2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第三章　函数概念与基本初等函数Ⅰ3.2

§3.2　函数的单调性与最值
最新考纲
考情考向分析
1.理解函数的单调性，会判断函数的单调性．
2.理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小)值.
以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.



1．函数的单调性
(1)单调函数的定义

增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
定义
当x10)的增区间．
提示　(－∞，－]和[，＋∞)．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)b>a C．a>c>b D．b>a>c
答案　D
解析　根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f＝f，且2c.
命题点2　解函数不等式
例4 若f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是(　　)
A．(8，＋∞) B．(8,9]
C．[8,9] D．(0,8)
答案　B
解析　2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，
由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，
因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，
所以有解得80成立，那么a的取值范围是________．
答案　
解析　对任意x1≠x2，都有＞0.
所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
所以解得≤a＜2.
故实数a的取值范围是.
(2)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则不等式f(x)>0的解集为________________．
答案　
解析　由题意知，f ＝－f ＝0，
f(x)在(－∞，0)上也单调递增．
∴f(x)＞f 或f(x)＞f ，
∴x＞或－＜x＜0，
解得0＜x＜或1＜x＜3.
∴原不等式的解集为.


1．(2018·台州路桥中学检测)如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a的取值范围是(　　)
A．a≤－3 B．a≥－3
C．a≤5 D．a≥5
答案　A
解析　由题意得，函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的对称轴为x＝1－a，所以二次函数的单调递减区间为(－∞，1－a]，又函数在区间(－∞，4]上单调递减，所以1－a≥4，所以a≤－3.
2．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
答案　B
解析　设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝当x1≠x2时，c
解析　∵f(x)在R上是奇函数，
∴a＝－f＝f＝f(log25)．
又f(x)在R上是增函数，
且log25>log24.1>log24＝2>20.8，
∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8)，∴a>b>c.
8．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
答案　[0,1)
解析　由题意知g(x)＝
函数g(x)的图象如图所示，其单调递减区间为[0,1)．

9．函数f(x)＝＋的值域为________．
答案　[，]
解析　由题意得，0≤x≤2，
∴设x＝2cos2θ，
∴f(x)＝＋＝2sin θ＋cos θ＝sin(θ＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝，
而φ≤θ＋φ≤＋φ，
∴≤sin(θ＋φ)≤1，故所求值域是[，]．
10．设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．
答案　(－∞，1]∪[4，＋∞)
解析　作函数f(x)的图象如图所示，

由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，
即a≤1或a≥4.
11．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
(1)证明　设x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2)解　设1＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为a＞0，x2－x1＞0，
所以要使f(x1)－f(x2)＞0，
只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，
所以a≤1.综上所述，0＜a≤1.
12．函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．
解　f(x)＝42－2a＋2，
①当≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数．
∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.
由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.
∵a≤0，∴a＝1－.
②当0