（理）人教A版新设计大一轮讲义：第七章第6节第2课时利用空间向量求夹角和距离（距离供选用）

第2课时　利用空间向量求夹角和距离(距离供选用)

考点一　用空间向量求异面直线所成的角
【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
(2)(一题多解)(2019·河北、山西、河南三省联考)在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P－BC－A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
解析　(1)法一　以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.

图(1)
则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).
又在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝2，则A(－1，，0).
所以＝(1，－，1)，＝(1，0，1)，
则cos〈，〉＝
＝＝＝，
因此，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.
法二　将直三棱柱ABC－A1B1C1补形成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图(2))，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1.

图(2)
则∠B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角(或其补角)，易求得AB1＝，BC1＝AD1＝，B1D1＝.
由余弦定理得cos∠B1AD1＝.
(2)法一　取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，过点B作AC的平行线交AO的延长线于点D，连接PD，则∠PBD或其补角就是异面直线PB和AC所成的角.设AB＝a，则PB＝BD＝a，PO＝PD＝a，所以cos ∠PBD＝＝.

法二　如图，取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，即平面PAO⊥平面ABC.且∠POA就是其二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，建立空间直角坐标系如图所示.

设AB＝2，则A(，0，0)，C(0，－1，0)，B(0，1，0)，P，
所以＝(－，－1，0)，＝，
cos 〈，〉＝－，所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为.
法三　如图所示，取BC的中点O，连接OP，OA，

因为△ABC和△PBC是全等的等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角的平面角，设AB＝2，则＝－，＝－，
故·＝(－)·(－)＝－，
所以cos 〈，〉＝＝－.
即异面直线PB与AC所成角的余弦值为.
答案　(1)C　(2)A
规律方法　1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解.
2.两异面直线所成角的范围是θ∈，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.
【训练1】 (一题多解)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB，E，F分别为BC，BB1的中点，M，N分别为AA1，A1C1的中点，则直线MN与EF所成角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.
解析　法一　如图，在原三棱柱的上方，再放一个完全一样的三棱柱，连接AC1，CB1，C1B′，易得MN∥AC1，EF∥CB1∥C1B′，

那么∠AC1B′或∠AC1B′的补角即直线MN与EF所成的角.
设AA1＝AB＝a，
则AC1＝C1B′＝a，
连接AB′，则AB′＝＝3a，
由余弦定理得
cos ∠AC1B′＝＝－.
故直线MN与EF所成角的余弦值为.
法二　如图，连接AC1，C1B，CB1，

设C1B，CB1交于点O，取AB的中点D，连接CD，OD，
则MN∥AC1∥OD，EF∥CB1，
那么∠DOC或其补角即直线MN与EF所成的角.
设AA1＝AB＝a，则AC1＝CB1＝a，
于是OD＝OC＝，
又CD＝，于是△OCD为正三角形，
故∠DOC＝60°，cos ∠DOC＝，即直线MN与EF所成角的余弦值为.
法三　取AB的中点O，连接CO，则CO⊥AB，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过点O且平行于CC1的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB＝2，则AA1＝2，求得M(－1，0，)，
N，E，F(1，0，)，
所以＝，＝，
cos 〈，〉＝＝＝.
答案　C
考点二　用空间向量求线面角
【例2】 (2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.

(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.
(1)证明　因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.
连接OB，因为AB＝BC＝AC，
所以AB2＋BC2＝AC2，
所以△ABC为等腰直角三角形，
且OB⊥AC，OB＝AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.
(2)解　如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O－xyz.

由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，＝(0，2，2).取平面PAC的一个法向量＝(2，0，0).
设M(a，2－a，0)(0AD.设PC与DE所成角为α，PD与平面ABC所成角为β，二面角P－BC－A为γ，则(　　)

A.α