2020版高考新创新一轮复习数学（理）通用版讲义：第九章第八节　第2课时　解题上——5大技法破解“计算繁而杂”这一难题

第2课时　解题上——5大技法破解“计算繁而杂”这一难题
中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．因此，本讲从以下5个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程，达到快准解题．

回归定义，以逸待劳
回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．
[典例]　如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
[解题观摩]　由已知，得F1(－，0)，F2(，0)，
设双曲线C2的实半轴长为a，
由椭圆及双曲线的定义和已知，
可得解得a2＝2，
故a＝.所以双曲线C2的离心率e＝＝.
[答案]　D
[题后悟通]
本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．　　

[针对训练]
1.如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　由题可得＝＝＝＝，故选A.
2．抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(－m,0)，则的最小值为________．
解析：设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|＝xP＋m，
又|PA|2＝(xP＋m)2＋y＝(xP＋m)2＋4mxP，
则2＝＝≥＝(当且仅当xP＝m时取等号)，
所以≥，
所以的最小值为.
答案：


设而不求，金蝉脱壳

设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．
[典例]　已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[解题观摩]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
①－②得＋＝0，
所以kAB＝＝－＝.
又kAB＝＝，所以＝.
又9＝c2＝a2－b2，
解得b2＝9，a2＝18，
所以椭圆E的方程为＋＝1.
[答案]　D
[题后悟通]
(1)本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．
(2)在运用圆锥曲线问题中设而不求的方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．　　
[针对训练]
1．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　设OE的中点为G，由题意设直线l的方程为y＝k(x＋a)，分别令x＝－c与x＝0得|FM|＝k(a－c)，|OE|＝ka，由△OBG∽△FBM，得＝，即＝，整理得＝，所以椭圆C的离心率e＝，故选A.
2．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∴＋＝0，
∴＝－·.
∵＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴－＝－，∴a2＝2b2.
又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴＝.
即椭圆C的离心率e＝.
答案：

巧设参数，变换主元
换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．
常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．
[典例]　设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞.
[解题观摩]　法一：依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．
联立消去y0并整理，得x＝.①
由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，
得(x0＋a)2＋k2x＝a2，
整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.
而x0≠0，于是x0＝，
代入①，整理得(1＋k2)2＝4k22＋4.
又a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4，
即k2＋1＞4，因此k2＞3，所以|k|＞.
法二：依题意，直线OP的方程为y＝kx，
可设点P的坐标为(x0，kx0)．
由点P在椭圆上，得＋＝1.
因为a＞b＞0，kx0≠0，所以＋＜1，
即(1＋k2)x＜a2.②
由|AP|＝|OA|及A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x＝a2，
整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0，于是x0＝，
代入②，得(1＋k2)·＜a2，
解得k2＞3，所以|k|＞.
法三：设P(acos θ，bsin θ)(0≤θ＜2π)，
则线段OP的中点Q的坐标为.
|AP|＝|OA|⇔AQ⊥OP⇔kAQ×k＝－1.
又A(－a,0)，所以kAQ＝，
即bsin θ－akAQcos θ＝2akAQ.
从而可得|2akAQ|≤ ＜a，
解得|kAQ|＜，故|k|＝＞.
[题后悟通]
求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量．　　
[针对训练]
设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，求r的取值范围．
解：不妨设直线l的方程为x＝ty＋m，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入抛物线y2＝4x并整理得y2－4ty－4m＝0，
则有Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m，
那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m，
可得线段AB的中点M(2t2＋m,2t)，
而由题意可得直线AB与直线MC垂直，
即kMC·kAB＝－1，可得·＝－1，整理得m＝3－2t2(当t≠0时)，
把m＝3－2t2代入Δ＝16t2＋16m＞0，
可得3－t2＞0，即0＜t2＜3，
又由于圆心到直线的距离等于半径，
即d＝＝＝2＝r，
而由0＜t2＜3可得2＜r＜4.


妙借向量，无中生有

平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．
[典例]　如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
[解题观摩]　把y＝代入椭圆＋＝1，
可得x＝±a，那么B，C，
而F(c,0)，
那么＝，＝，
又∠BFC＝90°，
故有·＝·＝c2－a2＋b2＝c2－a2＋(a2－c2)＝c2－a2＝0，
则有3c2＝2a2，所以该椭圆的离心率为e＝＝.
[答案]　
[题后悟通]
本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．　　
[针对训练]
已知椭圆C的标准方程为＋＝1，圆O的方程为x2＋y2＝2，设P，Q分别是椭圆C和圆O上位于y轴两侧的动点，若直线PQ与x轴平行，直线AP，BP与y轴的交点记为M，N，试判断∠MQN是否为定值，若是，请证明你的结论；若不是，请举出反例说明．

解：∠MQN是定值90°，证明如下：
设P(x0，y0)，直线AP：y＝k(x＋2)(k≠0)，
令x＝0可得M(0,2k)，
将＋＝1与y＝k(x＋2)联立，
整理可得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，
则－2x0＝，可得x0＝，y0＝，
故P.
直线BP斜率kBP＝＝－，
则直线BP：y＝－(x－2)，
令x＝0可得N，设Q(xQ，y0)，
则＝(－xQ,2k－y0)，＝，
由x＋y＝2，y0＝，
可得·＝x＋y＋2－y0＝0，
所以QM⊥QN，故∠MQN是定值90°.

巧用“韦达”，化繁为简

某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．
[典例]　已知椭圆＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点．
(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．
[解题观摩]　(1)直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得5x2＋16x＋12＝0.
解得x1＝－2，x2＝－，所以M.
(2)设直线AM的斜率为k，直线AM的方程为y＝k(x＋2)，
联立方程
化简得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.
则xA＋xM＝，
xM＝－xA－＝2－＝.
同理，可得xN＝.
由(1)知若存在定点，则此点必为P.
证明如下：
因为kMP＝＝＝，
同理可计算得kPN＝.
所以直线MN过x轴上的一定点P.
[题后悟通]
本例在第(2)问中应用了根与系数的关系求出xM＝，这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．　　
[针对训练]
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P，左、右焦点分别为F1，F2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的内切圆半径为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．
解：(1)由＝，得a＝2c，所以a2＝4c2，b2＝3c2，
将点P的坐标代入椭圆方程得c2＝1，
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)由(1)可知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，
代入椭圆方程，整理得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，
显然判别式大于0恒成立，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△AF2B的内切圆半径为r0，
则有y1＋y2＝，y1y2＝，r0＝，
所以S△AF2B＝S△AF1F2＋S△BF1F2＝|F1F2|·|y1－y2|
＝|F1F2|·＝.
而S△AF2B＝|AB|r0＋|BF2|r0＋|AF2|r0
＝r0(|AB|＋|BF2|＋|AF2|)
＝r0(|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＋|AF2|)
＝r0·4a＝×8×＝，
所以＝，解得t2＝1，
因为所求圆与直线l相切，所以半径r＝＝，
所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.
[课时跟踪检测]
1．(2018·惠州二模)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝，故选D.
2．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　　)
A．　　　　　　　　　　 B．
C． D．1
解析：选C　如图所示，
设P(x0，y0)(y0＞0)，则y＝2px0，
即x0＝.
设M(x′，y′)，由＝2，
得化简可得
∴直线OM的斜率k＝＝＝≤＝(当且仅当y0＝p时取等号)．
3．(2019·合肥质检)如图，椭圆＋＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为(　　)
A．20 B．10
C．2 D．4
解析：选D　由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(－c,0)， ∴点N的横坐标为c，联立方程，得得N，∴H，M.把点M的坐标代入椭圆方程得＋＝1，化简得c2＝，又c2＝a2－4，∴＝a2－4，解得a2＝5，∴a＝.由椭圆的定义知|NF2|＋|NF1|＝|MF2|＋|MF1|＝2a，∴△F2MN的周长为|NF2|＋|MF2|＋|MN|＝|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|＝4a＝4，故选D.

4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c,0)，P为双曲线上任一点，且·最小值的取值范围是，则该双曲线的离心率的取值范围为(　　)
A．(1，] B．[，2]
C．(0，] D．[2，＋∞)
解析：选B　设P(x0，y0)，
则·＝(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)
＝x－c2＋y＝a2－c2＋y，
上式当y0＝0时取得最小值a2－c2，
根据已知－c2≤a2－c2≤－c2，
所以c2≤a2≤c2，即2≤≤4，即≤≤2，
所以所求双曲线的离心率的取值范围是[，2]．
5．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若＝λ (λ＞1)，则λ的值为(　　)
A．5 B．4
C． D．
解析：选B　根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由＝λ，得＝λ，
故－y1＝λy2，即λ＝－.
设直线AB的方程为y＝，
联立直线与抛物线方程，消去x，得y2－py－p2＝0.
故y1＋y2＝p，y1y2＝－p2，
则＝＋＋2＝－，
即－λ－＋2＝－.
又λ＞1，解得λ＝4.
6．中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为________．
解析：由已知得c＝5，
设椭圆的方程为＋＝1，
联立
消去y得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，
设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由根与系数的关系得x1＋x2＝，
由题意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝75，
所以该椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7．已知AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则·的最小值为________．
解析：由题意，设A(cos θ，sin θ)，P(x，x＋2)，
则B(－cos θ，－sin θ)，
∴＝(cos θ－x，sin θ－x－2)，
＝(－cos θ－x，－sin θ－x－2)，
∴·＝(cos θ－x)(－cos θ－x)＋(sin θ－x－2)·(－sin θ－x－2)
＝x2＋(x＋2)2－cos2θ－sin2θ
＝2x2＋4x＋3
＝2(x＋1)2＋1，
当且仅当x＝－1，即P(－1，1)时，·取最小值1.
答案：1
8．(2019·武汉调研)已知A，B分别为椭圆＋＝1(0＜b＜3)的左、右顶点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的不同两点，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，若点A到直线y＝ x的距离为1，则该椭圆的离心率为________．
解析：根据椭圆的标准方程＋＝1(0＜b＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，A(－3,0)，B(3,0)，设P(x0，y0)，Q(x0，－y0)，则＋＝1，kAP＝m＝，kBQ＝n＝，∴mn＝＝，∴＝，∴直线y＝ x＝x，即x－3y＝0.又点A到直线y＝ x的距离为1，∴＝＝1，解得b2＝，∴c2＝a2－b2＝，∴e＝＝＝.
答案：
9．已知椭圆C：＋y2＝1过点A(2,0)，B(0,1)两点．设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
解：设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4，
又A(2,0)，B(0,1)，
所以，直线PA的方程为y＝(x－2)，
令x＝0，得yM＝－，
从而|BM|＝1－yM＝1＋，
直线PB的方程为y＝x＋1，
令y＝0，得xN＝－，
从而|AN|＝2－xN＝2＋，
所以四边形ABNM的面积
S＝|AN||BM|＝
＝
＝＝2，
从而四边形ABNM的面积为定值．
10．已知离心率为的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|＝.
(1)求此椭圆的方程；
(2)已知直线y＝kx＋2与椭圆交于C，D两点，若以线段CD为直径的圆过点E(－1,0)，求k的值．
解：(1)设焦距为2c，∵e＝＝，a2＝b2＋c2，
∴＝.由题意可知＝，∴b＝1，a＝，
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)将y＝kx＋2代入椭圆方程，得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，
又直线与椭圆有两个交点，
所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)＞0，解得k2＞1.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
若以CD为直径的圆过E点，
则·＝0，
即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0，
而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，
所以(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2
＝(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5
＝－＋5＝0，
解得k＝，满足k2＞1，所以k＝.