2020版高考新创新一轮复习数学（理）通用版讲义：第九章第二节　第1课时　系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系

第二节　圆与方程
[考纲要求]
1．掌握确定圆的几何要素．
2．掌握圆的标准方程与一般方程．
3．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系．
4．能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
5．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
6．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．　　　

第1课时　系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系


圆的方程
1．圆的定义及方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心：(a，b)
半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
圆心：
半径：r＝
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
理论依据
点到圆心的距离与半径的大小关系
三种情况
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内

[提醒]　不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．
[谨记常用结论]
　　

1.圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1,3)，则圆C的方程为____________．
答案：(x－2)2＋y2＝10

2.经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为________________．
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝1
3.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________．
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2
4.已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1,2)，要使过定点A的圆的切线有两条，则a的取值范围是________．
答案：
5．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是________．
答案：(－，)
6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________．
答案：x2＋y2－2x＝0

直线与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)

相离
相切
相交
图形



量化
方程观点
Δ＜0
Δ＝0
Δ＞0
几何观点
d＞r
d＝r
d＜r

2．圆的切线
(1)过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(2)过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.
(3)切线长
①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 .
②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝.
[提醒]　过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．
3．圆的弦问题
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
(1)几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2.
(2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：
|AB|＝|x1－x2|＝ |y1－y2|.
[谨记常用结论]
过直线Ax＋By＋C＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.,　

1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－1]　　　　　 　B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案：C
2.直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．随a的变化而变化
解析：选B　∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．
3.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．
解析：由题意知点M在圆外，则a2＋b2＞1，圆心到直线的距离d＝＜1，故直线与圆相交．
答案：相交
4.过点(2,3)且与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________________．
解析：当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为1，得k＝，所以切线方程为4x－3y＋1＝0；当切线的斜率不存在时，易知直线x＝2是圆的切线，所以所求的直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.
答案：x＝2或4x－3y＋1＝0
5．以M(1,0)为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是________．
答案：(x－1)2＋y2＝8
6．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.
∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝2.
答案：2

圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)

相离
外切
相交
内切
内含
图形





量的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|

[提醒]　涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．
[谨记常用结论]
圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：
(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).　

1.圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为________．
答案：2
2.若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝________.
答案：±2或0
3.圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则半径r＝________.
解析：由题意，得2r＝，所以r＝.
答案：
4.若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．
答案：[1,121]
5．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)
A．21 B．19
C．9 D．－11
解析：选C　圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m＜25)．从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故选C.
6．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选A　两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.
[课时跟踪检测]
1．(2019·广西陆川中学期末)圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置关系是(　　)
A．内含　　　　　　　　　 　B．外离
C．外切 D．相交
解析：选D　圆C1的标准方程为(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，圆C2的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝9，两圆的圆心距为＝3，两圆的半径为r1＝5，r2＝3，满足r1＋r2＝8＞3＞2＝r1－r2，故两圆相交．故选D.
2．(2019·闽侯第八中学期末)若圆Ω过点(0，－1)，(0,5)，且被直线x－y＝0截得的弦长为2，则圆Ω的方程为(　　)
A．x2＋(y－2)2＝9或(x＋4)2＋(y－2)2＝25
B．x2＋(y－2)2＝9或(x－1)2＋(y－2)2＝10
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝25或(x＋4)2＋(y－2)2＝17
D．(x＋4)2＋(y－2)2＝25或(x－4)2＋(y－1)2＝16
解析：选A　由于圆过点(0，－1)，(0,5)，故圆心在直线y＝2上，设圆心坐标为(a,2)，由弦长公式得＝，解得a＝0或a＝－4.故圆心为(0,2)，半径为3或圆心为(－4,2)，半径为5，故选A.
3．(2019·北京海淀期末)已知直线x－y＋m＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且△OAB为正三角形，则实数m的值为(　　)
A. B.
C.或－ D.或－
解析：选D　由题意得圆O：x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径r＝1.
因为△OAB为正三角形，则圆心O到直线x－y＋m＝0的距离为r＝，即d＝＝，解得m＝或m＝－，故选D.
4．(2019·南宁、梧州联考)直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角为(　　)
A.或 B.－或
C．－或 D.
解析：选A　由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d＝＝1.即d＝＝1，所以k＝±，由k＝tan α，得α＝或.故选A.
5．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　)
A．(x－2)2＋2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D.2＋(y－1)2＝1
解析：选A　由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a,1)(a＞0)，又由圆与直线4x－3y＝0相切可得＝1，解得a＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
6．(2019·西安联考)直线y－1＝k(x－3)被圆(x－2)2＋(y－2)2＝4所截得的最短弦长等于(　　)
A. B．2
C．2 D.
解析：选C　圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的圆心C(2,2)，半径为2，直线y－1＝k(x－3)， ∴此直线恒过定点P(3,1)，当圆被直线截得的弦最短时，圆心C(2,2)与定点P(3,1)的连线垂直于弦，弦心距为＝，所截得的最短弦长为2＝2，故选C.
7．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝2均相切，则该圆的标准方程为(　　)
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝4
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2
C．(x－2)2＋(y＋2)2＝4
D．(x－2)2＋(y＋2)2＝4
解析：选C　设圆心坐标为(2，－a)(a＞0)，则圆心到直线x＋y＝2的距离d＝＝2，∴a＝2，∴该圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4，故选C.
8．(2018·唐山二模)圆E经过A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)三点，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　　)
A.2＋y2＝ B.2＋y2＝
C.2＋y2＝ D.2＋y2＝
解析：选C　根据题意，设圆E的圆心坐标为(a,0)(a＞0)，半径为r，
则有解得a＝，r2＝，则圆E的标准方程为2＋y2＝.故选C.
9．(2018·合肥二模)已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为(　　)
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100
C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25
解析：选C　因为圆C的圆心的坐标C(6,8)，
所以OC的中点坐标为E(3,4)，
所求圆的半径|OE|＝＝5，
故以OC为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故选C.
10．(2018·荆州二模)圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．－1
解析：选B　∵圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，∴直线y＝kx＋3过圆心(1,1)，即1＝k＋3，解得k＝－2.故选B.
11．(2019·厦门质检)圆C与x轴相切于T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为(　　)
A．(x－1)2＋(y－)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4
解析：选A　由题意得，圆C的半径为＝，圆心坐标为(1，)，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2，故选A.
12．(2019·孝义一模)已知P为直线x＋y－2＝0上的点，过点P作圆O：x2＋y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，则这样的点P有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：选B　连接OM，ON，则OM＝ON，∠MPN＝∠ONP＝∠OMP＝90°，
∴四边形OMPN为正方形，
∵圆O的半径为1，∴|OP|＝，
∵原点(圆心)O到直线x＋y－2＝0的距离为，
∴符合条件的点P只有一个，故选B.
13．(2019·北京东城联考)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“|AB|＝”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，∴圆心到直线的距离d＝，则|AB|＝2＝2＝2，当k＝1时，|AB|＝2 ＝，即充分性成立；若|AB|＝，则2＝，即k2＝1，解得k＝1或k＝－1，即必要性不成立，故“k＝1”是“|AB|＝”的充分不必要条件，故选A.
14．已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是________________．
解析：因为圆C与两轴相切，且M是劣弧的中点，所以直线CM是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为，所以|OM|＝－1，所以M，所以切线方程为y－1＋＝x－＋1，整理得x－y＋2－＝0.
答案：x－y＋2－＝0
15．(2018·枣庄二模)已知圆M与直线x－y＝0及x－y＋4＝0都相切，且圆心在直线y＝－x＋2上，则圆M的标准方程为________________．
解析：∵圆M的圆心在y＝－x＋2上，
∴设圆心为(a,2－a)，
∵圆M与直线x－y＝0及x－y＋4＝0都相切，
∴圆心到直线x－y＝0的距离等于圆心到直线x－y＋4＝0的距离，
即＝，解得a＝0，
∴圆心坐标为(0,2)，圆M的半径为＝，
∴圆M的标准方程为x2＋(y－2)2＝2.
答案：x2＋(y－2)2＝2
16．(2019·天津联考)以点(0，b)为圆心的圆与直线y＝2x＋1相切于点(1,3)，则该圆的方程为____________________．
解析：由题意设圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
根据条件得解得∴该圆的方程为x2＋2＝.
答案：x2＋2＝
17．(2019·丹东联考)经过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆的半径是________．
解析：易知圆心在线段AC的垂直平分线y＝－2上，所以设圆心坐标为(a，－2)，由(a－1)2＋(－2－3)2＝(a－4)2＋(－2－2)2，得a＝1，即圆心坐标为(1，－2)，∴半径为r＝＝5.
答案：5
18．(2019·镇江联考)已知圆C与圆x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C的标准方程为____________________．
解析：设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其圆心为C(a，b)，半径为r(r＞0)．
∵x2＋y2＋10x＋10y＝0可化简为(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，
∴其圆心为(－5，－5)，半径为5.
∵两圆相切于原点O，且圆C过点(0，－6)，点(0，－6)在圆(x＋5)2＋(y＋5)2＝50内，
∴两圆内切，∴
解得a＝－3，b＝－3，r＝3，
∴圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋3)2＝18.
答案：(x＋3)2＋(y＋3)2＝18