2020版数学（理）人教A版新设计大一轮讲义：第十章第8节离散型随机变量的均值与方差

第8节　离散型随机变量的均值与方差
考试要求　1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.

知 识 梳 理
1.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
称D(X)＝__(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差.
2.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
3.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
[微点提醒]
1.若x1，x2相互独立，则E(x1·x2)＝E(x1)·E(x2).
2.均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X).
3.超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.
基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.(　　)
(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.(　　)
(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.(　　)
(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.(　　)
解析　均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确.
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2.(选修2－3P68A1改编)已知X的分布列为
X
－1
0
1
P



设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)
A. B.4 C.－1 D.1
解析　E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
答案　A
3.(选修2－3P68练习2改编)若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________.
解析　∵P(X＝c)＝1，∴E(X)＝c×1＝c，
∴D(X)＝(c－c)2×1＝0.
答案　0

4.(2018·浙江卷)设0