2020版高考新创新一轮复习数学（理）通用版讲义：第六章第五节　数列的综合应用

第五节　数列的综合应用
题型一　数列在数学文化与实际问题中的应用
[典例]　(1)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天和第5天共走了(　　)
A．60里　　　　　　　 B．48里
C．36里 D．24里
(2)(2019·北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a元 的一年期定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期．到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．
[解析]　(1)由题意知，此人每天走的里数构成公比为的等比数列{an}，
设等比数列的首项为a1，则＝378，
解得a1＝192，所以a4＝192×＝24，a5＝24×＝12，
则a4＋a5＝24＋12＝36，即此人第4天和第5天共走了36里．
(2)2022年1月1日可取出钱的总数为
a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)
＝a·
＝[(1＋p)5－(1＋p)]
＝[(1＋p)5－1－p]．
[答案]　(1)C　(2)[(1＋p)5－1－p]
[方法技巧]
1．数列与数学文化解题3步骤
读懂题意
会脱去数学文化的背景，读懂题意
构建模型
由题意，构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型
求解模型
利用所学知识求解数列的相关信息，如求指定项、通项公式或前n项和的公式
2.解答数列应用题需过好“四关”
审题关
仔细阅读材料，认真理解题意
建模关
将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化成数列问题，并分清数列是等差数列还是等比数列
求解关
求解该数列问题
还原关
将所求的结果还原到实际问题中
[针对训练]
1．在我国古代著名的数学名著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？(　　)
A．9日 B．8日
C．16日 D．12日
解析：选A　由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1＝103，d＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1＝97，d＝－0.5.设第m天相逢，则a1＋a2＋…＋am＋b1＋b2＋…＋bm＝103m＋＋97m＋＝2×1 125，解得m1＝9或m2＝－40(舍去)，故选A.
2．(2018·江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t倍．下列选项中，与t值最接近的是(　　)
A．11 B．13
C．15 D．17
解析：选B　设鱼原来的质量为a，饲养n年后鱼的质量为an，q＝200%＝2，则a1＝a(1＋q)，a2＝a1＝a(1＋q)，…，a5＝a(1＋2)×(1＋1)×××＝a≈12.7a，即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B.
题型二　数列中的新定义问题
[典例]　若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b2 019＝20 190，则b2b2 018的最大值是________．
[解析]　因为数列是“调和数列”，
所以bn＋1－bn＝d，即数列{bn}是等差数列，
所以b1＋b2＋…＋b2 019＝＝＝20 190，
所以b2＋b2 018＝20.
又>0，所以b2>0，b2 018>0，
所以b2＋b2 018＝20≥2，
即b2b2 018≤100(当且仅当b2＝b2 018时等号成立)，
因此b2b2 018的最大值为100.
[答案]　100
[方法技巧]
新定义数列问题的特点及解题思路
新定义数列题的特点是：通过给出一个新的数列的概论，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．　　
[针对训练]
1．定义一种运算“※”，对于任意n∈N*均满足以下运算性质：(1)2※2 019＝1；(2)(2n＋2)※2 019＝(2n)※2 019＋3，则2 018※2 019＝________.
解析：设an＝(2n)※2 019，则由运算性质(1)知a1＝1，
由运算性质(2)知an＋1＝an＋3，即an＋1－an＝3.
所以数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，
故2 018※2 019＝(2×1 009)※2 019＝a1 009＝1＋1 008×3＝3 025.
答案：3 025
2．定义各项为正数的数列{pn}的“美数”为(n∈N*)．若各项为正数的数列{an}的“美数”为，且bn＝，则＋＋…＋＝________.
解析：因为各项为正数的数列{an}的“美数”为，
所以＝.
设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝n(2n＋1)，
Sn－1＝(n－1)[2(n－1)＋1]＝2n2－3n＋1(n≥2)，
所以an＝Sn－Sn－1＝4n－1(n≥2)．
又＝，所以a1＝3，满足式子an＝4n－1，
所以an＝4n－1(n∈N*)．
又bn＝，所以bn＝n，
所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
答案：
题型三　数列与函数的综合问题
[典例]　(1)(2019·重庆模拟)已知f(x)＝x2＋aln x在点(1，f(1))处的切线方程为4x－y－3＝0，an＝f′(n)－n(n≥1，n∈N*)，{an}的前n项和为Sn，则下列选项正确的是(　　)
A．S2 018－1ln 2 018＋1
C．ln 2 018S2 017
(2)(2019·昆明模拟)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且满足f(3－x)＝f(x)，f(－1)＝3，数列{an}满足a1＝1且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则f(a36)＋f(a37)＝________.
[解析]　(1)由题意得f′(x)＝2x＋，∴f′(1)＝2＋a＝4，解得a＝2.∴an＝f′(n)－n＝－n＝(n≥1，n∈N*)．设g(x)＝ln(x＋1)－x，则当x∈(0,1)时，g′(x)＝－1＝<0，∴g(x)在(0,1)上单调递减，∴g(x)0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增， ∴h(x)>h(1)＝0，即ln x>1－，x∈(1，＋∞)．令x＝1＋，则ln＝ln >，∴ln ＋ln ＋ln ＋…＋ln >＋＋…＋＋，故ln(n＋1)>Sn＋1－1.故选A.
(2)因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又因为f(3－x)＝f(x)，所以f(3＋x)＝f(－x)＝－f(x)＝－f(3－x)＝f(x－3)，即f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)是以6为周期的周期函数．由an＝n(an＋1－an)可得＝，则an＝···…··a1＝····…·×1＝n，即an＝n，所以a36＝36，a37＝37，又因为f(－1)＝3，f(0)＝0，所以f(a36)＋f(a37)＝f(0)＋f(1)＝f(1)＝－f(－1)＝－3.
[答案]　(1)A　(2)－3
[方法技巧]
数列与函数综合问题的类型及注意点
类型
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形；
注意点
解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决
[针对训练]
1．(2019·玉溪模拟)函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝(　　)
A．18 B．21
C．24 D．30
解析：选B　∵函数y＝x2(x>0)的导函数为y′＝2x，∴函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)．令y＝0，可得x＝ak，即ak＋1＝ak，∴数列{an}为等比数列，an＝16×n－1，∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.故选B.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数y＝3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是(　　)
A．Sn＝2Tn B．Tn＝2bn＋1
C．Tn>an D．Tn 解析：选D　因为点(n，Sn＋3)在函数y＝3×2x的图象上，
所以Sn＋3＝3×2n，即Sn＝3×2n－3.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3×2n－3－(3×2n－1－3)＝3×2n－1，
又当n＝1时，a1＝S1＝3，所以an＝3×2n－1.
设bn＝b1qn－1，则b1qn－1＋b1qn＝3×2n－1，可得b1＝1，q＝2，
所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
由等比数列前n项和公式可得Tn＝2n－1.
综合选项可知，只有D正确．
3．(2019·抚顺模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx的图象经过(－1，0)点，且在x＝－1处的切线斜率为－1.设数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列前n项的和Tn.
解：(1)函数f(x)＝ax2＋bx的图象经过(－1,0)点，
则a－b＝0，即a＝b.①
因为f′(x)＝2ax＋b，函数f(x)＝ax2＋bx在x＝－1处的切线斜率为－1，
所以－2a＋b＝－1.②
由①②得a＝1，b＝1，
所以数列{an}的前n项和Sn＝f(n)＝n2＋n.
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)，
所以an＝Sn－Sn－1＝2n.
当n＝1时，a1＝2符合上式，则an＝2n.
(2)由于an＝2n，
则＝＝，
则Tn＝＝＝.
题型四　数列与不等式的综合问题
[典例]　(2019·福州八校联考)数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋2(n∈N*)．
(1)求证：{an＋2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，证明：对任意n∈N*，都有≤Sn<.
[证明]　(1)∵an＋1＝2an＋2，∴an＋1＋2＝2(an＋2)．∵{an＋2}是以a1＋2＝5为首项，公比q＝2的等比数列，∴an＝5×2n－1－2.
(2)由(1)可得bn＝，
∴Sn＝，①
Sn＝，②
①－②可得Sn＝＝＝<.
∴Sn<，又∵Sn＋1－Sn＝bn＋1＝>0，
∴数列{Sn}单调递增，Sn≥S1＝，
∴对任意n∈N*，都有≤Sn<.
[方法技巧]
数列中不等式证明问题的解题策略
数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．
放缩法常见的放缩技巧有：
(1)<＝.
(2)－<<－.
(3)2(－)<<2(－)．　　
[针对训练]
(2019·广安模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn＋1＝Sn＋an＋n＋1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Tn，求满足不等式Tn≥的最小正整数n.
解：(1)由Sn＋1＝Sn＋an＋n＋1(n∈N*)，得an＋1－an＝n＋1，又a1＝1，
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝.
所以数列{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知＝＝2，
所以Tn＝2＋＋…＋＝2＝.
令≥，解得n≥19，
所以满足不等式Tn≥的最小正整数n为19.
[课时跟踪检测]
1．(2019·深圳模拟)设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N*)的前n项和是(　　)
A.　　　　　　　　 B．
C. D．
解析：选A　∵f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，
∴f(x)＝x(x＋1)，则＝＝－，用裂项法求和得Sn＝1－＋－＋…＋－＝.
2．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＝(　　)
A．－2 017 B．－2 018
C．2 017 D．2 018
解析：选D　当n为奇数时，n＋1为偶数，则an＝n2－(n＋1)2＝－2n－1，所以a1＋a3＋a5＋…＋a2 017＝－(3＋7＋11＋…＋4 035)．当n为偶数时，n＋1为奇数，则an＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，所以a2＋a4＋a6＋…＋a2 018＝5＋9＋13＋…＋4 037.所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＝(5－3)＋(9－7)＋(13－11)＋…＋(4 037－4 035)＝2×1 009＝2 018，故选D.
3．(2017·四川乐山模拟)对于数列{an}，定义H0＝为{an}的“优值”．现已知某数列的“优值”H0＝2n＋1，记数列{an－20}的前n项和为Sn，则Sn的最小值为(　　)
A．－64　　　　　　　　 B．－68
C．－70 D．－72
解析：选D　由题意可知：H0＝＝2n＋1，
则a1＋2a2＋…＋2n－1·an＝n·2n＋1.
当n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2·an－1＝(n－1)·2n，
两式相减得2n－1·an＝n·2n＋1－(n－1)·2n，an＝2(n＋1)，
当n＝1时成立，∴an－20＝2n－18，显然{an－20}为等差数列．
令an－20≤0，解得n≤9，
故当n＝8或9时，{an－20}的前n项和Sn取最小值，
最小值为S8＝S9＝＝－72，故选D.
4．(2019·湖北襄阳联考)已知函数f为奇函数，g(x)＝f(x)＋1，若an＝g，则数列{an}的前2 018项和为(　　)
A．2 017 B．2 018
C．2 019 D．2 020
解析：选B　∵函数f为奇函数，∴其图象关于原点对称，∴函数f(x)的图象关于点对称，∴函数g(x)＝f(x)＋1的图象关于点对称，∴g(x)＋g(1－x)＝2， ∵an＝g，∴数列的前2 018项之和为g＋g＋g＋…＋g＋g＝2 018.故选B.
5．(2019·林州一中调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝5，an＋1＝－an＋6，若对任意的n∈N*,1≤p(Sn－4n)≤3恒成立，则实数p的取值范围为(　　)
A．(2,3] B．[2,3]
C．(2,4] D．[2,4]
解析：选B　由数列的递推关系式可得an＋1－4＝－(an－4)，则数列{an－4}是首项为a1－4＝1，公比为－的等比数列，∴an－4＝1×n－1，∴an＝n－1＋4，∴Sn＝ ＋4n，∴不等式1≤p(Sn－4n)≤3恒成立，即1≤p×≤3恒成立．当n为偶数时，可得1≤p×≤3，可得2≤p≤，当n为奇数时，可得1≤p×≤3，可得≤p≤3，故实数p的取值范围为[2,3]．
6．(2019·昆明适应性检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝4n，若不等式Sn＋8≥λn对任意的n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为________．
解析：因为an＝4n，所以Sn＝2n2＋2n，不等式Sn＋8≥λn对任意的n∈N*恒成立，即λ≤，又＝2n＋＋2≥10(当且仅当n＝2时取等号)，所以实数λ的取值范围为(－∞，10]．
答案：(－∞，10]
7．(2019·济宁模拟)若数列{an}满足：只要ap＝aq(p，q∈N*)，必有ap＋1＝aq＋1，那么就称数列{an}具有性质P.已知数列{an}具有性质P，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a5＝2，a6＋a7＋a8＝21，则a2 020＝____________.
解析：根据题意，数列{an}具有性质P，且a2＝a5＝2，
则有a3＝a6＝3，a4＝a7，a5＝a8＝2.
由a6＋a7＋a8＝21，可得a3＋a4＋a5＝21，
则a4＝21－3－2＝16，
进而分析可得a3＝a6＝a9＝…＝a3n＝3，a4＝a7＝a10＝…＝a3n＋1＝16，a5＝a8＝…＝ a3n＋2＝2(n≥1)，
则a2 020＝a3×673＋1＝16.
答案：16
8．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第一天长高3尺，莞草第一天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．

解析：由题意得，蒲草的高度组成首项为a1＝3，公比为的等比数列{an}，设其前n项和为An；莞草的高度组成首项为b1＝1，公比为2的等比数列{bn}，设其前n项和为Bn.则An＝，Bn＝，令＝，化简得2n＋＝7(n∈N*)，解得2n＝6，所以n＝＝1＋≈3，即第3天时蒲草和莞草高度相同．
答案：3
9．(2019·安阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)＝x2＋Bx＋C－1(B，C∈R)的图象上，且a1＝C.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列bn＝an(a2n－1＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋d＝n2＋n.
又Sn＝n2＋Bn＋C－1，
两式比较得＝1，B＝a1－，C－1＝0.又a1＝C，
解得d＝2，C＝1＝a1，B＝0，
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)∵bn＝an(a2n－1＋1)＝(2n－1)(2×2n－1－1＋1)＝(2n－1)×2n，
∴数列{bn}的前n项和Tn＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n，
∴2Tn＝22＋3×23＋…＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1，
∴－Tn＝2＋2×(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)×2n＋1
＝2＋2×－(2n－1)×2n＋1＝(3－2n)×2n＋1－6，
故Tn＝(2n－3)×2n＋1＋6.
10．2017年12月4日0时起某市实施机动车单双号限行，新能源汽车不在限行范围内，某人为了出行方便，准备购买某新能源汽车．假设购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费等其他费用共0.9万元，汽车的保养维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．
(1)设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n)，试写出f(n)的表达式；
(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)，年平均费用的最小值是多少？
解：(1)由题意得f(n)＝14.4＋(0.2＋0.4＋0.6＋…＋0.2n)＋0.9n＝14.4＋＋0.9n＝0.1n2＋n＋14.4.
(2)设该车的年平均费用为S万元，则有
S＝f(n)＝(0.1n2＋n＋14.4)＝＋＋1≥2＋1＝3.4.
当且仅当＝，即n＝12时，等号成立，即S取最小值3.4万元．所以这种新能源汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是3.4万元．
11．(2018·淮南一模)若数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在y＝－x的图象上(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若c1＝0，且对任意正整数n都有cn＋1－cn＝logan.求证：对任意正整数n≥2，总有≤＋＋＋…＋<.
解：(1)∵Sn＝－an，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，
∴an＝an－1.
又∵S1＝－a1，∴a1＝，
∴an＝×n－1＝2n＋1.
(2)证明：由cn＋1－cn＝logan＝2n＋1，得当n≥2时，cn＝c1＋(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(cn－cn－1)＝0＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2－1＝(n＋1)(n－1)．
∴＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝×＋＋＋…＋
＝＝－<.
又∵＋＋＋…＋≥＝，∴原式得证．