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2020版数学(理)新设计大一轮人教A版新高考(鲁津京琼)讲义:第二章函数第6节
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第6节 对数与对数函数
考试要求 1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点;3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).
知 识 梳 理
1.对数的概念
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质:①alogaN=N;②logaab=b(a>0,且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
①loga(MN)=logaM+logaN;
②loga=logaM-logaN;
③logaMn=nlogaM(n∈R);
④loga mMn=logaM(m,n∈R,且m≠0).
(3)换底公式:logbN=(a,b均大于零且不等于1).
3.对数函数及其性质
(1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
00;
当00,且b≠1,m,n∈R.
2.在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),,函数图象只在第一、四象限.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)log2x2=2log2x.( )
(2)函数y=log2(x+1)是对数函数.( )
(3)函数y=ln与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.( )
(4)当x>1时,若logax>logbx,则ab>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
解析 ∵0b.
答案 D
3.(必修1P74A7改编)函数y=的定义域是________.
解析 由log(2x-1)≥0,得01,c>1 B.a>1,01或0b
解析 log =log3-15-1=log35,因为函数y=log3x在(0,+∞)上为增函数,所以log35>log3 >log33=1,因为函数y=在(-∞,+∞)上为减函数,所以a>b.
答案 D
3.(2019·张家界三模)在同一直角坐标系中,函数f(x)=2-ax,g(x)=loga(x+2)(a>0,且a≠1)的图象大致为( )
解析 由题意,知函数f(x)=2-ax(a>0,且a≠1)为单调递减函数,当01时,函数f(x)=2-ax的零点x=0,又g(x)=loga(x+2)在(-2,+∞)上是增函数,排除B,综上只有A满足.
答案 A
4.(2019·宁波二模)已知f(x)=lg(10+x)+lg(10-x),则( )
A.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是增函数
B.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是增函数
C.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是减函数
D.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是减函数
解析 由得x∈(-10,10),
且f(x)=lg(100-x2).
∴f(x)是偶函数,
又t=100-x2在(0,10)上单调递减,y=lg t在(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)在(0,10)上单调递减.
答案 D
5.(2019·临汾三模)已知函数f(x)=|ln x|,若f(m)=f(n)(m>n>0),则+=( )
A. B.1 C.2 D.4
解析 由f(m)=f(n),m>n>0,可知m>1>n>0,
∴ln m=-ln n,则mn=1.
所以+===2.
答案 C
二、填空题
6.lg+2lg 2-=________.
解析 lg+2lg 2-=lg+lg 22-2
=lg-2=1-2=-1.
答案 -1
7.(2019·昆明诊断)设f(x)=lg是奇函数,则使f(x)f(4).
又因为函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,
所以|x2-1|1时,g(x)=loga(x-1)为增函数,排除B,D;当0
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