2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第四章第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式
展开第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan α＝.
2．诱导公式
组序 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
角 | 2kπ＋α(k∈Z) | π＋α | －α | π－α | －α | ＋α |
正弦 | sin α | －sin α | －sin α | sin α | cos α | cos_α |
余弦 | cos α | －cos α | cos α | －cos_α | sin α | －sin α |
正切 | tan α | tan α | －tan α | －tan_α |
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口诀 | 函数名不变符号看象限 | 函数名改变 符号看象限 | ||||
记忆规律 | 奇变偶不变，符号看象限 | |||||
[小题体验]
1．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝______.
答案：－
2．若tan θ＝，则的值为________．
答案：
3．化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为________．
解析：原式＝(－sin 1 071°)sin 99°＋sin 171°sin 261°
＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.
答案：0
1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．
特别注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
[小题纠偏]
1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝________.
答案：－
2．(1)sin＝________，
(2)tan＝________.
答案：(1) (2)
[题组练透]
1．(2018·宁波模拟)sin 210°cos 120°的值为( )
A． B．－
C．－ D．
解析：选A sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝×＝.
2．(2019·嵊州模拟)已知sin(π＋α)＝－，则cos的值为( )
A． B．－
C． D．－
解析：选B 因为sin(π＋α)＝－＝－sin α，
所以cos＝－sin α＝－.
3．已知tan＝，则tan＝________.
解析：tan＝tan
＝tan
＝－tan＝－.
答案：－
4．(易错题)设f(α)＝，求f的值．
解：∵f(α)＝
＝＝
＝，
∴f＝＝＝＝.
5．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值．
解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，∴cos α＝.
∴sin(3π＋α)·tan
＝sin(π＋α)·＝sin α·tan
＝sin α·＝sin α·＝cos α＝.
[谨记通法]
1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”
2．利用诱导公式化简三角函数的要求
(1)化简过程是恒等变形；
(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
[典例引领]
1．已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值为( )
A．－ B．－
C． D．
解析：选D 依题意得：＝5，∴tan α＝2.
∴sin2α－sin αcos α＝
＝＝＝.
2．已知sin θ＝，cos θ＝(m≠0)，则tan(kπ＋θ)(k∈Z)的值为________．
解析：因为sin θ＝，cos θ＝，所以sin2θ＋cos2θ＝2＋2＝1，解得m＝8，所以sin θ＝，cos θ＝－，所以tan θ＝＝－.所以tan(kπ＋θ)(k∈Z)＝tan θ＝－.
答案：－
3．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________．
解析：因为(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，则(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝.
又因为θ∈，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0，
所以sin θ－cos θ＝－.
答案：－
[由题悟法]
同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧 | 解读 | 适合题型 |
切弦互化 | 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 | 表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ |
“1”的变换 | 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ | 表达式中需要利用“1”转化 |
和积转换 | 利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化 | 表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ |
[即时应用]
1．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
A． B．－
C． D．－
解析：选D 法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝＝ ＝，
所以tan α＝＝＝－.
法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－，所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tan α＝＝－.故选D.
2．(2019·缙云模拟)设sin α＋sin β＝，则sin α－cos2β的最大值为( )
A．－ B．－
C．－ D．
解析：选D 因为sin α＋sin β＝，所以sin α＝－sin β.因为－1≤sin α≤1，所以－≤sin β ≤1.所以sin α－cos2β＝－sin β－1＋sin2β＝2－，当sin β＝－时，sin α－cos2β有最大值.
3．已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选B ∵＜α＜，
∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，
∴cos α－sin α＞0，
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
∴cos α－sin α＝.
4．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，则sin α－cos α＝________.
解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，得sin α＋cos α＝，①
将①两边平方得1＋2sin αcos α＝，故2sin αcos α＝－.
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝.
又∵＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝.
答案：
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2018·嘉兴七校联考)已知cos＝，且|α|＜，则tan α＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选C 因为cos＝－sin α＝，所以sin α＝－.因为|α|＜，所以α＝－，所以tan α＝tan＝－.
2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于( )
A．－ B．－
C． D．
解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
∴－sin θ＝－cos θ，∴tan θ＝.
∵|θ|＜，∴θ＝.
3．(2019·嘉兴模拟)已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a＝0的两个根，则实数a的值为( )
A． B．－
C． D．
解析：选B 由题可得，sin α＋cos α＝，sin αcos α＝.所以sin2α＋cos2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝－＝1，解得a＝－.
4．＝( )
A．sin 2－cos 2 B．cos 2－sin 2
C．±(sin 2－cos 2) D．sin 2＋cos 2
解析：选A
＝＝
＝|sin 2－cos 2|.
又∵＜2＜π，
∴sin 2＞0，cos 2＜0.
∴|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.
5．如果sin(π＋A)＝，那么cos的值是________．
解析：∵sin(π＋A)＝，∴－sin A＝.
∴cos＝－sin A＝.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin＝( )
A． B．－
C． D．－
解析：选B 因为tan(α－π)＝，
所以tan α＝.
又因为α∈，
所以α为第三象限的角，
sin＝cos α＝－.
2．已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，若f(2 018)＝5，则f(2 019)的值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B ∵f(2 018)＝5，
∴asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β)＋4＝5，
即asin α＋bcos β＝1.
∴f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4＝－1＋4＝3.
3．(2018·宁波五校联考)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos的值为( )
A．－ B．
C．2 D．－
解析：选B 由题意可得tan α＝2，
所以cos＝－cos 2α＝－＝－＝.
4．当θ为第二象限角，且sin＝时，的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
解析：选B ∵sin＝，
∴cos＝，
∴在第一象限，且cos ＜sin，
∴＝＝－1.
5．若sin α是5x2－7x－6＝0的根，则
＝( )
A． B．
C． D．
解析：选B 由5x2－7x－6＝0，得x＝－或x＝2.
则sin α＝－.故原式＝＝＝.
6．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为( )
A．1＋ B．1－
C．1± D．－1－
解析：选B 由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝.
∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴＝1＋，解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，
∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.
7．已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________．
解析：由题意知，cos＝cos
＝－cos＝－a.
sin＝sin＝cos＝a，
所以cos＋sin＝0.
答案：0
8．(2019·义乌模拟)已知tan(π－α)＝－2，则＝________.
解析：因为tan(π－α)＝－tan α＝－2，所以tan α＝2.所以＝＝＝＝.
答案：
9．(2018·嘉兴七校联考)已知cos(75°＋α)＝，α是第三象限角．求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．
解：因为cos(75°＋α)＝，且α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，所以sin(75°＋α)＝－＝－.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin(α－15°)＋cos(α－15°)＝sin[(α＋75°)－90°]＋cos[(α＋75°)－90°]＝－cos(α＋75°)＋sin(α＋75°)＝－－＝－.
10．已知sin(3π＋θ)＝，求＋
的值．
解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝，∴sin θ＝－.
∴原式＝＋＝＋＝＋＝＝＝＝18.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________.
解析：sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＋sin290°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋＋1＝.
答案：
2．已知f(x)＝(n∈Z)．
(1)化简f(x)的表达式；
(2)求f＋f的值．
解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f(x)＝
＝＝＝sin2x；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝
＝
＝sin2x，
综上得f(x)＝sin2x.
(2)由(1)得f＋f
＝sin2＋sin2
＝sin2＋sin2
＝sin2＋cos2＝1.
