2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第三章第七节对数与对数函数

第七节对数与对数函数


1．对数
概念
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N
运算法则
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底公式
换底公式：logab＝(a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0)
2.对数函数的图象与性质
y＝logax
a＞1
0＜a＜1
图象


性质
定义域为(0，＋∞)
值域为R
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x＞1时，y＞0；
当0＜x＜1时，y＜0
当x＞1时，y＜0；
当0＜x＜1时，y＞0
在区间(0，＋∞)上是增函数
在区间(0，＋∞)上是减函数

3．反函数
指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
[小题体验]
1．函数f(x)＝loga(x＋2)－2(a＞0，且a≠1)的图象必过定点________．
答案：(－1，－2)
2．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
答案：
3．(2015·浙江高考)计算：log2＝________，2log23＋log43＝________.
解析：log2＝log2－log22＝－1＝－；
2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log2＝3.
答案：－　3

1．在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N*，且α为偶数)．
2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：
(1)务必先研究函数的定义域；
(2)注意对数底数的取值范围．
[小题纠偏]
1．函数y＝的定义域为______．
答案：
2．函数f(x)＝log(x＋1)(2x－1)的单调递增区间是______．
答案：


[题组练透]
1．(易错题)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(　　)
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
解析：选B　利用对数的换底公式进行验证，logab·logca＝·logca＝logcb.
2．(2018·台州模拟)lg－2lg＋lg等于(　　)
A．lg 2　　　　B．lg 3　　　　　C．4　　　　　D．lg 5
解析：选A　lg－2lg＋lg＝lg－lg＋lg＝lg＝lg 2，故选A.
3．计算÷100－＝______.
解析：原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg ×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
答案：－20
4．已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f的值是________．
解析：因为f(1)＝log21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2.
因为log3＜0，所以f＝3－log3＋1
＝3log32＋1＝2＋1＝3.
所以f(f(1))＋f＝2＋3＝5.
答案：5
[谨记通法]
对数运算的一般思路
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；
(2)将同底对数的和、差、倍合并；
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．

[典例引领]
设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则(　　)
A．x1x2＜0　　　　　　 　B．x1x2＝0
C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1
解析：选D　作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．
显然x1＜0，x2＜0.
不妨令x1＜x2，则x1＜－1＜x2＜0，
所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，
此时10x1＜10x2，
即lg(－x1)＜－lg(－x2)，
由此得lg(x1x2)＜0，
所以0＜x1x2＜1，故选D.
[由题悟法]
应用对数型函数的图象可求解的问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
[即时应用]
1．函数f(x)＝ln|x－1|的图象大致是(　　)

解析：选B　当x＞1时，f(x)＝ln(x－1)，
又f(x)的图象关于x＝1对称，故选B.
2．(2018·温州适应性训练)若x1满足2x＋2x＝5，x2满足2x＋2log2(x－1)＝5，则x1＋x2＝(　　)
A. B．3
C. D．4
解析：选C　2x＝5－2x,2log2(x－1)＝5－2x，即2x－1＝－x，log2(x－1)＝－x，作出y＝2x－1，

y＝－x，y＝log2(x－1)的图象(如图)．
由图知y＝2x－1与y＝log2(x－1)的图象关于y＝x－1对称，它们与y＝－x的交点A，B的中点为y＝－x与y＝x－1的交点C，xC＝＝，
∴x1＋x2＝，故选C.

[锁定考向]
高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．
常见的命题角度有：
(1)比较对数值的大小；
(2)简单对数不等式的解法；
(3)对数函数的综合问题．　　　 　
[题点全练]
角度一：比较对数值的大小
1．设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c　　　　　　　 　B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．b＞c＞a
解析：选A　因为a＝log3π＞log33＝1，b＝log2＜log22＝1，所以a＞b；又＝＝(log23)2＞1，c＞0，所以b＞c.故a＞b＞c.

角度二：简单对数不等式的解法
2．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
解析：选C　由题意得
或
解得a＞1或－1＜a＜0.故选C.
角度三：对数函数的综合问题
3．已知函数f(x－3)＝loga(a＞0，a≠1)．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)当0＜a＜1时，求函数f(x)的单调区间．
解：令x－3＝u，则x＝u＋3，
于是f(u)＝loga(a＞0，a≠1，－3＜u＜3)，
所以f(x)＝loga(a＞0，a≠1，－3＜x＜3)．
(1)因为f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga1＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，
又定义域(－3,3)关于原点对称．
所以f(x)是奇函数．
(2)令t＝＝－1－，
则t在(－3,3)上是增函数，
当0＜a＜1时，函数y＝logat是减函数，
所以f(x)＝loga(0＜a＜1)在(－3,3)上是减函数，
即函数f(x)的单调递减区间是(－3,3)．
[通法在握]
1．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤

2．比较对数值大小的方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．
(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．
(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
[演练冲关]
1．(2019·杭州模拟)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，且a≠1)，若f(x)＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：当a＞1时，f(x)＞1等价于8－ax＞a在[1,2]上恒成立，
即a＜min＝，解得1＜a＜.
当0＜a＜1时，f(x)＞1等价于0＜8－ax＜a在[1,2]上恒成立，即a＞max且a＜min，
解得a＞4且a＜4，故不存在．
综上可知，实数a的取值范围为.
答案：
2．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，
因此a＋5＝4，a＝－1，
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，
函数f(x)的定义域为(－1,3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3，
则g(x)在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减．
又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．
(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此应有解得a＝.
故存在实数a＝，使f(x)的最小值为0.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2018·金华温州台州高三开学联考)若2a＝3b＝6，则(　　)
A.＋＝　　　　　　 B.＋＝
C.＋＝ D.＋＝
解析：选A　令2a＝3b＝6＝k，
则a＝，b＝，c＝，
则＋＝＋＝＝.
2．(2019·舟山模拟)设a＝log50.5，b＝log20.3，c＝log0.32，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．b＜a＜c B．b＜c＜a
C．c＜b＜a D．a＜b＜c
解析：选B　a＝log50.5＞log50.2＝－1，b＝log20.3＜log20.5＝－1，c＝log0.32＞log0.3＝－1，log0.32＝，log50.5＝＝＝.∵－1＜lg 0.2＜lg 0.3＜0，∴＜，即c＜a，故b＜c＜a.故选B.
3．(2018·金华名校联考)已知函数f(x)＝，若实数a满足2f(log4a)＋f(loga)＋f(1)≤0，则a的取值范围是(　　)
A．(0,4] B．
C． D．[1,4]
解析：选B　∵f(x)＝＝＝＝1－，定义域为R，
f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)是单调递增的奇函数，
又f(loga)＝f(－log4a)＝－f(log4a)，
则不等式2f(log4a)＋f(loga)＋f(1)≤0化为f(log4a)＋f(1)≤0，即f(log4a)≤－f(1)＝f(－1)，则log4a≤－1＝log4，得0＜a≤.
4．(2016·浙江高考)已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
解析：∵logab＋logba＝logab＋＝，∴logab＝2或.
∵a＞b＞1，∴logab＜logaa＝1，∴logab＝，∴a＝b2.
∵ab＝ba，∴(b2)b＝bb2，即b2b＝bb2，
∴2b＝b2，∴b＝2，a＝4.
答案：4　2
5．(2018·杭州模拟)已知函数y＝log在区间(2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是____________．
解析：令t＝x2－ax＋a，则函数f(x)在区间(2，＋∞)上是减函数，可得函数t在区间(2，＋∞)上是增函数，且t(2)≥0，所以解得a≤4，所以实数a的取值范围是(－∞，4]．
答案：(－∞，4]
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为(　　)
A．4 B．－4
C．6 D．－6
解析：选B　∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，即30＋m＝0，解得m＝－1，
∴f(log35)＝3log35－1＝4，
∴f(－log35)＝－f(log35)＝－4.
2．(2018·丽水月考)函数f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值是(　　)
A．10 B．1
C．11 D．lg 11
解析：选B　令2x＝t，t＞0，则4x－2x＋1＋11＝t2－2t＋11＝(t－1)2＋10≥10，所以lg(4x－2x＋1＋11)≥1，即所求函数的最小值为1.故选B.
3．(2019·丽水模拟)已知对数函数f(x)＝logax是增函数，则函数f(|x|＋1)的图象大致是(　　)

解析：选B　由函数f(x)＝logax是增函数知，a＞1.
f(|x|＋1)＝loga(|x|＋1)＝
由对数函数性质知选B.
4．(2018·金华模拟)已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝，则f(－a)＝(　　)
A．2 B．－2
C. D．－
解析：选D　∵f(x)＝lg的定义域为－1＜x＜1，
∴f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
∴f(－a)＝－f(a)＝－.
5．(2016·浙江高考)已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则(　　)
A．(a－1)(b－1)＜0 B．(a－1)(a－b)＞0
C．(b－1)(b－a)＜0 D．(b－1)(b－a)＞0
解析：选D　∵a，b＞0且a≠1，b≠1，
∴当a＞1，即a－1＞0时，不等式logab＞1可化为alogab＞a1，即b＞a＞1，
∴(a－1)(a－b)＜0，(b－1)(a－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0.当0＜a＜1，
即a－1＜0时，不等式logab＞1可化为alogab＜a1，
即0＜b＜a＜1，
∴(a－1)(a－b)＜0，(b－1)(a－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0.
综上可知，选D.
6．(2018·杭二月考)已知2x＝72y＝A，且＋＝2，则A的值是________．
解析：由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝log7A，则＋＝＋＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，A2＝98.
又A＞0，故A＝＝7.
答案：7
7．若方程2log2x－log2(x－1)＝m＋1有两个不同的解，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意知即x＞1，方程化简为log2＝m＋1，故＝2m＋1，即x2－2m＋1x＋2m＋1＝0，当x＞1时，此方程有两个不同的解，所以解得m＞1.
答案：(1，＋∞)
8．已知函数f(x)＝|log 3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.
解析：因为f(x)＝|log3x|＝所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得则所以0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2,1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝－log3m2＝2，解得m＝，则n＝3，所以＝9.
答案：9
9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若－1＜f(1)＜1，求实数a的取值范围．
解：(1)当x＜0时，－x＞0，
由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)，
又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴当x＜0时，f(x)＝loga(－x＋1)，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝
(2)∵－1＜f(1)＜1，∴－1＜loga2＜1，
∴loga＜loga2＜logaa.
①当a＞1时，原不等式等价于解得a＞2；
②当0＜a＜1时，原不等式等价于
解得0＜a＜.
综上，实数a的取值范围为∪(2，＋∞)．
10．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解：(1)∵f(1)＝2，
∴loga4＝2(a＞0，a≠1)，
∴a＝2.
由得x∈(－1,3)，
∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2(1＋x)(3－x)
＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2018·杭州五校联考)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，当x∈(0,1)时，f(x)＝则f(x)在区间内是(　　)
A．增函数且f(x)＞0 B．增函数且f(x)＜0
C．减函数且f(x)＞0 D．减函数且f(x)＜0
解析：选D　由f(x)为奇函数，f(x＋1)＝f(－x)得，
f(x)＝－f(x＋1)＝f(x＋2)；
∴f(x)＝f(x＋2)，
∴f(x)是周期为2的周期函数．
根据条件，x∈时，f(x)＝log，
∴x－2∈，－(x－2)∈，
∴f(x)＝f(x－2)＝－f(2－x)＝log.
设2－x＝t，t∈，x＝2－t，
∴－f(t)＝log，
∴f(t)＝－log，
∴f(x)＝－log，x∈，
可以看出x增大时，－x减小，log增大，f(x)减小，
∴在区间内，f(x)是减函数，
而由1＜x＜得0＜－x＜，
∴log＞1，
∴f(x)＜0.
2．已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a＞0，且a≠1)．
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)∵a＞0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，
∵当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax＞0恒成立．
∴3－2a＞0，∴a＜.
又a＞0且a≠1，∴0＜a＜1或1＜a＜，
∴实数a的取值范围为(0,1)∪.
(2)由(1)知函数t(x)＝3－ax为减函数．
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，
∴y＝logat在[1,2]上为增函数，∴a＞1，
当x∈[1,2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，
∴即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.