2020版高考新创新一轮复习数学（理）通用版讲义：第六章第三节　等比数列及其前n项和

第三节　等比数列及其前n项和


　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.理解等比数列的概念．
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列有关知识解决相应的问题．
4.了解等比数列与指数函数的关系．

突破点一　等比数列的基本运算


1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：Sn＝

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)
(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　　)
(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)
(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

二、填空题
1．已知递增的等比数列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，则＝________.
答案：
2．各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝2，a6＝a1a2a3，则公比q的值为________．
答案：2
3．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．
答案：4
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn等于________．
答案：n－1


1．(2019·山东测试)已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项和S5＝(　　)
A.　　　　　　　　 B．31
C. D．以上都不正确
解析：选B　设{an}的公比为q，则q>0且q≠1.由已知得a4＋3a3＝2×5a2，即a2q2＋3a2q＝10a2，q2＋3q－10＝0，解得q＝2或q＝－5(舍去)，又a2＝2，则a1＝1，所以S5＝＝＝31.
2．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.
解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝＝2n－1.
由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.

解决等比数列基本量计算问题的常用思想方法
(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．
(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.

1．(2019·豫北重点中学联考)数列{an}满足a4＝27，an＋1＝－3an(n∈N*)，则a1＝(　　)
A．1 B．3
C．－1 D．－3

解析：选C　由题意知数列{an}是以－3为公比的等比数列，
∴a4＝a1(－3)3＝27，∴a1＝＝－1.故选C.


2．(2019·绵阳诊断性考试)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B　设数列{an}的公比为q，则显然q≠1，由题意得解得或(舍去)，∴S5＝＝＝.
3．(2019·兰州诊断性测试)设数列{an＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a3＝7，a7＝127.
(1)求a5的值；
(2)求数列{an}的前n项和．
解：(1)由题可知a3＋1＝8，a7＋1＝128，则有(a5＋1)2＝(a3＋1)(a7＋1)＝8×128＝1 024，可得a5＋1＝32，即a5＝31.
(2)设数列{an＋1}的公比为q，由(1)知得
所以数列{an＋1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋1＝2×2n－1＝2n，所以an＝2n－1，
利用分组求和可得，数列{an}的前n项和Sn＝－n＝2n＋1－2－n.
突破点二　等比数列的性质


(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列．
(4)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列，其公比为qk.
(5)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．

1．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝________.
答案：4
2．(2019·长春调研)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.
答案：14
3．已知等比数列{an}中，a2＋a3＝1，a4＋a5＝2，则a6＋a7等于________．
答案：4
4．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于________．
答案：


1．(2019·洛阳尖子生高三第一次联考)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，则的值为(　　)
A．－　　　　　　 B．－
C. D．－或
解析：选B　设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3<0，a15<0，则a9＝－，所以＝＝a9＝－，故选B.
2．(2019·丽水模拟)设各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于(　　)
A．150 B．－200
C．150或－200 D．400或－50
解析：选A　易知S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又S20>0，所以S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，所以S40＝150.故选A.




应用等比数列性质解题时的2个注意点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．

1．(2019·惠州调研)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)
A．12 B．10
C．8 D．2＋log35
解析：选B　∵a5a6＋a4a7＝18，∴a5a6＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.
2．(2019·兰州一中测试)在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝，a2a3＝－，则＋＋＋等于(　　)
A. B．
C．－ D．－
解析：选D　＋＋＋＝＋.
∵在等比数列{an}中，a1·a4＝a2·a3，
∴原式＝＝×＝－.故选D.
3．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝(　　)
A．135 B．100
C．95 D．80
解析：选A　由等比数列前n项和的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其首项为40，公比为＝，所以a7＋a8＝40×3＝135.
突破点三　等比数列的判定与证明
[典例]　(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
[解]　(1)由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
理由如下：
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，
又b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
[方法技巧]
等比数列的4种常用判定方法
定义法
若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公式法
若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列
[提醒]　(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．
(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．
[针对训练]
(2019·湖北八校联考)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＝4an＋1－4an.
(1)求证：数列{an＋1－2an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：由an＋2＝4an＋1－4an得an＋2－2an＋1＝2an＋1－4an＝2(an＋1－2an)＝22(an－2an－1)＝…＝2n(a2－2a1)≠0，∴＝2，∴{an＋1－2an}是等比数列．
(2)由(1)可得an＋1－2an＝2n－1(a2－2a1)＝2n，
∴－＝，
∴是首项为，公差为的等差数列，
∴＝，an＝n·2n－1.
[课时跟踪检测]
[A级　基础题——基稳才能楼高]
1．(2019·榆林名校联考)在等比数列{an}中，a1＝1，a3＝2，则a7＝(　　)
A．－8　　　　　　　　　 B．8
C．8或－8 D．16或－16
解析：选B　设等比数列{an}的公比为q，∵a1＝1，a3＝2，∴q2＝2，
∴a7＝a3q4＝2×22＝8.故选B.
2．(2019·六安一中调研)已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值是(　　)
A.或－ B．－
C. D．
解析：选C　由题意得a1＋a2＝5，b＝4，又b2与第一项的符号相同，
所以b2＝2.所以＝.故选C.
3．(2019·湖北稳派教育联考)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a11＝4，a6a12＝8，则a8a9＝(　　)
A．12 B．4
C．6 D．32
解析：选B　由等比数列的性质得a＝a5a11＝4，a＝a6a12＝8，
∵an>0，∴a8＝2，a9＝2，∴a8a9＝4.故选B.
4．(2019·成都模拟)设{an}是公比为负数的等比数列，a1＝2，a3－4＝a2，则a3＝(　　)
A．2 B．－2
C．8 D．－8
解析：选A　法一：设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝2，a3－a2＝a1(q2－q)＝4，所以q2－q＝2，解得q＝2(舍去)或q＝－1，所以a3＝a1q2＝2，故选A.
法二：若a3＝2，则a2＝2－4＝－2，此时q＝－1，符合题意，故选A.

5．(2019·益阳、湘潭高三调研)已知等比数列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，则的值为(　　)
A．3 B．5
C．9 D．25
解析：选D　设等比数列{an}的公比为q，则a4a7＝·a5q2＝9q＝45，所以q＝5，
所以＝＝q2＝25.故选D.
[B级　保分题——准做快做达标]
1．(2019·长沙一模)设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则(　　)
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an
解析：选D　由等比数列前n项和公式Sn＝，代入数据可得Sn＝3－2an.
2．(2019·山东五校联考)已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，且S2＝2，S4＝8，则S8＝(　　)
A．16 B．128
C．54 D．80
解析：选D　由等比数列的性质可得S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6也成等比数列，
∴(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，∵S2＝2，S4＝8，∴36＝2(S6－8)，即S6＝26.
又(S4－S2)(S8－S6)＝(S6－S4)2，∴S8＝54＋S6＝80.故选D.
3．(2019·湖北华师一附中联考)在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝(　　)
A．1 B．±1
C．2 D．±2
解析：选A　因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，a1＝＝1，故选A.
4．(2018·南宁测试)等差数列{an}的公差是2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　)
A．n(n＋1) B．n(n－1)
C. D．
解析：选A　由已知得，a＝a2·a8，因为{an}是公差为2的等差数列，故(a2＋2d)2＝a2·(a2＋6d)，(a2＋4)2＝a2·(a2＋12)，解得a2＝4，所以an＝a2＋(n－2)d＝2n，故Sn＝＝n(n＋1)．
5．(2019·吉林部分学校高三仿真考试)《张丘建算经》中“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里路，问每天走的里数为多少？”，则该匹马第一天走的里数为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B　由题意知该匹马每日所走的路程成等比数列{an}，且公比q＝，S7＝700，由等比数列的求和公式得Sn＝＝700，解得a1＝，故选B.
6．(2019·衡水中学调研)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且<1，若a3＋a5＝20，a3a5＝64，则S4＝(　　)
A．63或120 B．256
C．120 D．63
解析：选C　由题意得解得或又<1，所以数列{an}为递减数列，故设等比数列{an}的公比为q，则q2＝＝，因为数列为正项等比数列，所以q＝，从而a1＝64，所以S4＝＝120.选C.
7．(2019·衡水模拟)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于(　　)
A．80 B．30
C．26 D．16
解析：选B　由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．
设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．
由(x－2)2＝2×(14－x)，
解得x＝6或x＝－4(舍去)．
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．
又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.
8．(2019·湖北黄石三中检测)已知数列{an}是递增的等比数列，且a4a6－2a＋a2a4＝144，则a5－a3＝(　　)
A．6 B．8
C．10 D．12
解析：选D　∵{an}是递增的等比数列，∴由a4a6－2a＋a2a4＝144，a5－a3>0可得a－2a3a5＋a＝144，(a5－a3)2＝144，∴a5－a3＝12，故选D.
9．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝－24，a4＝－，则当Tn取得最大值时，n的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选C　设等比数列{an}的公比为q，则a4＝－24q3＝－，所以q3＝，q＝，易知此等比数列各项均为负数，则当n为奇数时，Tn为负数，当n为偶数时，Tn为正数，所以Tn取得最大值时，n为偶数，排除B，而T2＝(－24)2×＝24×8＝192，T4＝(－24)4× 6＝84×＝>192，T6＝(－24)6×15＝86×9＝＝×<，所以T4最大．故选C.
10．(2019·南昌模拟)在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＋a3an－2＝256，且前n项和Sn＝126，则n＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C　∵a2an－1＋a3an－2＝2a1an＝256，∴a1an＝128，
由解得或设等比数列{an}的公比为q，
①当时，Sn＝＝＝＝126，解得q＝2，∴n＝6.
②当时，Sn＝＝＝＝126，解得q＝，∴n＝6.
综上n＝6.故选C.
11．(2019·惠州一调)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a，a2＝1，则a1＝________.
解析：∵a3a9＝a，∴a＝2a，设等比数列{an}的公比为q，∴q2＝2，
由于q>0，解得q＝，∴a1＝＝.
答案：
12．(2019·江西师范大学附属中学期中)若等比数列{an}满足a2a4＝a5，a4＝8，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，∵a2a4＝a5，a4＝8，
∴解得∴Sn＝＝2n－1.
答案：2n－1
13．(2019·仙桃测试)各项均为正数的等比数列{an}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是________．
解析：设{an}的公比为q，则根据题意得q＝＝，∴≤q≤2，a4＝a3q≥，a4＝a2q2≤8，∴a4∈.
答案：
14．(2019·武汉模拟)已知等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，设{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若n2(Tn＋1)＝2nSn，n∈N*，则d＝________，q＝________.
解析：由题意得，＝⇒＝，∴q＝2，＝1，a1＝，＝1，此时d＝2，q＝2.
答案：2　2
15．在数列{an}中，a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解：(1)证明：∵a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，
∴(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，
即＝.
∵a1＝2，a2＝5，∴a1＋1＝3，a2＋1＝6，∴＝2，
∴数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)知，an＋1＝3·2n－1，
∴an＝3·2n－1－1，∴Sn＝－n＝3·2n－n－3.
16．设数列{an}的各项均为正数，且a2＝4a1，an＋1＝a＋2an(n∈N*)．
(1)证明：数列{log3(1＋an)}为等比数列；
(2)设数列{log3(an＋1)}的前n项和为Tn，求使Tn>520成立时n的最小值．
解：(1)证明：由已知，得a2＝a＋2a1＝4a1，
则a1(a1－2)＝0，
因为数列{an}的各项均为正数，所以a1＝2.
因为an＋1＋1＝(an＋1)2>0，
所以log3(an＋1＋1)＝2log3(an＋1)．
又log3(a1＋1)＝log33＝1，
所以数列{log3(1＋an)}是首项为1，公比为2的等比数列．
(2)由(1)可知，log3(1＋an)＝2n－1，
所以Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.
由Tn>520，得2n>521(n∈N*)，得n≥10.
则使Tn>520成立时n的最小值为10.