2020版高考新创新一轮复习数学（理）通用版讲义：第九章第四节　双曲线

第四节　双曲线
[考纲要求]
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．
2．知道双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
3．了解双曲线的简单应用．
4．理解数形结合思想．　　　
突破点一　双曲线的定义和标准方程


1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.
(1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．
2．标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)；
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.(　　)
(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
二、填空题
1．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
答案：44
2．经过点P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________．
答案：－＝1
3．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________．
答案：


考法一　双曲线的定义及应用　
(1)在解决与双曲线的焦点有关的问题时，通常考虑利用双曲线的定义解题；
(2)在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的“差的绝对值”，弄清是整个双曲线还是双曲线的某一支．
[例1]　(1)(2019·宁夏育才中学月考)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于(　　)
A．1　　　　　　　　　 　B．17
C．1或17 D．以上均不对
(2)已知点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是(　　)
A．6 B．8
C．10 D．12
[解析]　(1)根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒PF2＝1或17.
又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17，故选B.
(2)由题意可知C3，C2的圆心分别是双曲线C1：－＝1的左、右焦点，点P在双曲线的左支上，则|PC2|－|PC3|＝8.
|PQ|max＝|PC2|＋1，|PR|min＝|PC3|－1，
所以|PQ|－|PR|的最大值为(|PC2|＋1)－(|PC3|－1)＝|PC2|－|PC3|＋2＝8＋2＝10.故选C.
[答案]　(1)B　(2)C
[方法技巧]
双曲线定义的主要应用方面
(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．　　
考法二　双曲线的标准方程　
待定系数法求双曲线方程的5种类型
类型一
与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)
类型二
若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)
类型三
与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)
类型四
过两个已知点的双曲线的标准方程可设为－＝1(mn＞0)或者＋＝1(mn＜0)
类型五
与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2)

[例2]　(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[解析]　法一：如图，不妨设A在B的上方，则A，B.
又双曲线的一条渐近线为bx－ay＝0，
则d1＋d2＝＝＝2b
＝6，所以b＝3.
又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，所以a＝.
所以双曲线的方程为－＝1.
法二：由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
[答案]　C
[方法技巧]
求双曲线方程的思路
(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．
(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：
一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．　　

1.虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为(　　)
A．3 B．16＋
C．12＋ D．24
解析：选B　∵2b＝2，e＝＝3，∴b＝1，c＝3a，
∴9a2＝a2＋1，∴a＝.
由双曲线的定义知：|AF2|－|AF1|＝2a＝， ①
|BF2|－|BF1|＝， ②
①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝，
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，
∴|AF2|＋|BF2|＝8＋，则△ABF2的周长为16＋，故选B.
2.设k＞1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是(　　)
A．长轴在x轴上的椭圆 B．长轴在y轴上的椭圆
C．实轴在x轴上的双曲线 D．实轴在y轴上的双曲线
解析：选D　∵k＞1，∴1－k＜0，k2－1＞0，∴方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是实轴在y轴上的双曲线，故选D.
3.已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
解析：选C　法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2－＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得无解．故该双曲线的标准方程为x2－＝1，选C.
法二：当其中的一条渐近线方程y＝x中的x＝2时，y＝2＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选C.
法三：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，即＝±x，所以可设双曲线的方程是x2－＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选C.
突破点二　双曲线的几何性质


标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长


一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)双曲线方程－＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)
(2)等轴双曲线的离心率等于，且渐近线互相垂直．(　　)
答案：(1)√　(2)√
二、填空题
1．双曲线－＝1的渐近线方程为________．
答案：3x±4y＝0
2．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k＝________.
答案：1
3．双曲线的渐近线方程为y＝±x，则离心率为________．
答案：或


考法一　渐近线问题　
[例1]　(1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x　 　　　　 　B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
(2)(2019·郑州一中入学测试)已知抛物线x2＝8y与双曲线－x2＝1(a＞0)的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|＝5，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．5x±3y＝0 B．3x±5y＝0
C．4x±5y＝0 D．5x±4y＝0
[解析]　(1)∵e＝＝＝，∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a.∴渐近线方程为y＝±x.
(2)设点M(x0，y0)，则有|MF|＝y0＋2＝5，所以y0＝3，x＝24，
由点M(x0，y0)在双曲线－x2＝1上，得－x＝1，
即－24＝1，解得a2＝，
所以双曲线－x2＝1的渐近线方程为－x2＝0，即3x±5y＝0，选B.
[答案]　(1)A　(2)B
[方法技巧]
求双曲线－＝1(a＞0，b＞0)或－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a＞0，b＞0)．　　
考法二　离心率问题　
[例2]　(1)(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)
A. B．2
C. D.
(2)(2018·长春二测)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C．(1,2] D.
[解析]　(1)不妨设一条渐近线的方程为y＝x，
则F2到y＝x的距离d＝＝b.
在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，
所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，
又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，
根据余弦定理得
cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，
即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.
(2)由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c－a，可得≥c－a，解得≤，即e≤，又双曲线的离心率e＞1，故该双曲线离心率的取值范围为，故选B.
[答案]　(1)C　(2)B
[方法技巧]
求双曲线离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．　　

1.已知双曲线－＝1(m＞0)的一个焦点在直线x＋y＝5上，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选B　由于双曲线－＝1(m＞0)的焦点在y轴上，且在直线x＋y＝5上，直线x＋y＝5与y轴的交点为(0,5)，所以c＝5，m＋9＝25，则m＝16，则双曲线的方程为－＝1，则双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选B.
2.若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(1，) D．(1,2)
解析：选C　由题意得双曲线的离心率e＝.即e2＝＝1＋.∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜.
3.(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　)
A. B．2
C. D．2
解析：选D　∵e＝＝ ＝，∴＝1.∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0.
∴点(4,0)到C的渐近线的距离d＝＝2.
4.已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1，F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．(1,2) B．(2，＋∞)
C．(1，) D．(，＋∞)
解析：选A　如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，－c)，则过点F1与渐近线y＝x平行的直线为y＝x＋c，联立得解得即M.因为点M在以线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2内，故2＋2＜c2，化简得b2＜3a2，即c2－a2＜3a2，解得＜2，又双曲线的离心率e＝＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A .
[课时跟踪检测]
[A级　基础题——基稳才能楼高]
1．(2018·浙江高考)双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　)
A．(－，0)，(，0)　　　 　B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0,2)
解析：选B　∵双曲线方程为－y2＝1，
∴a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在x轴上，
∴c＝＝＝2，
即得该双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．
2．(2019·南宁摸底联考)双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选D　在双曲线－＝1中，a＝5，b＝2，∴其渐近线方程为y＝±x，故选D.
3．(2019·合肥调研)下列双曲线中，渐近线方程不是y＝±x的是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选D　对于A，渐近线方程为y＝±x＝±x；对于B，渐近线方程为y＝±x＝±x；对于C，渐近线方程为y＝±x；对于D，渐近线方程为y＝± x．故选D.
4．(2019·铜陵模拟)已知双曲线－＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则△APF周长的最小值为(　　)
A．4(1＋) B．4＋
C．2(＋) D.＋3
解析：选A　设双曲线的左焦点为F′，易得点F(，0)，△APF的周长l＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋2a＋|PF′|＋|AP|，要使△APF的周长最小，只需|AP|＋|PF′|最小，易知当A，P，F′三点共线时取到，故l＝2|AF|＋2a＝4(1＋)．故选A.
5．(2019·合肥一模)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝－2x，则该双曲线的离心率是(　　)
A． B．
C． D．2
解析：选C　由双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且双曲线的一条渐近线方程为y＝－2x，得＝2，则b＝2a，则双曲线的离心率e＝＝＝＝＝.故选C.
6．(2019·德州一模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线y2＝16x的准线上，且双曲线的一条渐近线过点(，3)，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选C　双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，
由双曲线的一条渐近线过点(，3)，可得＝， ①
由双曲线的一个焦点(－c,0)在抛物线y2＝16x的准线x＝－4上，可得c＝4，
即有a2＋b2＝16， ②
由①②解得a＝2，b＝2，
则双曲线的方程为－＝1.故选C.
[B级　保分题——准做快做达标]
1．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)
A.　　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.
法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以＝(1,0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.
2．(2019·黄冈质检)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D.
解析：选A　连接OM.由题意知OM⊥PF，且|FM|＝|PM|，∴|OP|＝|OF|，
∴∠OFP＝45°，∴|OM|＝|OF|·sin 45°，即a＝c·，
∴e＝＝.故选A.
3．(2019·银川模拟)已知双曲线－＝1(0＜a＜1)的离心率为，则a的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　∵c2＝a2＋1－a2＝1，∴c＝1，又＝，∴a＝，故选B.
4．(2019·辽宁五校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为(　　)
A．－＝1 B．－y2＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
解析：选D　因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为，所以 ＝，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－＝1，故选D.
5．(2019·黄山一诊)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，F1，F2为C的焦点，A为双曲线上一点，若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　因为双曲线的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.
又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|－|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，而c2＝5a2，得2c＝2a，所以cos∠AF2F1＝＝＝，故选C.

6．(2019·天津和平一模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M.若△FOM的面积为，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为(　　)
A．x2－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选C　由题意可知e＝＝，可得＝，
取一条渐近线为y＝x，
可得F到渐近线y＝x的距离d＝＝b，
在Rt△FOM中，由勾股定理可得|OM|＝＝＝a，
由题意可得ab＝，联立解得
所以双曲线的方程为－＝1.故选C.
7．(2019·湘中名校联考)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　将x＝c代入－＝1得y＝±，
不妨取A，B，所以|AB|＝.
将x＝c代入双曲线的渐近线方程y＝±x，得y＝±，
不妨取C，D，所以|CD|＝.
因为|AB|≥|CD|，所以≥×，
即b≥c，则b2≥c2，即c2－a2≥c2，
即c2≥a2，所以e2≥，所以e≥.
8．(2019·桂林模拟)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　由条件得|OP|2＝2ab.又∵P为双曲线上一点，∴|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a.又∵c2＝a2＋b2≥a2＋＝a2，∴e＝≥.∴双曲线离心率的取值范围是.
9．(2019·惠州调研)已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．
解析：选A　如图，延长F1H交PF2于点Q，由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，从而|QF2|＝2，在△F1QF2中，易知OH为中位线，故|OH|＝1.故选A.
10．(2019·郑州模拟)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
解析：选B　假设点P在双曲线的右支上，
则
∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
∵|F1F2|＝2c＞2a，∴△PF1F2最短的边是PF2，
∴△PF1F2的最小内角为∠PF1F2.
在△PF1F2中，由余弦定理得4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×cos 30°，
∴c2－2ac＋3a2＝0，
∴e2－2e＋3＝0，∴e＝，∴＝，
∴c2＝3a2，∴a2＋b2＝3a2，∴b2＝2a2，
∴＝，∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，故选B.
11．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.
解析：∵双曲线的标准方程为－＝1(a＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.
答案：5
12．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知
|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，
由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.
联立消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
所以y1＋y2＝，所以＝p，
即＝，故＝，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
13．(2019·成都毕业班摸底测试)已知双曲线－＝1(a＞0)和抛物线y2＝8x有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．
解析：易知抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，所以双曲线－＝1的焦点为(2,0)，则a2＋2＝22，即a＝，所以双曲线的离心率e＝＝＝.
答案：
14．(2019·南昌调研)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作圆(x－a)2＋y2＝的切线，若该切线恰好与C的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为________．
解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y＝x，由题意可知该切线方程为y＝－(x－c)，即ax＋by－ac＝0.又圆(x－a)2＋y2＝的圆心为(a,0)，半径为，则圆心到切线的距离d＝＝＝，又e＝，则e2－4e＋4＝0，解得e＝2.
答案：2
15．(2019·西安铁一中模拟)已知点F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1(b＞0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2＝30°.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求·的值．
解：(1)由题易知F2(，0)，可设M(，y1)．
因为点M在双曲线C上且在x轴上方，所以1＋b2－＝1，得y1＝b2，所以|F2M|＝b2.
在Rt△MF2F1中，∠MF1F2＝30°，|MF2|＝b2，所以|MF1|＝2b2.
由双曲线的定义可知，|MF1|－|MF2|＝b2＝2，
故双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)易知两条渐近线方程分别为l1：x－y＝0，l2：x＋y＝0.
设双曲线C上的点P(x0，y0)，两条渐近线的夹角为θ，
不妨设P1在l1上，P2在l2上，
则点P到两条渐近线的距离分别为|PP1|＝，|PP2|＝.
因为P(x0，y0)在双曲线x2－＝1上，
所以2x－y＝2，
又易知cos θ＝，
所以·＝·cos θ＝·＝.
16．(2019·湛江模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b，
所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
所以直线AO的斜率满足·(－)＝－1，
所以x0＝y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，
所以x0＝c，所以点A的坐标为，
代入双曲线方程得－＝1，
即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又因为a2＋b2＝c2，
所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，
所以34－82＋4＝0，
所以(3e2－2)(e2－2)＝0，
因为e＞1，所以e＝，
所以双曲线的离心率为.