2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第八章第二节两条直线的位置关系

第二节两条直线的位置关系

1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直：
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
3．三种距离公式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离
|P1P2|＝
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离
d＝
　　[小题体验]
1．(2018·金华四校联考)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝(　　)
A．2　　　　　　　　　　 　B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
解析：选C　∵直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，∴＝≠，解得m＝2或－3.
2．“a＝”是“直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0相互垂直”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　由直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0相互垂直，得(a＋1)(a－1)＋3a(a＋1)＝0，即4a2＋3a－1＝0，解得a＝或－1，∴“a＝”是“直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0相互垂直”的充分不必要条件，故选A.
3．(2018·浙江五校联考)已知动点P的坐标为(x,1－x)，x∈R，则动点P的轨迹方程为________，它到原点距离的最小值为________．
解析：设点P的坐标为(x，y)，则y＝1－x，即动点P的轨迹方程为x＋y－1＝0.原点到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝，即为所求原点到动点P的轨迹的最小值．
答案：x＋y－1＝0　

1．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．
2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．
[小题纠偏]
1．已知P：直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行，Q：a＝－1，则P是Q的(　　)
A．充要条件　　　　　　　 　B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　由于直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行的充要条件是1×a－(－1)×1＝0，即a＝－1.
所以P是Q的充要条件．
2．(2018·安庆模拟)若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝(　　)
A．7 B.
C．14 D．17
解析：选B　直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，所以＝，解得m＝.

(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]

1．已知a≠0，直线ax＋(b＋2)y＋4＝0与直线ax＋(b－2)y－3＝0互相垂直，则ab的最大值为(　　)
A．0　　　　　　　　　 　 B．2
C．4 D.
解析：选B　若b＝2，两直线方程分别为y＝－x－1和x＝，此时两直线相交但不垂直．若b＝－2，两直线方程分别为x＝－和y＝x－，此时两直线相交但不垂直．若b≠±2，两直线方程分别为y＝－x－和y＝－x＋，此时两直线的斜率分别为－，－，由－·＝－1，得a2＋b2＝4.因为a2＋b2＝4≥2ab，所以ab≤2，且当a＝b＝或a＝b＝－时取等号，故ab的最大值为2.
2．(2018·诸暨模拟)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0平行，则2a＋3b的最小值为________．
解析：由两直线平行可得，a(b－3)＝2b，即2b＋3a＝ab，＋＝1.又a，b为正数，所以2a＋3b＝(2a＋3b)·＝13＋＋≥13＋2 ＝25，当且仅当a＝b＝5时取等号，故2a＋3b的最小值为25.
答案：25
3．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使
(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
解：(1)由题意得
解得m＝1，n＝7.
即m＝1，n＝7时，l1与l2相交于点P(m，－1)．
(2)∵l1∥l2，∴
解得或
即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.
(3)当且仅当2m＋8m＝0，
即m＝0时，l1⊥l2.
又－＝－1，∴n＝8.
即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，
且l1在y轴上的截距为－1.
[谨记通法]
1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法
(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；
(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.
[提醒]　当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况．
2．由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1与l2垂直
的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行的充分条件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1与l2相交的充分条件
≠(A2B2≠0)
l1与l2重合的充分条件
＝＝(A2B2C2≠0)
　　[提醒]　在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．

[典例引领]
1．(2018·衢州模拟)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B　因为l1∥l2，所以＝≠，解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以l1与l2之间的距离d＝＝.
2．直线3x＋4y－3＝0上一点P与点Q(2，－2)的连线的最小值是________．
解析：∵点Q到直线的距离即为P，Q两点连线的最小值，
∴|PQ|min＝＝1.
答案：1
3．若直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________．
解析：法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知＝，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－.
∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－，
∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)．
∴直线l的方程为x＝－1.
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
答案：x＋3y－5＝0或x＝－1
[由题悟法]
处理距离问题的2大策略
(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．
(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便．
[即时应用]
1．已知P是直线2x－3y＋6＝0上一点，O为坐标原点，且点A的坐标为(－1,1)，若|PO|＝|PA|，则P点的坐标为________．
解析：法一：设P(a，b)，则
解得a＝3，b＝4.∴P点的坐标为(3,4)．
法二：线段OA的中垂线方程为x－y＋1＝0，
则由解得则P点的坐标为(3,4)．
答案：(3,4)
2．已知直线l：ax＋y－1＝0和点A(1,2)，B(3,6)．若点A，B到直线l的距离相等，则实数a的值为________．
解析：法一：要使点A，B到直线l的距离相等，
则AB∥l，或A，B的中点(2,4)在直线l上．
所以－a＝＝2或2a＋4－1＝0，
解得a＝－2或－.
法二：要使点A，B到直线l的距离相等，
则＝，解得a＝－2或－.
答案：－2或－

[锁定考向]
对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．
常见的命题角度有：
(1)点关于点对称；
(2)点关于线对称；
(3)线关于线对称．　　
[题点全练]
角度一：点关于点对称
1．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.
答案：x＋4y－4＝0
2．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程为________．
解析：法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4，3)，
则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上．
易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
法二：设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，
∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
答案：2x－3y－9＝0
角度二：点关于线对称
3．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
解：(1)设A′(x，y)，则
解得
∴A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，
则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设M′(a，b)，
则
解得M′.
设直线m与直线l的交点为N，
则由得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
角度三：线关于线对称
4．直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是(　　)
A．x－2y＋3＝0　　　　　　 　B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：选A　设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由得
由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，
即x－2y＋3＝0.
[通法在握]
1．中心对称问题的2个类型及求解方法
(1)点关于点对称：
若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．
(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
2．轴对称问题的2个类型及求解方法
(1)点关于直线的对称：
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
(2)直线关于直线的对称：
一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
[演练冲关]
1．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为(　　)
A．(－2,4) B．(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
解析：选C　设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得∴BC所在直线的方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.
同理可得点B(3,1)关于直线y＝2x的对称点为(－1,3)，
∴AC所在直线的方程为y－2＝(x＋4)，即x－3y＋10＝0.联立解得可得C(2,4)．
2．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以解得a＝1，b＝0.
又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为＝，
即6x－y－6＝0.
答案：6x－y－6＝0
3．已知△ABC中，顶点A(4,5)，点B在直线l：2x－y＋2＝0上，点C在x轴上，求△ABC周长的最小值．
解：设点A关于直线l：2x－y＋2＝0的对称点为A1(x1，y1)，点A关于x轴的对称点为A2(x2，y2)，连接A1A2交l于点B，交x轴于点C，则此时△ABC的周长取最小值，且最小值为.
∵A1与A关于直线l：2x－y＋2＝0对称，
∴
解得∴A1(0,7)．易求得A2(4，－5)，
∴△ABC周长的最小值为
＝＝4.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2018·浙江名校协作体联考)“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件　　　　 　B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C　因为直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要条件是解得a＝－1，故选C.
2．(2018·丽水调研)已知直线l1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为(　　)
A．(3，) B．(2，)
C．(1，) D.
解析：选C　直线l1的斜率为k1＝tan 30°＝，因为直线l2与直线l1垂直，所以k2＝－＝－，所以直线l1的方程为y＝(x＋2)，直线l2的方程为y＝－(x－2)．两式联立，解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，)．
3．(2018·诸暨期初)已知点A(7，－4)关于直线l的对称点为B(－5,6)，则该对称直线l的方程为(　　)
A．6x＋5y－1＝0 B．5x＋6y＋1＝0
C．5x－6y－1＝0 D．6x－5y－1＝0
解析：选D　由题可得，直线l是线段AB的垂直平分线．因为A(7，－4)，B(－5,6)，所以kAB＝＝－，所以kl＝.又因为A(7，－4)，B(－5,6)的中点坐标为(1,1)．所以直线l的方程为y－1＝(x－1)，即6x－5y－1＝0.
4．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．
解析：由题意得，点P到直线的距离为＝.因为≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10]．
答案：[0,10]
5．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________．
解析：依题意知，＝≠，
解得a＝－4，c≠－2，
即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，
又两平行直线之间的距离为，
所以＝，解得c＝2或－6.
答案：2或－6
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2018·舟山调研)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2的值为(　　)
A. B.
C．5 D．10
解析：选D　由题意知P(0,1)，Q(－3,0)，
∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，
∴M位于以PQ为直径的圆上，
∵|PQ|＝＝，
∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝10.
2．(2018·慈溪模拟)曲线y＝2x－x3在x＝－1处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题可得，切点坐标为(－1，－1)．y′＝2－3x2，由导数的几何意义可知，该切线的斜率为k＝2－3＝－1，所以切线的方程为x＋y＋2＝0.所以点P(3,2)到直线l的距离为d＝＝.
3．(2018·绵阳模拟)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　因为＝≠，所以两直线平行，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，
即＝，
所以|PQ|的最小值为.
4．(2018·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，
则解得故m＋n＝.
5．(2018·钦州期中)已知直线l的方程为f(x，y)＝0，P1(x1，y1)和P2(x2，y2)分别为直线l上和l外的点，则方程f(x，y)－f(x1，y1)－f(x2，y2)＝0表示(　　)
A．过点P1且与l垂直的直线
B．与l重合的直线
C．过点P2且与l平行的直线
D．不过点P2，但与l平行的直线
解析：选C　由直线l的方程为f(x，y)＝0，知方程f(x，y)－f(x1，y1)－f(x2，y2)＝0表示与l平行的直线，P1(x1，y1)为直线l上的点，则f(x1，y1)＝0，f(x，y)－f(x1，y1)－f(x2，y2)＝0化为f(x，y)－f(x2，y2)＝0，显然P2(x2，y2)满足方程f(x，y)－f(x1，y1)－f(x2，y2)＝0，所以f(x，y)－f(x1，y1)－f(x2，y2)＝0表示过点P2且与l平行的直线．故选C.
6．已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为________________．
解析：A不在这两条角平分线上，因此l1，l2是另两个角的角平分线．点A关于直线l1的对称点A1，点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上．设A1(x1，y1)，
则有
解得所以A1(0,3)．
同理设A2(x2，y2)，易求得A2(－2，－1)．
所以BC边所在直线方程为2x－y＋3＝0.
答案：2x－y＋3＝0
7．(2018·余姚检测)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．
解析：显然直线l的斜率不存在时，不满足题意；
设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0，
由已知，得＝，
∴k＝2或k＝－.
∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.
答案：2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0
8.如图所示，已知两点A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程为________．
解析：易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4,2)，点P关于y轴对称的点为A2(－2,0)，则光线所经过的路程即A1与A2两点间的距离．于是|A1A2|＝＝2.
答案：2
9．(2018·绍兴一中检测)两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是________．
解析：∵l1∥l2，且P∈l1，Q∈l2，∴l1，l2间的最大距离为|PQ|＝＝5，又l1与l2不重合，∴l1，l2之间距离的取值范围是(0,5]．
答案：(0,5]
10．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
解：依题意知：kAC＝－2，A(5,1)，
∴lAC的方程为2x＋y－11＝0，
联立得C(4,3)．
设B(x0，y0)，则AB的中点M，
代入2x－y－5＝0，
得2x0－y0－1＝0，
联立得B(－1，－3)，∴kBC＝，
∴直线BC的方程为y－3＝(x－4)，
即6x－5y－9＝0.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知线段AB的两个端点A(0，－3)，B(3,0)，且直线y＝2λx＋λ＋2与线段AB总相交，则实数λ的取值范围为________．
解析：如图所示，因为y＝2λx＋λ＋2恒过定点C，连接AC，CB，所以直线AC的斜率kAC＝－10，直线BC的斜率kBC＝－. 又直线y＝2λx＋λ＋2与线段AB总相交，所以kAC≤2λ≤kBC，所以λ的取值范围为.
答案：
2．已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．
(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标．
(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．
解：(1)证明：直线l的方程可化为
a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，
由得
所以直线l恒过定点(－2,3)．
(2)由(1)知直线l恒过定点A(－2,3)，
当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．
又直线PA的斜率kPA＝＝，
所以直线l的斜率kl＝－5.
故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，
即5x＋y＋7＝0.