2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第三章第九节函数模型及其应用

第九节函数模型及其应用


1．几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c
(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c
(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2.三种函数模型的性质
函数
性质　　　
y＝ax(a＞1)
y＝logax
(a＞1)
y＝xn
(n＞0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax
3.解函数应用问题的4步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；
(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．
以上过程用框图表示如下：


[小题体验]
1．(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的(　　)

答案：B
2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．
答案：200

1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．
2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
[小题纠偏]
1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲比乙先到达终点
答案：D
2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是__________．
答案：y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)


[典例引领]
某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．
(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；
(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．
解：由题意，最高点为(2＋h,4)，(h≥1)．
设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4.
(1)当h＝1时，最高点为(3,4)，
方程为y＝a(x－3)2＋4.(*)
将点A(2,3)代入(*)式得a＝－1.
即所求抛物线的方程为y＝－x2＋6x－5.
(2)将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4，得ah2＝－1.
由题意，方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解．
令f(x)＝a[x－(2＋h)]2＋4＝－[x－(2＋h)]2＋4，
则解得1≤h≤.
故达到比较好的训练效果时的h的取值范围是.
[由题悟法]
二次函数模型问题的3个注意点
(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；
(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；
(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
[即时应用]
某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：
项目
类别　　
年固定成本
每件产品成本
每件产品销售价
每年最多可生产的件数
A产品
20
m
10
200
B产品
40
8
18
120

其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原料价格决定，预计m∈[6,8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x1，x2之间的函数关系式，并指明定义域；
(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．
解：(1)由题意得y1＝10x1－(20＋mx1)＝(10－m)x1－20(0≤x1≤200且x1∈N)，
y2＝18x2－(40＋8x2)－0.05x＝－0.05x＋10x2－40
＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120且x2∈N)．
(2)∵6≤m≤8，∴10－m＞0，
∴y1＝(10－m)x1－20为增函数．
又0≤x1≤200，x1∈N，
∴当x1＝200时，生产A产品的最大利润为(10－m)×200－20＝1 980－200m(万美元)．
∵y2＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120，且x2∈N)，
∴当x2＝100时，生产B产品的最大利润为460万美元．
(y1)max－(y2)max＝(1 980－200m)－460＝1 520－200m.
易知当6≤m＜7.6时，(y1)max＞(y2)max.
即当6≤m＜7.6时，投资生产A产品200件可获得最大年利润；
当m＝7.6时，投资生产A产品200件或投资生产B产品100件，均可获得最大年利润；
当7.6＜m≤8时，投资生产B产品100件可获得最大年利润．

[典例引领]
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解：(1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，
因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10)．
(2)f(x)＝6x＋10＋－10≥2 －10＝70(万元)，
当且仅当6x＋10＝，
即x＝5时等号成立．
所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．
[由题悟法]
应用函数y＝x＋模型的关键点
(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝叠加而成的．
(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)＝ax＋的形式．
(3)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．
[即时应用]
“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．
(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式并化简；
(2)当x为多少平方米时，y取得最小值，最小值是多少万元？
解：(1)C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，
∵C(0)＝＝4，
∴k＝1 000，
∴y＝0.2x＋×4＝0.2x＋(x≥0)．
(2)y＝0.2(x＋5)＋－1≥2－1＝7，
当x＋5＝20，即x＝15时，ymin＝7，
∴当x为15平方米时，y取得最小值7万元．


[典例引领]
1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)
A．2018年　　　　　　　 　B．2019年
C．2020年 D．2021年
解析：选C　法一：设2016年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞，两边取常用对数，得n＞≈＝，所以n≥4，
所以从2020年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
法二：根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2016年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1＞200，两边同时取常用对数，得n－1＞，又≈＝3.8，则n＞4.8，即a5开始超过200，所以2020年投入的研发资金开始超过200万元，故选C.
2．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)
A．16小时 B．20小时
C．24小时 D．28小时
解析：选C　由已知得192＝eb，①
48＝e22k＋b＝e22k·eb，②
将①代入②得e22k＝，则e11k＝，
当x＝33时，y＝e33k＋b＝e33k·eb＝3×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．
[由题悟法]
指数函数与对数函数模型的应用技巧
(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．
[即时应用]
某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：
年份
2015
2016
2017
2018

投资成本x
3
5
9
17
…
年利润y
1
2
3
4
…

给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)．
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；
(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．
解：(1)将(3,1)，(5,2)代入y＝kx＋b(k≠0)，
得解得∴y＝x－.
当x＝9时，y＝4，不符合题意；
将(3,1)，(5,2)代入y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)，
得解得
∴y＝·x＝2.
当x＝9时，y＝2＝8，不符合题意；
将(3,1)，(5,2)代入y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)，
得解得∴y＝log2(x－1)．
当x＝9时，y＝log28＝3；
当x＝17时，y＝log216＝4.
故可用③来描述x，y之间的关系．
(2)令log2(x－1)≥6，则x≥65.
∵年利润＜10%，∴该企业要考虑转型．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大(　　)
A．8元/件　　　　　　　 　B．10元/件
C．12元/件 D．14元/件
解析：选B　设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，则日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20
＝－10x2＋80x＋180
＝－10(x－4)2＋340(0＜x＜10)．
∴当x＝4时，ymax＝340.
即单价为10元/件，利润最大，故选B.
2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00

则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
解析：选D　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.
3．(2018·温州十校联考)烟台某中学的研究性小组为了考察长岛县的旅游开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回，设t为出发后某一时刻，S为汽艇与码头在时刻t的距离，下列图象能大致表示S＝f(t)的函数关系的是(　　)

解析：选C　因为该汽艇中途停靠岸边考察，此时间段S不变，故排除A、B，因为S为汽艇与码头在时刻t的距离，其图象能表示S＝f(t)的函数关系，而D图表示的不是函数关系，故排除D.故选C.
4．(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．
解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.
化简得x－6×0.9x＝0.
令f(x)＝x－6×0.9x，
易得f(x)为单调递增函数，又f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函数f(x)在(3,4)上有一个零点．
故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．
答案：4
5．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为________米．
解析：设这个广场的长为x米，
则宽为米．
所以其周长为l＝2≥800，
当且仅当x＝200时取等号．
答案：800
二保高考，全练题型做到高考达标
1．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差(　　)
A．10元 B．20元
C．30元 D．元
解析：选A　依题意可设sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt，
又sA(100)＝sB(100)，∴100k＋20＝100m，
得k－m＝－0.2，于是sA(150)－sB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，
即两种方式电话费相差10元．选A.
2．(2018·金华模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0＜a＜12)，4 m，不考虑树的粗细．现在想用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的最大面积为S，若将这棵树围在花圃内，则函数S＝f(a)(单位：m2)的图象大致是(　　)


解析：选C　设AD长为x，则CD长为16－x，
又因为要将P点围在矩形ABCD内，
所以a≤x≤12，
则矩形ABCD的面积为x(16－x)，
当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，S＝64，
当8＜a＜12时，S＝a(16－a)，
S＝
分段画出函数图象可得其形状与C接近，故选C.
3．(2018·北京朝阳统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0＜x＜100，x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是(　　)
A．15 B．16
C．17 D．18
解析：选B　由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t，
则由解得0＜x≤.
因为x∈N*，所以x的最大值为16.
4．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)(　　)
A．1.5% B．1.6%
C．1.7% D．1.8%
解析：选C　设每年人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x)＝lg 2，所以lg(1＋x)＝≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x，得1＋x＝1.017，所以x＝1.7%.
5．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有，则m的值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：选D　根据题意知＝e5n，令a＝aent，即＝ent，因为＝e5n，故＝e15n，比较知t＝15，m＝15－5＝10.
6．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为9平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的取值范围为________．
解析：根据题意知，9＝(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2×＝BC＋x，h＝x，
所以9＝(2BC＋x)x，得BC＝－，
由得2≤x＜6.
所以y＝BC＋2x＝＋(2≤x＜6)，
由y＝＋≤10.5，解得3≤x≤4.
因为[3,4] ⊆[2,6)，所以腰长x的取值范围为[3,4]．
答案：[3,4]
7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．

解析：依题意知：＝，即x＝(24－y)，
∴阴影部分的面积S＝xy＝(24－y)·y＝(－y2＋24y)＝－(y－12)2＋180.
∴当y＝12时，S有最大值为180.
答案：180
8．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为______(万元)．
解析：依题意得
即解得a＝2，b＝－2.
∴y＝2log4x－2，当y＝8时，即2log4x－2＝8.
x＝1 024(万元)．
答案：1 024
9．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解：(1)作PQ⊥AF于Q，
所以PQ＝(8－y)米，
EQ＝(x－4)米．
又△EPQ∽△EDF，
所以＝，即＝.
所以y＝－x＋10，
定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，
则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，
S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x＝10，所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增．
所以当x＝8米时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米．
10．近年来，某企业平均每年缴纳的电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的费用(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业平均每年缴纳的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝(x≥0，k为常数) .记y为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业今后15年共将缴纳的电费之和．
(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式；
(2)当x为多少时，y取得最小值？最小值是多少万元？
解：(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时该企业平均每年缴纳的电费，即未安装太阳能供电设备时，该企业平均每年缴纳的电费．由C(0)＝＝24，得k＝2 400，
所以y＝15×＋0.5x＝＋0.5x(x≥0)．
(2)因为y＝＋0.5(x＋5)－2.5≥2－2.5＝57.5，
当且仅当＝0.5(x＋5)，即x＝55时取等号，
所以当x为55时，y取得最小值，最小值为57.5万元．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p(x)＝万元．
(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q(m)＝(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？
解：(1)由总成本p(x)＝万元，可得每台机器人的平均成本y＝＝＝x＋＋1≥2＋1＝2.当且仅当x＝，即x＝300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．
(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量
q(m)＝当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60－m)＝－160m2＋9 600m，∴当m＝30时，日平均分拣量有最大值144 000件．当m＞30时，日平均分拣量为480×300＝144 000(件)．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件．若传统人工分拣144 000件，则需要人数为＝120(人)．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少×100%＝75%.

命题点一　基本初等函数(Ⅰ)
1．(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A．a＋b＜ab＜0　　　　 　B．ab＜a＋b＜0
C．a＋b＜0＜ab D．ab＜0＜a＋b
解析：选B　∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，∴ab＜0.∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝0，
∴0＜＜1，∴ab＜a＋b＜0.
2．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y
C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
解析：选D　设2x＝3y＝5z＝k＞1，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.
∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝－
＝＝＝＞0，
∴2x＞3y；
∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝－
＝＝＝＜0，
∴3y＜5z；
∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝－
＝＝＝＜0，
∴5z＞2x.∴5z＞2x＞3y.
3．(2018·天津高考)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
解析：选D　因为c＝log＝log23＞log2e＝a，
所以c＞a.
因为b＝ln 2＝＜1＜log2e＝a，所以a＞b.
所以c＞a＞b.
4．(2016·浙江高考)已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.(　　)
A．若f(a)≤|b|，则a≤b
B．若f(a)≤2b，则a≤b
C．若f(a)≥|b|，则a≥b
D．若f(a)≥2b，则a≥b
解析：选B　∵f(x)≥|x|，∴f(a)≥|a|.若f(a)≤|b|，则|a|≤|b|，A项错误．若f(a)≥|b|且f(a)≥|a|，无法推出a≥b，故C项错误．∵f(x)≥2x，∴f(a)≥2a.若f(a)≤2b，则2b≥2a，故b≥a，B项正确．若f(a)≥2b且f(a)≥2a，无法推出a≥b，故D项错误．故选B.
5．(2018·江苏高考)函数f(x)＝的定义域为________．
解析：由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2，所以函数f(x)＝的定义域为{x|x≥2}．
答案：{x|x≥2}
6．(2017·江苏高考)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
解析：由f(x)＝x3－2x＋ex－，
得f(－x)＝－x3＋2x＋－ex＝－f(x)，
所以f(x)是R上的奇函数．
又f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号，
所以f(x)在其定义域内单调递增．
因为f(a－1)＋f(2a2)≤0，
所以f(a－1)≤－f(2a2)＝f(－2a2)，
所以a－1≤－2a2，解得－1≤a≤，
故实数a的取值范围是.
答案：
7．(2015·浙江高考)设函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)．
(1)当b＝＋1时，求函数f(x)在[－1,1]上的最小值g(a)的表达式；
(2)已知函数f(x)在[－1,1]上存在零点，0≤b－2a≤1，求b的取值范围．
解：(1)当b＝＋1时，f(x)＝2＋1，故对称轴为直线x＝－.
当a≤－2时，g(a)＝f(1)＝＋a＋2.
当－2＜a≤2时，g(a)＝f＝1.
当a＞2时，g(a)＝f(－1)＝－a＋2.
综上，g(a)＝
(2)设s，t为方程f(x)＝0的解，且－1≤t≤1，
则
由于0≤b－2a≤1，因此≤s≤(－1≤t≤1)．
当0≤t≤1时，≤st≤.
由于－≤≤0和－≤≤9－4，
所以－≤ b≤9－4.
当－1≤t＜0时，≤st≤，
由于－2≤＜0和－3≤＜0，所以－3≤b＜0.
故b的取值范围是[－3,9－4 ]．
8．(2016·浙江高考)已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝
(1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围．
(2)①求F(x)的最小值m(a)；
②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a)．
解：(1)由于a≥3，故当x≤1时，
x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)＞0；
当x＞1时，
x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．
所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2,2a]．
(2)①设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，
则f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2，
所以由F(x)的定义知m(a)＝min{f(1)，g(a)}，
即m(a)＝
②当0≤x≤2时，F(x)＝f(x)，
此时M(a)＝max{f(0)，f(2)}＝2.
当2≤x≤6时，F(x)＝g(x)，
此时M(a)＝max{g(2)，g(6)}＝max{2,34－8a}，
当a≥4时，34－8a≤2；
当3≤a＜4时，34－8a＞2，
故M(a)＝
命题点二　函数与方程
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选C　令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．
2．(2018·浙江高考)已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)＜0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
解析：当λ＝2时，f(x)＝
其图象如图①所示．
由图知f(x)＜0的解集为(1,4)．

f(x)＝恰有2个零点有两种情况：
①二次函数有两个零点，一次函数无零点；
②二次函数与一次函数各有一个零点．
在同一平面直角坐标系中画出y＝x－4与y＝x2－4x＋3的图象如图②所示，平移直线x＝λ，可得λ∈(1,3]∪(4，＋∞)．
答案：(1,4)　(1,3]∪(4，＋∞)
3．(2018·天津高考)已知a＞0，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．
解析：法一：作出函数f(x)的大致图象如图所示．l1是过原点且与抛物线y＝－x2＋2ax－2a相切的直线，l2是过原点且与抛物线y＝x2＋2ax＋a相切的直线．
由图可知，当直线y＝ax在l1，l2之间(不含直线l1，l2)变动时，符合题意．
由消去y，
整理得x2－ax＋2a＝0.
由Δ＝a2－8a＝0，得a＝8(a＝0舍去)．
由消去y，整理得x2＋ax＋a＝0.
由Δ＝a2－4a＝0，得a＝4(a＝0舍去)．
综上可得a的取值范围是(4,8)．
法二：当x≤0时，由x2＋2ax＋a＝ax，得a＝－x2－ax；当x＞0时，由－x2＋2ax－2a＝ax，得2a＝－x2＋ax.令g(x)＝作出直线y＝a，y＝2a，函数g(x)的图象如图所示，g(x)的最大值为－＋＝，由图象可知，若f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a＜＜2a，
解得4＜a＜8.
答案：(4,8)
命题点三　函数模型及其应用
1．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(　　)
(参考数据：lg 3≈0.48)
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
解析：选D　因为lg 3361＝361×lg 3≈361×0.48≈173，
所以M≈10173，
则≈＝1093.
2．(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　)

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
解析：选D　根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．